2020届二轮复习三角函数的最值与综合应用教案（全国通用）

2020届二轮复习  三角函数的最值与综合应用   教案（全国通用）

类型一：三角函数的最值

例1．已知，若且，求的取值范围.

【思路点拨】在定义域的范围内求的值域，再利用集合之间的关系求的范围.

【解析】

因为，所以

所以

又因为，所以

于是   解得

【总结升华】求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理. 本题是通过二倍角降次，整理成型.

举一反三：

【变式1】函数有最大值2，最小值-1，则实数=      ，=      .

【答案】

【解析】

（其中）

当时，有，即，

当时，有，即，

解得。

【变式2】已知函数.

（1）若，求函数的值；    （2）求函数的值域.

【答案】（1）   （2）

【解析】（1），

    .

    （2），     ，

     函数的值域为.

【高清课堂：三角函数的最值及综合应用397868 例4】

【变式3】已知函数。

（1）求的值；（2）求的最大值和最小值。

【答案】；

例2．求函数的最大值.

【思路点拨】转化为形式，再利用辅助角公式求值域；注意到，从而确定函数的最大值.

【解析】解法一：将原函数变形得

得（其中由决定），

，应用，解得。

又，则，故欲求函数的最大值为。

    解法二：设则原函数变成，得

            利用判别式即又

            解得，故的最大值为。

            此时，即

    解法三：由解法二，设则

            即

            易知函数在区间为减函数，在上为增函数，故的最小值为。

            的最大值为，此时，即。

   解法四：的值可看作是过点和两点的直线的斜率，点A在半圆上运动，作图可知的范围是所以的最大值为。

【总结升华】三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域.

举一反三：

【变式1】对于函数，下列结论正确的是（    ）

A．有最大值无最小值      B．有最小值无最大值

C．有最大值且有最小值    D．既无最大值又无最小值

【答案】B

【解析】法一：，，得，是一个减函数，则只有最小值而无最大值.

法二：可通过，得出，由也可求出．故选B.

【变式2】求函数的最大值

【答案】

【解析】令，则

，的最大值为

【高清课堂：三角函数的最值及综合应用397868 例5】

【变式3】在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a,b,c，若a,b,c成等比数列，求的取值范围.

【答案】

类型二：的图象和性质的综合应用

例3. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（    ）

A．      B．

C．    D．

【思路点拨】由对恒成立，结合函数最值的定义，求得等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角的值，结合，易求出满足条件的具体的值，然后根据正弦函数单调区间的求法，即可得到答案.

【答案】C

【解析】由对恒成立，可知的最大值为，从而有，即，即，，即，.

又，得，

故可取，即，由，，

得，，故选C.

【总结升华】熟练掌握函数的单调区间的确定的方法.本例先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形的方法来求解.本例的关键之处就是确定的值.

举一反三：

【变式1】如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为（    ）

A．       B．      C．        D．

【答案】A

【解析】函数的图象关于点中心对称， 

．由此易得．故选A．

【变式2】已知，且在区间有最小值，无最大值，则__________.

【答案】

【解析】由题意知直线为函数的一条对称轴，且，

∴.   ①

又，∴.  ②

由①②得  k=1，∴.

例4. 已知O为坐标原点， ＝(2sin2x,1)，＝(1，sinxcosx＋1)，f(x)＝·＋m.

(1)求y＝f(x)的单调递增区间；

(2)若f(x)的定义域为[，π]，值域为[2,5]，求m的值．

【思路点拨】（1）利用数量积的定义及复合函数的法则来求解；（2）利用不等式的性质及三角函数的有界性来求解.

【解析】(1)f(x)＝2sin2xsinxcosx＋1＋m

＝1－cos2x－sin2x＋1＋m＝－2sin(2x＋)＋2＋m.

由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，

得y＝f(x)的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．

(2)当≤x≤π时， ≤2x＋≤，∴－1≤sin(2x＋)≤，

∴1＋m≤f(x)≤4＋m，∴    ∴m＝1.

【总结升华】

1.把三角函数式化简为（）是解决周期、最值、单调区间、对称性等问题的常用方法.

2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间

举一反三：

【变式1】已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，]上的最小值．

【解析】(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx，

所以f(x)＝sin ωxcos ωx＋＝sin2ωx＋cos2ωx＋

＝sin(2ωx＋)＋.

由于ω＞0，依题意得＝π，所以ω＝1.

(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋，所以g(x)＝sin (4x＋)＋.

当0≤x≤时，≤4x＋≤，所以≤sin (4x＋)≤1.

因此1≤g(x)≤.故g(x)在区间[0，]上的最小值为1.

【变式2】已知函数，

(1)求函数的最小值以及相应的的取值的集合；

(2)写出函数在上的单调递增区间。

【解析】

  ，

（1）当即（）时，的最小值为-2，

     故当时，.

（2）该函数是和的复合函数，

∵为增函数，要求的递增区间，只须求的递增区间

∵的递增区间为：()

∴由得：()

∵，∴时，时，

【变式3】设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值。

【答案】令，，

则，

开口向上，对称轴，

当，即时，函数在上递增，；

当，即时，函数在上递减，，得与矛盾；

当，即时，，解得或（舍），

∴，此时.

类型三：三角函数在实际生活中的应用

例5．如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，

海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站，该岛的一个端点A位于

点C的正北方向km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，

且与点A相距4.5 km，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立

一个核辐射监测站。

（1）设CP=x，∠APB=，试将tan表示成x的函数；

（2）若要求在监测站P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？

【思路点拨】（1）分别以直线CP，CA为x、y轴建立直角坐标系，过点B分别作CP、CA的垂线，垂足分别为D、E，由题设AB=4.5，，∠BAE=30°，从而可求出A，B的坐标，又点P（x，0），从而可得表示成x的函数；（2）令x+4=t，利用基本不等式，可求的最大值.

【解析】

（1）连结AC，据题意，AC⊥CP。

过点B分别作CP、CA的垂线，垂足分别为D、E。

由题设AB=4.5，，∠BAE=30°，

所以，，

.

当时，点P在点D的右侧，，则。

当时，点P在点D的左侧，，

则。

又，则当x＞0，且时，

有。

当时，点P与点D重合，，满足上式，

所以。

（2）令x+4=t，

则

       。

因为，所以，当且仅当，即t=10，

也即x=6时取等号，此时取最大值。因为为锐角，所以当x=6时取最大值。

故点P应选址在点C正东方向6 km处.

【总结升华】解决与最值有关的应用题的步骤是：（1）建立目标函数；（2）求最值.其中关键是建立目标函数.本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是正确运用差角的正切公式及基本不等式.

举一反三：

【变式1】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成。该八边形的面积为（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】

【解析】等腰三角形的面积为，等腰三角形的底边长为

，所以八边形面积为

，故选A.

【变式2】如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P(x，y)

的轨迹方程是，则的最小正周期为________；在

其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为________．

说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．

【答案】4；π+1

【解析】当正方形PABC四边都滚动时P才回到左下角的位置，所以最小正周期是4，在其两个相邻零点间的图象如图。

面积是3个扇形和两个直角三角形，

。

类型四：其它

例6．已知方程.

（1）若方程在上有实根，求实数m的取值范围；

（2）若方程在上有两个相异实根，求实数m的取值范围.

【思路点拨】将放在等式一边，另一边进行化简，数形结合，方程在上有实根及有两个相异实根的问题，转化为等式两边图形有交点及有两个不同交点的问题.

【解析】

（1）由题意得即，

若要方程在上有实根，等价于以为定义域而求解函数值的取值范围.

∵， ∴,

当即时，；当，即时，.

∴.

（2）由，若在上有两个相异实根，

即函数在上与直线有两个不同的交点，如图.

故当时，方程有两个相异实根.

【总结升华】

求解三角方程是个较困难的问题，但仅考察三角方程在所给区间上解的个数，就可以联系函数的图象求解，或者把变量单独放在一边，考察另一边的取值范围。

①本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的方法，应重视这种数形结合的方法。

②把变量分离，单独放在一边也是处理变量的一个技巧。

举一反三：

【变式1】已知方程有解，求实数的取值范围。

【答案】

【解析】由原方程得到，

令，则有最大最小值，

只要在这个范围内，原方程就有解，

故时，原方程有解。

【变式2】已知，求使成立的实数的取值范围。

【答案】

【解析】原式变形为：

当即时，不论取何值，原式成立，即.

当即时，，∴原式等价于

令，则要使成立，只要即可。

又

∵，∴，∴

∵ 在即时取最小值3，

∴，即，

所以当时，m取任意实数，原式都成立，

当时 ，原式都成立。