2020届二轮复习三角恒等变换与解三角形教案（全国通用）

2020届二轮复习  三角恒等变换与解三角形  教案（全国通用）

1．和差角公式

(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；

(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；

(3)tan(α±β)＝.

2．倍角公式

(1)sin2α＝2sinαcosα；

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan2α＝.

3．半角公式

(1)sin＝±；

(2)cos＝±；

(3)tan＝±；

(4)tan＝＝.

4．正弦定理

＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．

5．余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.

【2015高考四川，理12】        .

【答案】.

【解析】法一、.

法二、.

法三、.

【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是      ，单调递减区间是         ．

【答案】，，.

【解析】，故最小正周期为，单调递减区间为

，.

【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，

(I)求最小正周期；

(II)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(I); (II),.

(II)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，

，所以在区间上的最大值为，最小值为.

【2015高考重庆，理18】 已知函数

     （1）求的最小正周期和最大值；

     （2）讨论在上的单调性.

【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在上单调递增；在上单调递减.

【解析】

（1）

                          ,

因此的最小正周期为，最大值为.

（2）当时，有，从而

当时,即时，单调递增，

当时,即时，单调递减，

综上可知，在上单调递增；在上单调递减.

【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则         ．

【答案】

【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此

【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则     . 

【答案】．

【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为          ．

【答案】2

【解析】因为

所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，

函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，

所以函数有2个零点.

【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度          m.

【答案】

【解析】依题意，，，在中，由，

所以，因为，由正弦定理可得，即m，

在中，因为，，所以，所以m．

【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.

【答案】

【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.

【2015高考福建，理12】若锐角的面积为 ，且，则 等于________．

【答案】7

【解析】由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．

【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）

中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．

(Ⅰ) 求；

(Ⅱ)若，，求和的长．

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．

【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以．由正弦定理可得．

(Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得

，．

．由(Ⅰ)知，所以．

【2015高考浙江，理16】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=.

（1）求的值；

（2）若的面积为7，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由及正弦定理得，

∴，又由，即，得，

解得；（2）由，得，，

又∵，∴，由正弦定理得，

又∵，，∴，故.

【2015高考安徽，理16】在中，,点D在边上，，求的长.

【答案】

【解析】如图，

    设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得

    ，

    所以.

    又由正弦定理得.

    由题设知，所以.

    在中，由正弦定理得.

【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．

（I）求；

（II）若，求的面积．

【答案】（I）；（II）．

（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得

而

得，即

因为，所以．

故的面积为．

解法二：由正弦定理，得，

从而，

又由，知，所以.

故

所以的面积为.

1. 【2014高考江苏卷第14题】 若的内角满足，则的最小值是      .

【考点定位】解三角形,求最值.

11．【2014重庆高考理第10题】

已知的内角，面积满足

所对的边，则下列不等式一定成立的是(     )

A.      B.     C.    D.

【答案】A

【解析】

由题设得：

         （1）

由三角形面积公式及正弦定理得：

所以

又因为，所以

所以恒成立，所以

故选A.

【考点定位】两角和与差的三角函数、正弦定理、三角形的面积公式.

12. 【2014天津高考理第12题】在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．

【答案】．

【解析】∵代入得，由余弦定理得．

【考点定位】正弦定理、余弦定理的推论．

13. 【2014大纲高考理第3题】设则  （     ）

A．   B．   C．   D．

【答案】C．

【解析】故选C．

【考点定位】三角函数基本关系式

14. 【2014高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设的内角所对边的长分别是，且

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，所以，由正、余弦定理得.因为，所以.

由余弦定理得.由于，所以.故

.

【考点定位】正、余弦定理、三角函数恒等变形.

15. 【2014高考北京理第15题】如图，在中，，点在边上，且，.

（1）求；

（2）求，的长.

【答案】（1）；（2）7.

【解析】（1）在中，因为，所以，

所以

.

（2）在中，由正弦定理得，

在中由余弦定理得

，

所以.

【考点定位】同角三角函数的关系，两个角的差的正弦公式，正弦定理与余弦定理.

16. 【2014高考福建理第16题】已知函数.

（1）若，且，求的值；

（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.

 【答案】(1) ;(2) ,

【解析】 (1)因为所以.所以

(2)因为

,所以.由得.所以的单调递增区间为.

【考点定位】1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.

17. 【2014高考广东理第16题】已知函数，，且.

（1）求的值；

（2）若，，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

所以，；

（2）

，

，

，，则，

.

【考点定位】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数

18. 【2014高考湖北理第17题】某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；

.

（1）求实验室这一天的最大温差；

（2）若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？

【答案】（1）4；（2）在10时至18时实验室需要降温.

（2）依题意，当时实验室需要降温.

由（1）得，

所以，即，

又，因此，即，

故在10时至18时实验室需要降温.

【考点定位】两个角的和的正弦公式、三角不等式的解法.

19. 【2014高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形中,.

(1)求的值;

(2)若, ,求的长.

【答案】(1) (2)

【解析】

 (1)由关于的余弦定理可得

,所以.

(2)因为为四边形内角,所以且,则由正余弦的关系可得且,再由正弦的和差角公式可得

,再由的正弦定理可得

.

【考点定位】三角形正余弦定理、正余弦之间的关系与和差角公式

20. 【2014高考江苏第15题】已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由题意，

所以．

（2）由（1）得，，

所以．

【考点】三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差的正弦、余弦公式．

21. 【2014高考辽宁理第17题】在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：

（1）a和c的值；

（2）的值.

【答案】（1）a=3，c=2；（2）.

【解析】（1）由得，，又，所以ac=6.

由余弦定理，得.

又b=3，所以.

解，得a=2，c=3或a=3，c=2.

因为a>c,∴ a=3，c=2.

（2）在中，

由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.

于是=.

【考点定位】解三角形、三角恒等变换.

22. 【2014高考山东卷第16题】已知向量，，设函数，且的图象过点和点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.

【答案】（I）.

（II）函数的单调递增区间为.

【解析】

（1）由题意知：.

因为的图象过点和，

所以，

即，

解得.

（2）由（1）知：.

由题意知：，

设的图象上符合题意的最高点为，

由题意知：，所以，

即到点的距离为1的最高点为.

将其代入得，

因为，所以，

因此，

由，得

，

所以，函数的单调递增区间为.学+科网

【考点定位】平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质.

23. 【2014高考四川第16题】已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）若是第二象限角，，求的值.

【答案】（1）；（2）,.

【解析】

（1）；

（2）由题设得：，

即，.

若，则，

若，则.

【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.

24.【2014高考浙江理第18题】在中，内角所对的边分别为.已知，

（I）求角的大小；

（II）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意得，，

即，

，由得，，又，得，即，所以；

（2）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．

【考点定位】诱导公式，、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式

25.【2014高考重庆理科第17题】已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.

（I）求和的值；

（II）若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因的图象上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，从而.

又因的图象关于直线对称，所以

因得

所以.

（2）由（1）得

所以.

由得

所以

因此

=

【考点定位】诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象和性质.

1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝(　　)

A．－  B.

C．－或0  D.或0

2．若tan α＝2tan，则＝(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：基本法：＝

＝＝

＝，

∵tan α＝2tan，∴＝＝3.故选C.

答案：C

3．已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为(　　)(导学号 55460112)

A.  B.  C.  D.或

解析：依题意得sinβ＝，cos β＝.注意到sin(α＋β)＝<sinβ，因此有α＋β>(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sin β＝.

答案：A

4．函数f(x)＝sin 2x＋tancos 2x的最小正周期为(　　)

A.　　　B．π　　　C．2π　　　D． 4π

解析：∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，

∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.

答案：B

5．已知tan(3π－α)＝－，tan(β－α)＝－，则tan β＝________.

解析：基本法：依题意得tan α＝， 又tan(β－α)＝－，

∴tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝.

答案：

6．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．

解析：基本法：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.

∴2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝＝－1.

答案：－1

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)·sin C，则A＝________．

解析：根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°.

答案：120°

8.如图，山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．

解析：如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.

∵∠ADC＝150°，∴∠ADB＝30°.∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.

由正弦定理，可得＝.

∴＝，得AD＝400(米)．

在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×1 3，解得AC＝400(米)．故索道AC的长为400米．

答案：400

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋.

(1)证明：a＋b＝2c；

(2)求cos C的最小值．

(2)解：由(1)知c＝，[

∴cos C＝＝＝

－≥，

当且仅当a＝b时，等号成立，

故cos C的最小值为.