2020届二轮复习数列求和及其应用教案（全国通用）
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1．数列求和的方法技巧
(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．
(2)错位相减法
这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．
(3)倒序相加法
这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
(4)裂项相消法
利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．
(5)分组转化求和法
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．
2．数列的综合问题
(1)等差数列与等比数列的综合．
(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．
(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．
数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.
【误区警示】
1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．
2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．
高频考点一 数列求和
例1、（2018年天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.
（II）（i）由（I），有，
故.
（ii）因为，
所以
【变式探究】【2017江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.
（1）证明：等差数列是“数列”;
（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”.
（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，
当时，，①
当时，.②
由①知， ，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为.
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列.
【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
解：(1)由题意得则
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，
∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，
则b1＝2，b2＝1.
当n≥3时，由于3n－1>n＋2，
故bn＝3n－1－n－2，n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn，
则T1＝2，T2＝3，
当n≥3时，Tn＝3＋－＝
，
∴Tn＝
【举一反三】若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}的前n项的和，对任意正整数n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n.
（Ⅱ）令，求数列的前项和.
【答案】（I）.
（II），（或）
【解析】 (I）因为，
，
由题意，得，
解得，
所以.
（II）
当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以，（或）
【考点定位】等差数列的前项和、等比数列及其性质
6. 【2014高考上海理科第23题】已知数列满足.
（1）若，求的取值范围；
（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；
（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.
【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.
【解析】
（1）由题得，
（2）由题得，∵，且数列是等比数列，，
∴，∴，∴.
又∵，∴当时，对恒成立，满足题意.
当时，
∴①当时，，由单调性可得，，解得，
②当时，，由单调性可得，，解得，
（3）由题得，∵，且数列成等差数列，，
∴，∴，,
所以时，，时，，所以．
∴
又∵，∴
∴，∴，解得，，
∴的最大值为1999，此时公差为．
【考点定位】解不等式（组）、数列的单调性、分类讨论、等差（比）数列的前项和.
7. 【2014高考上海理科第8题】设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= .
【答案】
【解析】由题意，即，∵，∴.
【考点定位】无穷递缩等比数列的和.
8. 【2014高考四川第16题】设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）.
（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；
（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前 项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】.（1），所以.
（2）将求导得，所以在处的切线为，令得，
所以，.所以，
其前项和 ①
两边乘以2得： ②
②－①得：，所以.
【考点定位】等差数列与等比数列.
9．【2014高考天津第19题】已知和均为给定的大于1的自然数．设集合，集合．
（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；
（Ⅱ）设，，，其中证明：若，则．
【答案】（1）；（2）详见解析
【解析】（1）当时，可得，．
（2）由及，可得
．
【考点定位】等比数列的前项和公式
10. 【2014高考浙江理第19题】已知数列和满足.若为等比数列，且
（1）求与；
（2）设。记数列的前项和为.
（i）求；
（ii）求正整数，使得对任意，均有．
【答案】（1），；（2）（i）；（ii）．
【解析】（1）求与得通项公式，由已知得，再由已知得，，又因为数列为等比数列，即可写出数列的通项公式为，由数列的通项公式及，可得数列的通项公式为，；（2）（i）求数列的前项和，首先求数列的通项公式，由，将，代入整理得，利用等比数列求和公式，即可得数列的前项和；（ii）求正整数，使得对任意，均有，即求数列的最大项，即求数列得正数项，由数列的通项公式，可判断出，当时，，从而可得对任意恒有，即．
（1）由题意，，，知，又有，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；
（2）（i）由（1）知，，所以；
（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．
【考点定位】等差数列与等比的列得概念、通项公式、求和公式
11. 【2014高考重庆理科第22题】设
（Ⅰ）若，求及数列的通项公式；
（Ⅱ）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.
【答案】（1）；（2）存在，
解法二：
可写为.因此猜想.
下用数学归纳法证明上式：
当时结论显然成立.
假设时结论成立，即.则
这就是说，当时结论成立.
所以
（2）解法一：设，则.
令，即，解得.
下用数学归纳法证明加强命：
当时，，所以，结论成立.
假设时结论成立，即
易知在上为减函数，从而
即
再由在上为减函数得.
故，因此，这就是说，当时结论成立.
综上，符合条件的存在，其中一个值为.
解法二：设，则
先证： ①
当时，结论明显成立.
假设时结论成立，即
易知在上为减函数，从而
即这就是说，当时结论成立，故①成立.
再证： ②
当时，，有，即当时结论②成立
假设时，结论成立，即
由①及在上为减函数，得
这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.
由②得
即
因此
又由①、②及在上为减函数得
即
所以解得.
综上，由②③④知存在使对一切成立.
【考点定位】数列通项公式的求法、等差数列
