2020届二轮复习数列性质的证明教案（全国通用）
展开【例1】已知数列满足
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设，问：数列中是否存在三项，使成等差数列，如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由.
而，
∴ 是以5为首项，3为公比的等比数列.
【点评】利用定义证明数列等比，只要把已知条件代入化简，注意化简时，一般只变分子或分母，不要同时变化，一直化简到最后是一个非零常数为止.
【反馈检测1】已知数列，，，
（1）证明：数列是等差数列．
（2）设，数列的前项和为，求使成立的最小正整数．
【反馈检测2】已知数列满足：，其中.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，求数列的最大项.
方法二 | 中项公式法 |
使用情景 | 少数情况下用这种方法. |
解题步骤 | 把已知条件化简，找到相邻三项的关系. |
【例2】已知数列中，，前项和.
①求数列的通项公式；
②设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存
在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
（2） 由（1）知 ∴
∴
则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要
∴ 存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为
【点评】已知、和的关系，一般利用公式求数列的通项. ..
【反馈检测3】设数列的前项和为，已知，且
，其中为常数.
(Ⅰ)求与的值；(Ⅱ)证明：数列为等差数列；
(Ⅲ)证明：不等式对任何正整数都成立.
高中数常见题型解法归纳及反馈检测第35讲：
数列性质的证明参考答案
【反馈检测1答案】（1）证明见后面解析；（2）.
【反馈检测2答案】（1）证明见后面解析；（2）数列的最大项为.
【反馈检测2详细解析】（1）当时，，∴，
又∵，
∴，即，∴.
又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）知，，
∴， ∴ ，
当时，，即，
当时，，
当时，，即，
∴数列的最大项为.
【反馈检测3答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)证明见后面解析；(Ⅲ)证明见解析.
【反馈检测3详细解析】（Ⅰ）由已知，得，，.
由，知
即
解得 ，.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.
要证，只要证.
因为，，
故只要证，
即只要证.
因为，
所以命题得证.
