2020届二轮复习多变量表达式范围——消元法教案（全国通用）

微专题46  多变量表达式的范围——消元法

一、基础知识：

1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域

2、常见消元的方法：

（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：

① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）

② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。例如选择为主元，且有，则除了满足自身的范围外，还要满足（即解不等式）

（2）换元：常见的换元有两种：

①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如等，例如在中，可变形为，设，则将问题转化为求的值域问题

注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围

②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：

平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：

推广：

平方差：联想到正割（） 与正切（）的平方差为1，则有，

推广：

注：若有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围

3、消元后一元表达式的范围求法：

（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域

（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值。

（3）三角函数：

① 形如的形式：则可利用公式转化为的形式解得值域（或最值）

② 形如：则可通过换元将其转化为传统函数进行求解

③ 形如：，可联想到此式为点和定点连线的斜率，其中为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围

二、典型例题：

例1：设实数满足，则的取值范围是__________

思路：考虑可用进行表示，进而得到关于的函数，再利用不等式组中天然成立的大小关系确定的范围，再求出函数值域即可

解：

由及（*）可得：，解得：

小炼有话说：（*）为均值不等式的变形：

例2：已知函数，对任意的，存在，使得，则的最小值为（      ）

A.                B.              C.            D. 

思路：由已知，可得：，考虑进行代入消元，但所给等式中无论用哪个字母表示另一个字母，形式都比较复杂不利于求出最值。所以可以考虑引入新变量作为桥梁，分别表示，进而将变为关于的表达式再求最值。

解：令 

，设

可得且为增函数

在单调递减，在单调递增

答案：D

例3：设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为            

思路：首先要通过取得最小值，得到之间的关系，然后将所求表达式进行消元，再求最值即可。

解：  ①

等号成立条件为：，代入到①可得：

的最大值为2

例4：已知，且，则的最大值为（   ）

A.            B.             C.               D. 

思路：所求表达式为，考虑消元，由已知可得，从而，达到消元效果，所求表达式为，进而将问题转化为求函数的最值。先确定的取值范围，由可得，即，所以，所以当时，

答案：A

小炼有话说：（1）本题处理的关键在于选择作为核心变量，这是因为在条件中可得到，从而可用表示，使得消元变得可能

（2）在处理的最值时，也许会想到均值不等式：，但看一下等号成立条件：并不满足，故等号不成立。所以不能使用均值不等式求出最值。转而使用二次函数求得最值。

例5：已知，则的最大值为________

解：    设

            ，其中

可知当时，

答案：

例6：若实数满足条件，则的取值范围是_________

思路一：考虑所求式子中可变为，所以原式变形为：，可视为关于的二次函数，设，其几何含义为与连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即，则

思路二：本题也可以考虑利用三角换元。设，从而原式转化为：，由可知的范围为

答案：

例7：已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是________

解：

为方程的两个根

代入 可得：

设      

设   

在单调递减

即

答案： 

例8：对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值是________

思路：首先要寻找当最大时，之间的关系，以便于求多元表达式的范围

从方程入手，向靠拢进行变形，在利用取得最大值时的关系对所求进行消元求最值。

解：由可得：

（等号成立条件：

最大值是，从而可得：

解得：

答案：的最小值为

例9：已知函数，其中且

（1）若，求函数的极值

（2）已知，设为的导函数，若存在使得成立，求的取值范围

解：（1）由已知可得：

令，即解不等式

解得：或

的单调区间为：

的极大值为    的极小值为

（2）由已知可得：

即

设   

可得当时，恒成立

在单调递增

，即

例10：已知函数，其中

（1）求的单调区间

（2）若，且存在实数，使得对任意实数，恒有成立，求的最大值

解：（1）

当时，    在单调递增

当时，在单调递增，单调递减

（2）

思路：恒成立的不等式为：，即，设，可得：，从而通过讨论的符号确定的单调性，进而求出的最小值（含的表达式），进而将放缩成单变量表达式，求出的最大值

解：恒成立的不等式为：

设

即

由（1）可得：在单调递减

① 若

则   即在上单调递增

② 若即

则  即在上单调递减

，而

③ 当时，

在单调递减，在上单调递增

单调递减   

综上所述：的最大值为