2020届二轮复习放缩法在证明中的应用教案（全国通用）

微专题七　放缩法在证明中的应用

[解题策略]

放缩法是不等式证明的重要方法，其中的放缩技巧既有模式可循但更有创意之变，如何灵活运用放缩法解题是衡量解题者思维好坏的标杆．

常见的放缩形式有：

(1)的放缩：

<＝－(n≥2)，

>＝－，

<＝－；

(2)的放缩：

＝<

＝－(n≥2)，

＝<

＝(n≥2)；

(3)的放缩：

＝>＝2(－)，

＝<＝2(－)；

(4)真分式的放缩：

若a>b>0，m>0，则<.

另外，利用重要不等式放缩、导数应用中有关lnx型的放缩(如：ln(1＋x)<x，x>0)等也是常见的放缩方式．

利用放缩法证明不等式的难点是放缩的“度”不好把握，放大了或放小了都得不出所证不等式，这样需要回头调整，留一项或几项不放缩逐步试验向所证结论靠扰，下面举例说明．

例1　设n∈N*，求证：<.

分析　当n≥2时，<＝－，

所以＋＋＋…＋

<1＋＋＋…＋

＝1＋＋…＋＝2－<2，

而2>，放大了，若从第三项开始放缩如何呢？

当n≥3时，

＋＋＋…＋

<1＋＋＋＋…＋

＝1＋＋＋＋…＋

＝1＋＋－＝－<，

而>，仍放大了，若从第四项开始放缩呢？

当n≥4时，

＋＋＋…＋

<1＋＋＋＋…＋

＝1＋＋＋＋…＋

＝1＋＋＋－＝－<，恰好证得结果．

又易知当n＝1,2,3时，不等式显然成立．

因此，<.

例2　设n∈N*，求证：<<.

分析　因为>＝k，

所以>＝，左边得证．

又因为<＝k＋1，

所以<(k＋1)＝，≥，放大了，得不到所证结论，于是应该作调整．

事实上，<＝k＋，

所以<

＝＋＝<.

故<<.

例3　求证：16<<17.

证明　因为＝<＝2(－)，

所以<1＋2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2－1<2－1＝17.

又＝>＝2(－)，所以

>2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)

＝2－2＝16.

故16<<17.

评注　在证明<17时，对第一项没有进行放缩．