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2020届二轮复习分类讨论的思想教案（全国通用）
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高考冲刺 分类讨论的思想
【高考展望】
数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
分类讨论是每年高考必考的内容，高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由求等。
【知识升华】
1．分类讨论的常见情形
（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.
（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的.
（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.
（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.
（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.
2.分类的原则
（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；
分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.
（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.
当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.
3.分类讨论的一般步骤
第一，明确讨论对象，确定对象的范围；
第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
第三，逐类讨论，获得阶段性结果；
第四，归纳总结，得出结论.
4. 分类讨论应注意的问题
第一，按主元分类的结果应求并集.
第二，按参数分类的结果要分类给出.
第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分类.
【典型例题】
类型一、不等式中参数的讨论问题
【例1】解关于的不等式：.
【思路点拨】依据式子的特点，此题应先按对最高次项的系数是否为0来分类，然后对式子分解因式，并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于与时，先写简单好作的.
【解析】
（1）当时，原不等式化为一次不等式：，∴；
（2）当时，原不等式变为：，
①若，则原不等式化为
∵，∴，∴不等式解为或，
②若，则原不等式化为，
（ⅰ）当时，，不等式解为，
（ⅱ）当时，，不等式解为；
（ⅲ）当时，，不等式解为，
综上所述，原不等式的解集为：
当时，解集为；
当时，解集为{x|x＞1}；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
总结升华：
这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。
举一反三：
【变式】解关于的不等式:（）.
【解析】原不等式可分解因式为: ，
（下面按两个根与的大小关系分类）
（1）当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：；
（1）当，即时，不等式的解集为：；
（2）当，即或时，不等式的解集为：；
综上所述，原不等式的解集为：
当或时，；
当时，；
当或时，.
【例2】解不等式>0 (a为常数，a≠－)
【思路点拨】含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－
所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
当－0，解得: x<6a或x>－4a；
当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a－4a；当a>－时，6a
举一反三：
【变式】解关于的不等式:.
【解析】
（1）当时，不等式为, 解集为；
（2）当时，需要对方程的根的情况进行讨论：
①
即时，方程有两根
.
则原不等式的解为.
②
即时，方程没有实根，
此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为.
③
即时，方程有两相等实根为，
则原不等式的解为.
（3）当时，恒成立，
即时，方程有两根
.
此时，为开口向下的抛物线，
故原不等式的解集为.
综上所述，原不等式的解集为：
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为 ；
当时，解集为.
类型二、函数与方程中的分类讨论问题
【例3】函数的图象可能是（ ）
【思路点拨】对底数分两种情况讨论，结合图像恒过的定点可解。
【答案】D；
【解析】当时单调递增，，故A不正确；因为恒不过点，所以B不正确；当时单调递减，，故C不正确 ；D正确.
【总结升华】含有参数的函数的综合问题（本例是函数图像）历来就是高中数学的重点和难点之一。求解此类问题的关键一点就是紧扣对称轴，依此来展开有条理性的分类讨论。
举一反三：
【变式】函数的图象经过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+∞)上恒有f(x)<3，求函数f(x).
【解析】f(x)图象经过点(-1，3)，则，
整理得：，解得或
(1)当时，则，此时x∈(-1，+∞)时，f(x)>3，不满足题意；
(2)当，则，此时，x∈(-1，+∞)时，
即f(x)<3，满足题意为所求.
综上，.
【例4】已知函数(),.
(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;
(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.
【思路点拨】(1) 根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值。
(2)利用分类讨论的方法对参数a进行讨论求解。
【解析】(1)由为公共切点可得:,则,,
,则,,①
又,,,即,代入①式可得:.
(2),设
则,令,解得:,;
,,
原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增
①若,即时,最大值为;
②若,即时,最大值为
③若时,即时,最大值为.
综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为.
【总结升华】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点.
举一反三：
【变式】设，
（1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+∞）上的单调性；
（2）记f(x)在0
（1）设0
由题设x2-x1>0，ax1·x2>0
∴当00，
即f(x2)>f(x1)，则f(x)在区间（，+∞）单调递增.
（2）因为0
当>1，即0
【例5】已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．
【思路点拨】（Ⅰ）利用导数几何意义可直接求解。
（Ⅱ）（Ⅲ）利用导数结合参数取值分类讨论求解。
【解析】（Ⅰ）当时，，．
由 ， 得曲线在原点处的切线方程是．
（Ⅱ）．
① 当时，．
所以在单调递增，在单调递减．
当，．
② 当时，令，得，，与的情况如下：
↘
↗
↘
故的单调减区间是，；单调增区间是．
③ 当时，与的情况如下：
↗
↘
↗
所以的单调增区间是，；单调减区间是
（Ⅲ）由（Ⅱ）得， 时不合题意．
当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．
设为的零点，易知，且．从而时，；时，．
若在上存在最小值，必有，解得．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．
若在上存在最大值，必有，解得，或．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
综上，的取值范围是．
【总结升华】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。
举一反三：
【变式】已知函数有最大值2，求实数的取值.
【解析】
令，则().
(1)当即时，，解得:或（舍）；
(2)当即时，,解得:或（舍）；
(3)当即时，，解得（全都舍去）.
综上，当或时，能使函数的最大值为2.
类型三、数列中的分类讨论问题
【例6】已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.
【思路点拨】（Ⅰ）利用等差数列通项公式求解。
（Ⅱ）对n进行讨论，去掉绝对值得到分段通项公式求解。
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，
由题意得 解得或
所以由等差数列通项公式可得
，或.
故，或。
（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；
当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.
故
记数列的前项和为.
当时，；当时，；
当时，
. 当时，满足此式.
综上，
【总结升华】数列中的含参问题是一个需要牢记的分类推理过程，书写格式相对严格、规范。
举一反三：
【变式1】求数列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,……（其中a≠0）的前n项和Sn.
解析：数列的通项 an=an-1+an+…+a2n-2
讨论：
（1）当a=1时，an=n，Sn=1+2+…+n=
（2）当a=-1时，，∴，
（3）当a≠±1且a≠0时，，
∴
.
【例6高清课堂分类讨论的思想例题2ID: 404017】设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0 (n＝1，2，3…)．
(1)求q的取值范围；
(2)设bn＝an＋2－an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．
【思路点拨】(1)根据条件列出关于q的不等式，注意分类讨论．(2)能否判断{bn}为特殊数列进而求和作差、作商比较大小．
【解析】(1)∵{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0，
当q＝1时，Sn＝na1>0；
当q≠1时，Sn＝，即 (n＝1,2,3，…)，
上式等价于① (n＝1,2,3，…)
或② (n＝1,2,3，…)，
解①式得q>1；
解②式，由于n可为奇数、可为偶数，故－1
(2)由bn＝an＋2－an＋1，得bn＝an，Tn＝Sn，
于是Tn－Sn＝Sn＝Sn(q－2)．
又因为Sn>0且－10，所以
当－12时，Tn－Sn>0，即Tn>Sn；
当－
【总结升华】本题以等比数列为载体，涉及了分类讨论和大小比较的问题，综合性较强，应用了不等式的解法和比较大小的基本方法——作差比较法．同时含有字母q，一般要进行分类讨论，要特别注意等比数列求和公式在应用时一定要分q＝1和q≠1讨论。
举一反三：
【变式2】已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.
(Ⅰ)求q的值；
(Ⅱ)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
【解析】
(Ⅰ)由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,
∵a1≠0，∴2q2-q-1=0，
∴或，
(Ⅱ)若q=1，则
当n≥2时，
若
当n≥2时，
故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn>bn；当n=10时，Sn=bn；当n≥11时，Sn
类型四、解析几何中的分类讨论问题
【例7】已知椭圆C的方程为，点P（a,b）的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：
（1）点Q的轨迹方程.
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.
【思路点拨】本题求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识.
【解析】
（1）设点A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），点Q的坐标为Q（x,y）.
当x1≠x2时，可设直线l：y=k(x-a)+b
由已知，……①
y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b…②
由①得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0…③
由②得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b…④
由③、④及，，得
点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0……⑤
当x1=x2时，l平行于y轴，
因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a,0），
显然Q点的坐标满足方程⑤.
综上所述，点Q的坐标满足方程：2x2+y2-2ax-by=0.
设方程⑤所表示的曲线为L，
则由，得（2a2+b2）x2-4ax+2-b2=0
由于Δ=8b2(a2+-1)，由已知a2+≤1
所以当a2+=1时，Δ=0，
曲线L与椭圆C有且只有一个公共点P（a,b）.
当a2+<1时Δ<0，曲线L与椭圆无交点，
而因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，
所以曲线L在椭圆C内.
故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0.
(2)由，解得或，
又由，解得或，
则①当a=0,b=0,即点P(a,b)为原点.
曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0)
②当a=0且0<|b|≤时,
即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时,
点(a,0)与(0,0)重合，曲线L与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0)
③当b=0且0<|a|≤1时，
即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时,
曲线L与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0).
④当0<|a|<1且0<|b|<时,
即点P(a,b)在椭圆C内且不在坐标轴上时,
曲线L与坐标轴有三个交点(a,0),(0,b)与(0,0).
总结升华：本题充分运用了分类讨论的思想方法,以及综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉及知识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力,做为考题区分度好,特别是分类讨论时易出错.
举一反三：
【变式】讨论k的取值，说明方程表示的曲线.
【解析】方程中x、y的平方项系数是否为0，是否相等决定着方程表示的曲线，故需要对k值就以上情况分类讨论.
当k2=0即k=0时，方程化为，表示顶点在原点，x轴为对称轴，开口向左的抛物线.
当2k-1=0即时，方程化为x(x-8)=0
∴x=0或x=8，表示y轴和过点(8，0) 斜率不存在的两平行直线.
当k2=2k-1,即k=1时，方程化为，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆
当k≠0，，k≠1时
方程可化为
当
方程表示焦点在平行y轴直线上，中心在的椭圆
当时，方程表示以为中心，焦点在x轴上的双曲线.
【总结升华】处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程需要考虑斜率不存在这种情况，分类讨论。
【例8】已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以
为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．
【思路点拨】（1）有待定系数法可求出椭圆方程。
（2）先设出直线AP的方程，根据题意，表示出D、E的坐标，从而求出以BD为直径的圆的圆心和半径，再将AP的方程与椭圆方程联立，得到交点A、P的坐标关系，因为A点的坐标已知，从而求出点P的坐标，然后分直线PF斜率存在和不存在两种情况讨论直线PF与以BD为直径的圆的位置关系即可．
【解析】（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．
由题意知解得，．
故椭圆的方程为，离心率为．
（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．
证明如下：由题意可设直线的方程为.
则点坐标为，中点的坐标为．
由得．
设点的坐标为，则．
所以，．
因为点坐标为，
当时，点的坐标为，点的坐标为.
直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．
当时，则直线的斜率.
所以直线的方程为．
点到直线的距离．
又因为 ，所以．
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．
举一反三：
【变式】已知点，，动点P满足，记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）直线与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点，使得成立，求实数m的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为的椭圆．
∴，，．
W的方程是．
（Ⅱ）设C，D两点坐标分别为、，C，D中点为．
由 得 ．
所以
∴， 从而．
∴斜率．
又∵， ∴，
∴ 即
当时，；
当时，．
故所求的取范围是．
【高考展望】
数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
分类讨论是每年高考必考的内容，高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由求等。
【知识升华】
1．分类讨论的常见情形
（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.
（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的.
（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.
（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.
（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.
2.分类的原则
（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；
分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.
（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.
当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.
3.分类讨论的一般步骤
第一，明确讨论对象，确定对象的范围；
第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
第三，逐类讨论，获得阶段性结果；
第四，归纳总结，得出结论.
4. 分类讨论应注意的问题
第一，按主元分类的结果应求并集.
第二，按参数分类的结果要分类给出.
第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分类.
【典型例题】
类型一、不等式中参数的讨论问题
【例1】解关于的不等式：.
【思路点拨】依据式子的特点，此题应先按对最高次项的系数是否为0来分类，然后对式子分解因式，并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于与时，先写简单好作的.
【解析】
（1）当时，原不等式化为一次不等式：，∴；
（2）当时，原不等式变为：，
①若，则原不等式化为
∵，∴，∴不等式解为或，
②若，则原不等式化为，
（ⅰ）当时，，不等式解为，
（ⅱ）当时，，不等式解为；
（ⅲ）当时，，不等式解为，
综上所述，原不等式的解集为：
当时，解集为；
当时，解集为{x|x＞1}；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
总结升华：
这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。
举一反三：
【变式】解关于的不等式:（）.
【解析】原不等式可分解因式为: ，
（下面按两个根与的大小关系分类）
（1）当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：；
（1）当，即时，不等式的解集为：；
（2）当，即或时，不等式的解集为：；
综上所述，原不等式的解集为：
当或时，；
当时，；
当或时，.
【例2】解不等式>0 (a为常数，a≠－)
【思路点拨】含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－
所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
当－
当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a
举一反三：
【变式】解关于的不等式:.
【解析】
（1）当时，不等式为, 解集为；
（2）当时，需要对方程的根的情况进行讨论：
①
即时，方程有两根
.
则原不等式的解为.
②
即时，方程没有实根，
此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为.
③
即时，方程有两相等实根为，
则原不等式的解为.
（3）当时，恒成立，
即时，方程有两根
.
此时，为开口向下的抛物线，
故原不等式的解集为.
综上所述，原不等式的解集为：
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为 ；
当时，解集为.
类型二、函数与方程中的分类讨论问题
【例3】函数的图象可能是（ ）
【思路点拨】对底数分两种情况讨论，结合图像恒过的定点可解。
【答案】D；
【解析】当时单调递增，，故A不正确；因为恒不过点，所以B不正确；当时单调递减，，故C不正确 ；D正确.
【总结升华】含有参数的函数的综合问题（本例是函数图像）历来就是高中数学的重点和难点之一。求解此类问题的关键一点就是紧扣对称轴，依此来展开有条理性的分类讨论。
举一反三：
【变式】函数的图象经过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+∞)上恒有f(x)<3，求函数f(x).
【解析】f(x)图象经过点(-1，3)，则，
整理得：，解得或
(1)当时，则，此时x∈(-1，+∞)时，f(x)>3，不满足题意；
(2)当，则，此时，x∈(-1，+∞)时，
即f(x)<3，满足题意为所求.
综上，.
【例4】已知函数(),.
(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;
(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.
【思路点拨】(1) 根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值。
(2)利用分类讨论的方法对参数a进行讨论求解。
【解析】(1)由为公共切点可得:,则,,
,则,,①
又,,,即,代入①式可得:.
(2),设
则,令,解得:,;
,,
原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增
①若,即时,最大值为;
②若,即时,最大值为
③若时,即时,最大值为.
综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为.
【总结升华】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点.
举一反三：
【变式】设，
（1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+∞）上的单调性；
（2）记f(x)在0
（1）设0
由题设x2-x1>0，ax1·x2>0
∴当0
即f(x2)>f(x1)，则f(x)在区间（，+∞）单调递增.
（2）因为0
当>1，即0
【例5】已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．
【思路点拨】（Ⅰ）利用导数几何意义可直接求解。
（Ⅱ）（Ⅲ）利用导数结合参数取值分类讨论求解。
【解析】（Ⅰ）当时，，．
由 ， 得曲线在原点处的切线方程是．
（Ⅱ）．
① 当时，．
所以在单调递增，在单调递减．
当，．
② 当时，令，得，，与的情况如下：
↘
↗
↘
故的单调减区间是，；单调增区间是．
③ 当时，与的情况如下：
↗
↘
↗
所以的单调增区间是，；单调减区间是
（Ⅲ）由（Ⅱ）得， 时不合题意．
当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．
设为的零点，易知，且．从而时，；时，．
若在上存在最小值，必有，解得．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．
若在上存在最大值，必有，解得，或．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
综上，的取值范围是．
【总结升华】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。
举一反三：
【变式】已知函数有最大值2，求实数的取值.
【解析】
令，则().
(1)当即时，，解得:或（舍）；
(2)当即时，,解得:或（舍）；
(3)当即时，，解得（全都舍去）.
综上，当或时，能使函数的最大值为2.
类型三、数列中的分类讨论问题
【例6】已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.
【思路点拨】（Ⅰ）利用等差数列通项公式求解。
（Ⅱ）对n进行讨论，去掉绝对值得到分段通项公式求解。
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，
由题意得 解得或
所以由等差数列通项公式可得
，或.
故，或。
（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；
当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.
故
记数列的前项和为.
当时，；当时，；
当时，
. 当时，满足此式.
综上，
【总结升华】数列中的含参问题是一个需要牢记的分类推理过程，书写格式相对严格、规范。
举一反三：
【变式1】求数列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,……（其中a≠0）的前n项和Sn.
解析：数列的通项 an=an-1+an+…+a2n-2
讨论：
（1）当a=1时，an=n，Sn=1+2+…+n=
（2）当a=-1时，，∴，
（3）当a≠±1且a≠0时，，
∴
.
【例6高清课堂分类讨论的思想例题2ID: 404017】设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0 (n＝1，2，3…)．
(1)求q的取值范围；
(2)设bn＝an＋2－an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．
【思路点拨】(1)根据条件列出关于q的不等式，注意分类讨论．(2)能否判断{bn}为特殊数列进而求和作差、作商比较大小．
【解析】(1)∵{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0，
当q＝1时，Sn＝na1>0；
当q≠1时，Sn＝，即 (n＝1,2,3，…)，
上式等价于① (n＝1,2,3，…)
或② (n＝1,2,3，…)，
解①式得q>1；
解②式，由于n可为奇数、可为偶数，故－1
(2)由bn＝an＋2－an＋1，得bn＝an，Tn＝Sn，
于是Tn－Sn＝Sn＝Sn(q－2)．
又因为Sn>0且－1
当－1
当－
【总结升华】本题以等比数列为载体，涉及了分类讨论和大小比较的问题，综合性较强，应用了不等式的解法和比较大小的基本方法——作差比较法．同时含有字母q，一般要进行分类讨论，要特别注意等比数列求和公式在应用时一定要分q＝1和q≠1讨论。
举一反三：
【变式2】已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.
(Ⅰ)求q的值；
(Ⅱ)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
【解析】
(Ⅰ)由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,
∵a1≠0，∴2q2-q-1=0，
∴或，
(Ⅱ)若q=1，则
当n≥2时，
若
当n≥2时，
故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn>bn；当n=10时，Sn=bn；当n≥11时，Sn
类型四、解析几何中的分类讨论问题
【例7】已知椭圆C的方程为，点P（a,b）的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：
（1）点Q的轨迹方程.
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.
【思路点拨】本题求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识.
【解析】
（1）设点A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），点Q的坐标为Q（x,y）.
当x1≠x2时，可设直线l：y=k(x-a)+b
由已知，……①
y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b…②
由①得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0…③
由②得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b…④
由③、④及，，得
点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0……⑤
当x1=x2时，l平行于y轴，
因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a,0），
显然Q点的坐标满足方程⑤.
综上所述，点Q的坐标满足方程：2x2+y2-2ax-by=0.
设方程⑤所表示的曲线为L，
则由，得（2a2+b2）x2-4ax+2-b2=0
由于Δ=8b2(a2+-1)，由已知a2+≤1
所以当a2+=1时，Δ=0，
曲线L与椭圆C有且只有一个公共点P（a,b）.
当a2+<1时Δ<0，曲线L与椭圆无交点，
而因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，
所以曲线L在椭圆C内.
故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0.
(2)由，解得或，
又由，解得或，
则①当a=0,b=0,即点P(a,b)为原点.
曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0)
②当a=0且0<|b|≤时,
即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时,
点(a,0)与(0,0)重合，曲线L与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0)
③当b=0且0<|a|≤1时，
即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时,
曲线L与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0).
④当0<|a|<1且0<|b|<时,
即点P(a,b)在椭圆C内且不在坐标轴上时,
曲线L与坐标轴有三个交点(a,0),(0,b)与(0,0).
总结升华：本题充分运用了分类讨论的思想方法,以及综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉及知识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力,做为考题区分度好,特别是分类讨论时易出错.
举一反三：
【变式】讨论k的取值，说明方程表示的曲线.
【解析】方程中x、y的平方项系数是否为0，是否相等决定着方程表示的曲线，故需要对k值就以上情况分类讨论.
当k2=0即k=0时，方程化为，表示顶点在原点，x轴为对称轴，开口向左的抛物线.
当2k-1=0即时，方程化为x(x-8)=0
∴x=0或x=8，表示y轴和过点(8，0) 斜率不存在的两平行直线.
当k2=2k-1,即k=1时，方程化为，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆
当k≠0，，k≠1时
方程可化为
当
方程表示焦点在平行y轴直线上，中心在的椭圆
当时，方程表示以为中心，焦点在x轴上的双曲线.
【总结升华】处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程需要考虑斜率不存在这种情况，分类讨论。
【例8】已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以
为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．
【思路点拨】（1）有待定系数法可求出椭圆方程。
（2）先设出直线AP的方程，根据题意，表示出D、E的坐标，从而求出以BD为直径的圆的圆心和半径，再将AP的方程与椭圆方程联立，得到交点A、P的坐标关系，因为A点的坐标已知，从而求出点P的坐标，然后分直线PF斜率存在和不存在两种情况讨论直线PF与以BD为直径的圆的位置关系即可．
【解析】（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．
由题意知解得，．
故椭圆的方程为，离心率为．
（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．
证明如下：由题意可设直线的方程为.
则点坐标为，中点的坐标为．
由得．
设点的坐标为，则．
所以，．
因为点坐标为，
当时，点的坐标为，点的坐标为.
直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．
当时，则直线的斜率.
所以直线的方程为．
点到直线的距离．
又因为 ，所以．
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．
举一反三：
【变式】已知点，，动点P满足，记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）直线与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点，使得成立，求实数m的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为的椭圆．
∴，，．
W的方程是．
（Ⅱ）设C，D两点坐标分别为、，C，D中点为．
由 得 ．
所以
∴， 从而．
∴斜率．
又∵， ∴，
∴ 即
当时，；
当时，．
故所求的取范围是．
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