2020届二轮复习坐标系与参数方程学案（全国通用）

2020届二轮复习  坐标系与参数方程  学案（全国通用）

（一）极坐标

1. 极坐标系

平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。

2. 极坐标系内一点的极坐标

　 平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。

（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；

当时表示极点；

　　当时，点的位置这样确定：作射线，使，在的反向延长线上取一点P’，使得，点即为所求的点。

（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。

综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即，，均表示同一个点。

3. 极坐标与直角坐标的互化

当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：

直角坐标化极坐标：；

极坐标化直角坐标：

　　此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系。

4. 直线的极坐标方程：

（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及

（2）过垂直于极轴的直线：

5. 圆的极坐标方程：

（1）以极点为圆心，为半径的圆：

　  （2）若，，以为直径的圆：

（二）柱坐标系与球坐标系：

1. 柱坐标系的定义：

空间点P（x，y，z）与柱坐标（）之间的变换公式：

2. 球坐标系的定义：

空间点与球坐标之间的变换公式：

（三）参数方程

　　概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）

　　相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。

（四）常见曲线的参数方程

1．直线的参数方程

　　（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：

　　（为参数）；

　　其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，）。

（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：

（为参数，为常数，）；

　　其中的几何意义为：若是直线上一点，则。

2. 圆的参数方程

　　（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：

（是参数，）；

特别地，当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。　

　　（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

　　（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程

（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。

（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。

　　如图中，点对应的角为（过作轴，

　　交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。

（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。

　　椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程

　　双曲线（,）的参数方程为（为参数）。　

5. 抛物线的参数方程

　　抛物线（）的参数方程为（是参数）。

　　参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。

6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：

（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；

　　（2）摆线的参数方程　 （是参数）。

能力提升类

例1  已知曲线： （t为参数），：（为参数）。

（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若上的点P对应的参数为，Q为上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值。

一点通：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线表示一个圆；曲线表示一个椭圆；

（2）把t的值代入曲线的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线的参数方程设出点Q的坐标，利用中点坐标公式表示出点M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出点M到已知直线的距离，据两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．

答案：（1）

为圆心是，半径是1的圆。

为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。

（2）当时，，故，为直线，

中点M到的距离

从而当时，取得最小值。

点评：此题考查运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．

例2  若直线与曲线为参数，且有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________．                               

一点通：本题中参数方程表示的是圆的一部分，可以通过图形解答。

答案：曲线为参数，且表示的以原点为圆心，以1为半径的右半圆，（如图），直线与曲线有两个不同的交点,直线应介于两直线之间则

点评：对于熟悉的曲线常用数形结合法解答。

例3  已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线的参数方程为（t为参数，t∈R）．

（Ⅰ）求直线和曲线C的普通方程；   （Ⅱ）求点F1、F2到直线的距离之和。

一点通：本题中的椭圆为极坐标方程，直线为参数方程，先把它们化为普通方程，再由点到直线的距离公式求距离。

答案：（Ⅰ）直线普通方程为；曲线的普通方程为

    （Ⅱ）∵,，∴点到直线的距离 

点到直线的距离 ∴

点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程。极坐标方程化为普通方程时可由公式进行转化，即同乘右面的分母把分母去掉，得到普通方程。而对于参数方程则两式相减消掉参数即可。

综合运用类

例4  已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．

一点通：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答。

答案：曲线C的极坐标方程是，化为直角坐标方程为，

即，直线l的参数方程为，化为普通方程为x－y－1=0，

曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为=．

点评：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长，一般由圆心距和半径求出。

例5  在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，

求|PA|+|PB|。

一点通：（Ⅰ）利用极坐标公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ进行化简即可求出圆C的普通方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得到关于参数t的一元二次方程，结合参数t的几何意义利用根与系数的关系即可求得|PA|+|PB|的值．

答案：（Ⅰ）由得即

（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，

即由于，故可设是上述方程的两实根，

所以故由上式及t的几何意义得：

|PA|+|PB|==。

点评：本题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。

思维拓展类

例6  在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．

一点通：由于已知条件中的椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求的最大值需要把椭圆的方程，改写为参数方程，变为一次运用代入求之。

答案：因椭圆的参数方程为，

故可设动点的坐标为，其中。

因此

所以，当时，取得最大值2。

点评：在所求函数为一次，而已知为二次时，常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或三角代换，目的就是降次。

例7  实数、满足，求（1），（2）的取值范围。

一点通：利用圆的参数方程进行换元，转化为三角函数求范围的问题

答案：（1）由已知，

　　设圆的参数方程为（为参数）

∴

∵，∴

（2）

∵，∴。

点评：本题的解法众多，此处利用参数方程进行换元，将问题转化为三角的问题。

例8  如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴已与轴重合）所在的平面为，。

（Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的

坐标为      ；

（Ⅱ）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是           。

一点通：（I）根据两个坐标系之间的关系，由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变，是2，距离y轴的距离变成cos45°，写出坐标．（II）设出所给的图形上的任意一点的坐标，根据两坐标系之间的坐标关系，写出这点的对应点，根据所设的点满足所给的方程，代入求出方程．

答案：（Ⅰ）设P为（a, b）,因为y轴与y＇轴重合，故P＇到y轴的距离为，到x轴的距离为2，又因为，则b=2，a=故P（2，2）。

（Ⅱ）设平面β内任意一点P（x,y），其在内的射影为，由平面图形可知，，，即，，故射影C的方程为即。

点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查两个坐标系之间的坐标关系。

1. 平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题，以这两个量为变量建立极坐标系得到点的坐标、线的方程研究问题就比较容易，而研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则有和这样的互化关系式，这就给两种方程之间建立了桥梁关系。

2. 参数方程是曲线上点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。参数方程的求法：（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P的坐标为；（2）选取适当的参数；（3）根据已知条件和图形的几何性质、物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程。求曲线的参数方程关键是参数的选取，选取参数的原则是曲线上任一点坐标，当参数的关系比较明显、关系相对简单，与运动有关的问题选取时间做参数，与旋转有关的问题选取角做参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜角、斜率等。

常见曲线的参数方程要熟悉，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，并明确各参数所表示的含义。在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答。

1. 注意在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以取任意的正角或负角。当＜0时，点M（，）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。M（，）也可以表示为

2. 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：

代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数。

三角法：利用三角恒等式消去参数。

整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

化参数方程为普通方程：在消参过程中注意变量、取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定和的值域，从而得到、的取值范围。

（答题时间：45分钟）

一、选择题

1. 与普通方程+y-1=0等价的参数方程为（t为参数）（  ）

2. 直线的参数方程为（是参数），则直线的倾斜角为（  ）

A. 40°             B. 50°            C. 140°           D. 130°

3. 设，则的最大值为（  ）

A.         B.          C.         D.

4. 在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为（  ）

A. 2         B.         C.         D.

5. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（  ）

A.    B.    C.   D.

二、填空题：

1. 在极坐标系中，过圆=6cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为     

2. 直线（t为参数）被双曲线=1截得的弦长为           

3. 直线（是参数）上与点距离等于4的点的坐标为__________

4. 直线（是参数）上两点对应的参数值分别为，则__________

三、解答题：

1. 在极坐标系中,设圆上的点到直线的距离为,求的最大值。

2. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，曲线C2的参数方程为。在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=a与C1，C2各有一个交点．当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=时，这两个交点重合．

（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

（II）设当时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

一、选择题

1. B

A项化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1]，

B项化为普通方程为x2+y-1=0,x∈R,y∈（-∞,1]，

C项化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[0,+∞）,y∈（-∞,1]，

D项化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1]，

而已知方程x2+y-1=0，x∈R，y∈（-∞,1],显然与之等价的方程是B项。

2. D  

，所以倾斜角为130°。

3. B  法一：（柯西不等式）；

法二：设，，则

（时取等号）。

4. D

极坐标系中的点（2，）化为直角坐标系中的点为（1，）；极坐标方程化为直角坐标方程为，即，其圆心为（1,0），∴所求两点间的距离为=，故选D。

5. B

，圆心的直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。

二、填空题：

1. cos＝3   由题意可知圆的标准方程为，圆心是（3，0），所求直线的标准方程为x＝3，则极坐标方程为cos＝3．

2.   （t′=2t为参数），  

代入=1,得：=1，

整理得：-4t′-6=0，设其两根为,，则

+=4,·=-6，从而弦长为

|AB|=|-|=

3. 或

从而

或

4.    

法一：变为（其中），故；

法二：所以

，故。

三、解答题：

1. 解法一：将极坐标方程转化为普通方程：，可化为，在上任取一点A,则点A到直线的距离为

,它的最大值为4。

解法二：将极坐标方程转化为普通方程：，  可化为，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4。

2. 解：（Ⅰ）是圆，是椭圆。

当时，射线与，交点的直角坐标分别为，因为这两点间的距离为2，且,所以。

当时，射线与，交点的直角坐标分别为，因为这两点重合，所以。

（Ⅱ），的普通方程分别为和。

    当时，射线与交点的横坐标为，与交点的横坐标为

当时，射线与，的两个交点分别与，关于轴对称，因此四边形为等腰梯形。故四边形的面积为。