2020数学(理)二轮复习第1部分主题1集合、复数、平面向量学案
展开1.集合
解决集合问题应注意4点
(1)在化简集合时易忽视元素的特定范围(如集合中x∈N，x∈Z等)致误，如T1.
(2)对于用描述法表示的集合，一定要抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}表示函数的定义域；{y|y＝lg x}表示函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}表示函数图象上的点集，如T4.
(3)空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，易忽略A＝的情况．如T3.
(4)进行集合运算时，注重数形结合在集合示例中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值，如T2.
1．(2019·吉林市普通中学三调)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2＋x－2＜0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{－1} B．{－1,1}
C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}
C [由题意知B＝{x|－2＜x＜1，x∈Z}＝{－1,0}，所以A∪B＝{－1,0,1}，故选C.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
C [∵N＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C.]
3．(2019·攀枝花市第二次统考)集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∪B＝A，则由实数a组成的集合为( )
A．{－2} B．{1}
C．{－2,1} D．{－2,1,0}
D [因为A∪B＝A，所以B⊆A，又因为集合A＝{－1,2}，∴B＝或B＝{－1}或B＝{2}，由B＝{x|ax－2＝0}可知a＝0,1，－2.故选D.]
4．已知集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}，B＝{x|ex>1}，则( )
A．A∪B＝{x|x>0} B．A∩B＝
C．A∩RB＝ D．(RA)∪B＝R
B [∵A＝{x|y＝ln(1－2x)}＝，
B＝{x|ex>1}＝{x|x>0}，
∴A∩B＝，故选B.]
2．复数
解决复数问题应注意3点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，复数的实部为a，虚部为b. 如T2.
(2)与复数的模、共轭复数、复数的几何意义等有关的问题，常先运算再求解．如T3，T4.
(3)注意虚数单位i的in(n∈N)周期为4，如T1.
1．若复数z满足z(1－i)＝1＋i，i为虚数单位，则z2 019＝( )
A．－2i B．i
C．－i D．2i
C [由题意可得，z＝＝＝＝i.
所以z2 019＝i2 019＝－i，故选C.]
2．复数z＝a2－1＋(a＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中a∈R，则的实部为( )
A．－ B．－
C． D．
C [根据z＝a2－1＋(a＋1)i为纯虚数，
可得解得a＝1，
则＝＝＝＝－i，
所以其实部是.]
3．[一题多解](2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
C [法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.]
4．(2019·长沙一模)在复平面内表示复数的点位于第一象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
D [因为复数＝＝＋i对应的点位于第一象限，所以解得m>1，故选D.]
3．平面向量
解决平面向量问题应注意3点
(1)平面向量的线性运算，要利用三角形法则与平行四边形法则及相关定理求解，如T1，T3.
(2)平面向量的数量积、夹角、模的运算，常利用数量积及其性质求解，如T2.
(3)与数量积有关的最值问题，常通过坐标法转化为代数运算求解，如T4.
1．(2019·衡水中学模拟)在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，＝(2，－3)，则点D的坐标为( )
A．(6,1) B．(－6，－1)
C．(0，－3) D．(0,3)
A [∵A(1,2)，B(－2,0)，∴＝(－3，－2)，∴在平行四边形ABCD中，＝－＝(5，－1)，设D点坐标为D(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝(5，－1)，∴
解得故D(6,1)，故选A.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
B [设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝.故选B.]
3．(2019·汉中市重点中学3月联考)已知向量a，b不共线，m＝2a－3b，n＝3a＋kb，如果m∥n，则k＝________.
－ [因为m∥n，所以2a－3b＝λ(3a＋kb)，则3λ＝2，λk＝－3，所以k＝－.]
4．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，A＝，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则·的最小值为________．
5－2 [如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
则A(0,0)，B(4,0)，C(1，)，
设P(x，y)，则
＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)，
∴·＝(4－x)(1－x)－y(－y)＝x2－5x＋y2－y＋4＝2＋－3，
其中＋表示圆A上的点P与点M间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝－1＝－1，
∴(·)min＝(－1)2－3＝5－2.]
