2020数学(理)二轮复习第1部分主题2常用逻辑用语、不等式、算法与逻辑推理学案
展开1．常用逻辑用语
解决常用逻辑用语问题应注意4点
(1)含有一个量词的命题的否定，其原则为“改量词、否结论”，如T1.
(2)充分必要条件的判断可利用定义或借助集合间的关系来判断，如T2.
(3)命题p，q的真假与命题p∧q，p∨q，p的真假关系．用语言概括为：p∧q“见假就假”，p∨q“见真就真”，¬p“真假相对”，如T3.
(4)弄清充分条件与必要条件的定义：如“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A，且AB；而“A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B，且BA，如T4.
1．(2019·乌鲁木齐市一模)已知命题p： x∈R，cos x≤1，则( )
A．¬p： x∈R，cos x≥1 B．¬p：x∈R，cos x＜1
C．¬p：x∈R，cos x≤1 D．¬p：x∈R，cos x＞1
D [命题p：x∈R，cos x≤1，是一个全称命题，∴¬p：x∈R，cos x＞1，故选D.]
2．(2019·北京高考)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C [若|＋|＞||，则|＋|2＞||2，2＋2＋2·＞||2，∵点A，B，C不共线，∴线段AB，BC，AC构成一个△ABC，设内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知，2＋2＋2·＞||2，即c2＋b2＋2bc·cos A＞c2＋b2－2bc·cos A，∴cos A＞0，又A，B，C三点不共线，故与的夹角为锐角．反之，易得当与的夹角为锐角时，|＋|＞||，
∴“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的充分必要条件，故选C.]
3．[一题多解](2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q；②¬p∨q；③p∧¬q；④¬p∧¬ q.
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
A [法一：(直接法)画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；
命题q：(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．
∴①③真，②④假．故选A.
法二：(特值法)取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．
∴①③真，②④假．故选A.]
4．(2019·临沂高三2月教学质量检测)函数f(x)＝ax2－2ax＋ln x在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )
A．a∈ B．a∈
C．a∈ D．a∈
A [f′(x)＝ax－2a＋＝(x>0)．
令 g(x)＝ax2－2ax＋1，
因为函数f(x)在(1,3)上不单调，所以函数g(x)＝ax2－2ax＋1在(1,3)上有实数根，
当a＝0时，显然不成立，
当a≠0时，只需
解得a＞1或a＜－，即a∈∪(1，＋∞)．
它的充分不必要条件即为一个子集，故选A.]
2．不等式
解决不等式问题应注意4点
(1)代数式的比较大小问题常借助不等式的性质或函数的性质或用特值法求解，如T1.
(2)用基本不等式“≥ (a，b>0)”求最值(或值域)时，要注意到条件“一正、二定、三相等”， 这三个条件缺一不可，如T2.
(3)注意一元二次不等式的解集与不等式恒成立是不同的，前者是解不等式，而后者是借助函数的性质求参数的取值范围，如T5.
(4)求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点与点(－2,2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点到点(1,1)的距离的平方等．同时解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负，如T3，T4.
1．(2019·海淀区4月期中)已知a＜b，则下列结论中正确的是( )
A．c＜0，a＞b＋c B．c＜0，a＜b＋c
C．c＞0，a＞b＋c D．c＞0，a＜b＋c
D [因为a＜b，c＞0，所以a＜b＋c恒成立，因此D正确，故选D.]
2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4
C. D．5
C [∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝＝＋＋≥＋2＝当且仅当＝，即b＝2a＝时，等号成立，故y＝＋的最小值为.]
3．若x，y满足约束条件则z＝3x－y的取值范围为( )
A. B.
C. D.
D [作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，
作直线l0：3x－y＝0，将直线l0向右平行移动时，过点A，B时直线分别在y轴上截距最小与最大，此时z取得最小值与最大值．联立方程组⇒所以A，联立方程组⇒所以B，所以将A点坐标代入z＝3x－y得z＝，将B点坐标代入z＝3x－y得z＝.故选D.]
4．已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝的最大值为( )
A. B.
C．2 D.
B [由线性约束条件，作出可行域如图阴影部分所示：
由图可知，点A到原点距离最大，此时A(1,3)．
所以z＝＝，故选B.]
5．若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
(－2,2] [不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需解得－2<a<2，
所以a的取值范围为(－2,2]．]
3．算法与逻辑推理
解决算法与逻辑推理问题应注意4点
(1)处理循环结构的框图问题，关键是认清终止循环结构的条件及循环次数，如T1.
(2)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．
(3)解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题，如T3.
(4)解决类似“真假话”问题的逻辑推理问题，通过分析题干信息得出彼此之间的关系(或矛盾)，从而推出正确结果，如T2.
1．(2019·全国卷Ⅰ)如图是求的程序框图，图中空白框中应填入( )
A．A＝ B．A＝2＋
C．A＝ D．A＝1＋
A [对于选项A，A＝，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故A正确；经验证B，C，D均不符合题意，故选A.]
2．[新题型：多选题]2019年全国两会之后，某地区为改善民生，调研了甲、乙、丙、丁、戊5个民生项目，得到如下信息：①若该地区引进甲项目，就必须引进与之配套的乙项目；②丁、戊两个项目与民生密切相关，这两个项目至少要引进一个；③乙、丙两个项目之间有冲突，两个项目只能引进一个；④丙、丁两个项目关联度较高，要么同时引进，要么都不引进；⑤若引进项目戊，甲、丁两个项目也必须引进．则该地区应引进的项目为( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
CD [由②知丁、戊两个项目至少要引进一个，若引进戊项目，则由⑤可知甲、丁两个项目也必须引进；由①④可知必须引进乙、丙两个项目，与③矛盾，因此必须引进丁项目．由④可知必须引进丙项目；由③可知不能引进乙项目；由①可知不能引进甲项目，故该地区只能引进丙、丁两个项目．故选CD.]
3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(1,2,3)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________．
x＋2y－z－2＝0 [由题意可设Q(x，y，z)为所求平面内的任一点，则根据⊥m，得·m＝0，
所以(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，
化简得x＋2y－z－2＝0.
故所求平面方程为x＋2y－z－2＝0.]
