2020届二轮复习函数的奇偶性的判断和证明教案（全国通用）
展开【例1】判断下列函数的奇偶性.
（1） （2）
【点评】（1）判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件.（3）函数的定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简.
【例2】 定义在实数集上的函数，对任意，有
且
①求证： ②求证：是偶函数
【解析】证明：①令，则 ∵ ∴
②令，则 ∴
∴是偶函数
【点评】对于抽象函数的奇偶性的判断，和具体函数的判断方法一样，不同的是，由于它是抽象函数，所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如等. *
【例3】判断函数的奇偶性
【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当求要代入下面的解析式，因为,不是还代入上面一段的解析式.
【反馈检测1】已知
（1）判断的奇偶性； （2）求的值域．
【反馈检测2】已知函数定义域为，若对于任意的，都有
，且时，有.
（1）证明函数是奇函数；（2）讨论函数在区间上的单调性；
（3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.
方法二 | 和差判别法 |
使用情景 | 一般与对数函数指数函数有关. |
解答步骤 | 对于函数定义域内的任意一个，若，则是奇函数；若，则是偶函数. |
【例4】判断函数的奇偶性.
【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差判别法可以化繁为简，简捷高效.
【反馈检测3】已知函数.
（1）求的定义域； （2）判定的奇偶性；
（3）是否存在实数，使得的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【例5】判断函数的奇偶性.
【解析】由题得，因为
，所以，所以是偶函数.
【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差判别法可以化繁为简，简洁高效.
方法三 | 作商判别法 |
使用情景 | 一般含有指数函数运算. |
解答步骤 | 对于函数定义域内任意一个，设，若，则是奇函数，，则是偶函数. |
【例6】 证明函数是奇函数.
【点评】作商判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用作商判别法可以化繁为简，简捷高效.
高中数常见题型解法归纳及反馈检测第07讲：
函数的奇偶性的判断和证明参考答案
【反馈检测1答案】（1）奇函数；（2）．
【反馈检测2答案】（1）奇函数；（2）单调递增函数；（3）或.
【反馈检测2详细解析】（1）因为有，
令，得，所以，
令可得： 所以，所以为奇函数.
（2）是定义在上的奇函数，由题意设，则
由题意时，有，
是在上为单调递增函数；
（3）因为在上为单调递增函数，所以在上的最大值为，
所以要使<，对所有恒成立，
只要，即，
令
由 得，或.
【反馈检测3答案】（1）定义域为；（2）在定义域上为奇函数；（3）.
即是方程的两个实根，于是问题转化成关于的方程
上有两个不同的实数解.
令 则有：
故存在这样的实数符合题意.
