2020届二轮复习基本计数原理的综合应用教案（全国通用）
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基本计数原理的综合应用
【例1】 用，，，，排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】略
【答案】20；
【例2】 若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象．则称为“可连数”．例如：是“可连数”，因不产生进位现象；不是“可连数”，因产生进位现象．那么，小于的“可连数”的个数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】“可连数”是一位数时，设为，则，
共有个；
是两位数时，设为，易知，，由题意，且，，，共有个；
是三位数时，设为，易知，，由题意有
，，，故，，，共有个．
可连数的个数为个．选D．
【答案】D；
【例3】 由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】四点共面的有6个侧面和6个对角面；
此外由正方体的面对角线还可形成由3点确定的平面，每个面有2条对角线，每条对角线可形成2个由面对角线确定的平面，故这样的面共有个．
因此不同的平面共有个
【答案】20；
【例4】 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】2003年，全国高考
【解析】首先涂A，剩下只有3种颜色可供选择，若不同色则必同色，
反之亦然．即或同色．
方法一：
以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类．
①用3种不同颜色时，区域必同色，区域也必同色，故共有种；
②用4种不同颜色时，若区域同色有种，若区域同色有种，故用四种颜色时共有种．
由加法原理得不同的涂色方法数共有种．
方法二：
以不相邻区域为主分类计数，分两类涂色．
①当区域同色时，区域A有4种，区域B有3种， 区域C有2种， 区域E有2种，故共有种；
②当区域不同色时，区域A有4种，区域B有3种， 区域D有2种， 区域E有1种， 区域D有1种，故共有种；
由加法原理得不同的涂色方法数共有种．
【答案】72；
【例5】 如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，全国高考
【解析】相当于四种颜色涂，相邻的不同色．
方法一：
以颜色为主分类计数，按颜色的多少分三类．
①用4种颜色时，有种；
②用3种颜色时，则同色或同色，分别都有种；
③用2种颜色时，则同色且同色，有种
总共有+2+种，选B
方法二：
以不相邻区域为主分类计数
首先A有4种可选．
当同色时，B有3种，C有3种；
当不同色时，B有3种，D有2种，C有2种．
由加法和乘法原理可得总数为种．
【答案】B;
【例6】 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种．（以数字作答）
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】2003年，江苏高考
【解析】方法一：
以区域为主分步计数（从相邻颜色最多的区域开始（最大相邻原则）），分4步涂色，第一步先涂1 有4种，第二步再涂2（与1不同色）有3种，第三步涂3（与1、2不同色）有2种．
4和6都有2种，其中4和6同色的有1种，不同色的有3种．同色时，5有2种；不同色时，5只有1种．故总共有种．
方法二：
以颜色为主分步计数，易知4种颜色都得用到（格1与其它的都不同色，而涂剩下的格子两种颜色显然不够）．
①先涂1，有4种；
②剩下3种颜色涂剩下5个格子，必有一种颜色只在一个格子出现，从剩余5个格子中选一个涂这种颜色有3·=15种；
③剩余4个格子用剩余的两种颜色染只有2种染法，由乘法原理共有4·15·2=120种．
方法三：
用分类思想解决．
易知4种颜色都得用到，而且没有一种颜色会涂3个格子，最多涂两个．因此4种颜色涂6个格子的方案只能是：两种颜色各涂一个格子，另两种要各涂两个格子．
①2与5同色、4与6同色，则有；
②3与5同色、4与6同色，则有；
③2与5同色、3与6同色，则有；
④3与5同色、2与4同色，则有；
⑤2与4同色、3与6同色，则有；
所以根据加法原理得涂色方法总数为．
【答案】120；
【例7】 分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】，实际上就是找分子中不能被5或7或11整除的数个数，用间接法．
⑴被5、7和11这3个都整除的只有385一个；
⑵只被其中两个整除的：只被5和7整除的有个；只被5和11整除的有个；只被7和11整除的有个．共有个；
⑶只被其中1个整除的：能被5整除的共有个，其中包括只被5和7整除的10个、只被5和11整除的6个以及被3个整除的1个，故只能被5整除的有个；同样的可算出只能被7整除的有个；只能被11整除的有个．共有个．
因此1到385中不能被5或7或11整除的数有个，即最简真分数有240个．
如果有一个最简真分数为，则必有一个最简真分数为与之对应，这一对的和为1．因此240个最简真分数的和为．
【答案】120；
【例8】 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】2018年，重庆高考
【解析】同样可看成对6个点进行4种颜色的涂色，同一线段两端不同色，
每种颜色至少有一种．
首先对A涂色，共有4种可能，然后B有3种，C有2种，已经用了3种颜色，因为每种颜色都至少有一个，所以
当涂第4种颜色时，有两种颜色可选择（A或C的颜色）
①与A同色，此时只能选B的颜色，只有1种；
②与C同色，此时有2种选择（A或B的颜色）
故共有种方法．
同样的，当或涂第4种颜色时，也各有种
因此总方法数是．
【答案】216；
【例9】 用，，，，，这个数字，可以组成_______个大于，小于的数字不重复的四位数．
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】分四类：
①千位数字为之一时，百十个位数只要不重复即可，有（个）；
②千位数字为，百位数字为之一时，共有（个）；
③千位数字是，百位数字是，十位数字是之一时，共有（个）；
④最后还有也满足条件．
所以所求四位数共有（个）．
【答案】175；
【例10】 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，福建高考
【解析】先考虑所有的号码数：后四位依次选择数字，分成四步，每步有种选法，
共种选取方法；再考虑后四位都不带有和的所有号码，每步有种选法，仍然是步，共有种选法，故“优惠卡”的个数为（个）．
【答案】C；
【例11】 同室人各写张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿张别人送出的贺年卡，则张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略分析：本题完成的具体事情是四个人，每人抽取一张贺卡，
问题是按照一定要求，抽取结果有多少种不同情况．我们可以把抽卡片的过程分成四步，先是第一人抽，然后第二人，以此类推，但存在的问题是，我们把四个人记为、、、，他们的卡片依次记为、、、，如果第一步抽取，接着可抽、、，有三种方法，而抽或，仅有两种抽法，这样两步之间产生影响，这样必须就抽的结果进行分类．
法一：
设四人、、、写的贺年卡分别是、、、，当拿贺年卡，则可拿、、 中的任何一个，即“拿，拿，拿”或“拿，拿，拿”或“拿，拿，拿”，所以拿时有三种不同分配方法．同理，拿、时也各有三种不同的分配方式．由分类计数原理，四张贺年卡共有种分配方式．
法二：
让四人、、、依次拿一张别人送出的贺年卡．如果先拿有种，此时写被拿走的那张贺年卡的人也有种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有一种取法．由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有种．
∴ 应选B．
点评：⑴本题从不同的角度去思考，从而得到不同的解答方法，法一是用分类计数原理解答的，法二是用分步计数原理解答的．
⑵如果把四个人依次抽取的结果用一个图表体现出来，就显得更加清楚．
共有种不同结果．
这个图表我们称之为“树形图”，在解决此类问题往往很有效，通过它可以把各种不同结果直观地表现出来．
【答案】B；
【例12】 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】A；
【例13】 某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ）
A．15种 B．12种 C．9种 D．6种
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年，北京崇文一模
【解析】按第三个树坑分类，
如果种甲种树苗，则有种方案；
如果种乙或丙种树苗，都只有种方案；
因此总共的方案有种。D;
【答案】D；
【例14】 如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为 （用数字作答）.
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，海淀一模
【解析】先从五片花瓣中取三片，有种取法，再从种颜色选一种涂色，
最后再涂其余两片花瓣，因此共有种不同的涂法.
【答案】240；
【例15】 用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年，北京高考
【解析】分两种情况：个数为与个位不为．
个位为的数只需再确定十位与百位即可，有个；个位不为的，需要在中任选一个放在个位，再在除与个位数字之外的个数字中选择一个数字放在百位，最后选定十位，共有种．故共有满足条件的数个．
【答案】B；
【例16】 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“、、”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种．
A． B． C． D．
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】B．涂标记的小正方形，有种方案；
涂中的小正方形，若涂的颜色与中的颜色相同，则涂有种方案；
若涂的颜色与中的颜色不同，有种涂法，则涂有种方案；
于是总的涂法为种．
【答案】B;
【例17】 足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】基本计数原理的综合应用
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】设胜、平、负的场次分别为，则，
由，可得，即可得所求情况有种．
【答案】B
