2020届二轮复习排列、组合与二项式定理教案（全国通用）

2020届二轮复习 排列、组合与二项式定理 教案（全国通用）
1．两个重要公式
(1)排列数公式
A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)组合数公式
C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．
2．三个重要性质和定理
(1)组合数性质
①C＝(n，m∈N*，且m≤n)；
②C＝(n，m∈N*，且m≤n)；
③C＝1.
(2)二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn，其中通项Tr＋1＝Can－rbr.
(3)二项式系数的性质
①C＝C，C＝C，…，C＝C；
②C＋C＋C＋…＋C＝2n；
③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

高频考点一　排列与组合
例1．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】1260
【解析】若不取零，则排列数为若取零，则排列数为[来源:]
因此一共有个没有重复数字的四位数.
【举一反三】【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。
【变式探究】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A）24 　（B）48 　（C）60 　（D）72
【答案】D
【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.
【变式探究】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
高频考点二　排列组合中的创新问题
例2．用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
解析　分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.
答案　A
【变式探究】设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)
A．60 B．90 C．120 D．130
解析　易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有CC＝10种情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C＋CC＝40种情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C＋CC＋CC＝80种情况．由于10＋40＋80＝130，故答案为D.
答案　D
高频考点三　二项展开式中项的系数
例3．（2018年全国Ⅲ卷理数）的展开式中的系数为
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
【答案】C
【解析】由题可得
令,则，所以，故选C.
【举一反三】（2018年天津卷）在的展开式中，的系数为____________.
【答案】
【解析】结合二项式定理的通项公式有：，
令可得：，则的系数为：.
【变式探究】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）
【答案】60.
【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。
【变式探究】 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20 C．30 D．60
解析　Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.
∴C(x2＋x)3y2的第r＋1项为CCx2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为CC＝30.
答案　C
高频考点四　二项展开式中的常数项
例4．（2018年浙江卷）二项式的展开式的常数项是___________．
【答案】7
【解析】二项式的展开式的通项公式为,
令得，故所求的常数项为
【变式探究】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为
（A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4
【答案】A
【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.学科=网
【变式探究】已知的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(　　)
A. B．－ C．6 D．－6
解析　的展开式通项Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx－r，令－r＝，则r＝1，
∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.
答案　D
高频考点五　二项式定理的综合应用
例5．【2017课标1，理6】展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
【变式探究】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.
【答案】－2
【解析】因为，所以由，因此
【变式探究】二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
解析　由题意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.[来源:学_科_网]
答案　C

1. （2018年全国Ⅲ卷理数）的展开式中的系数为
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
【答案】C
【解析】由题可得
令,则，所以，故选C.
2. （2018年浙江卷）二项式的展开式的常数项是___________．
【答案】7
【解析】二项式的展开式的通项公式为,
令得，故所求的常数项为
3. （2018年天津卷）在的展开式中，的系数为____________.
【答案】
【解析】结合二项式定理的通项公式有：，
令可得：，则的系数为：.[来源:]
4. （2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】1260
【解析】若不取零，则排列数为若取零，则排列数为
因此一共有个没有重复数字的四位数.
1.【2017课标1，理6】展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
【答案】C
【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.
2.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。
3.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
【答案】 1080
【解析】
4.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .
【答案】4
【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．
1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
【答案】B
【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.
2.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为
（A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4
【答案】A
【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.
3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A）24 　（B）48 　（C）60 　（D）72
【答案】D
【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.
4.【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项
为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有
（ ）
（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个
【答案】C
【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：
0
0
0
0[来源:学。科。网]
1
1[来源:]
1[来源:Z_xx_k.Com][来源:]
1[来源:学,科,网Z,X,X,K]
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
5.【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）
【答案】60.
【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。
6.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）
【答案】10
【解析】
试题分析：的展开式的通项为 (，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.
7.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)
【答案】－56
【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56．
8.【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.
【答案】－2
【解析】因为，所以由，因此
9.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
（1）求 的值；
（2）设m，nN*，n≥m，求证：
（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.
【答案】（1）0（2）详见解析
【解析】
解：（1）
（2）当时，结论显然成立，当时

又因为
所以
1．(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答)．
解析　依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560条毕业留言．
答案　1 560

2．(2015·北京，9)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________(用数字作答)．
解析　展开式通项为：Tr＋1＝C25－rxr，∴当r＝3时，系数为C·25－3＝40.
答案　40
3．(2015·天津，12)在的展开式中，x2的系数为________．
解析　的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r；
当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为
C＝.
答案　
1. 【2014高考广东卷理第8题】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分以下三种情况讨论，
（1），则上述五个数中有一个为或，其余四个数为零，此时集合有
个元素；
（2），则上述五个数中有两个数为或，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个；
（3），则上述五个数中有三个数为或，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个；
综上所述，集合共有个元素.故选D.
【考点定位】计数原理
2. 【2014高考湖北卷理第2题】若二项式的展开式中的系数是84，则实数（ ）
A.2 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】因为，令，得，
所以，解得，故选C.
【考点定位】二项式定理的通项公式
3. 【2014高考湖南卷第4题】的展开式中的系数是（ ）
A. B. C.5 D.20
【答案】A
【解析】根据二项式定理可得第项展开式为,则时,
,所以的系数为,故选A.
【考点定位】二项式定理
4. 【2014大纲高考理第5题】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【答案】C．
【解析】由已知可得不同的选法共有，故选C．
【考点定位】排列组合．
5.【2014大纲高考理第13题】 的展开式中的系数为 .
【答案】70.
【考点定位】二项式定理．
6. 【2014高考北京卷理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有 种.
【答案】36
【解析】先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.
【考点定位】排列组合
7. 【2014高考安徽卷理第13题】设是大于1的自然数，的展开式为.若点的位置如图所示，则.

【答案】3
【解析】由图易知，则，即，解得.
【考点定位】1.二项展开式的应用.
8. 【2014辽宁高考理第6题】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
【答案】C
【解析】
如图，将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”号位置做热坐人，故总数由4=24，故选D.
【考点定位】排列组合.
9. 【2014全国1高考理第13题】的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）
【答案】-20
【解析】由题意，展开式通项为，．当时，；当时，，故的展开式中项为，系数为-20．
【考点定位】二项式定理．
10. 【2014全国2高考理第13题】的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)
【答案】
【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.
【考点定位】二项式定理
11. 【2014山东高考理第14题】 若的展开式中项的系数为20，则的最小值 .
【答案】2
【解析】展开式的通项为，令得，所以，由得，从而，当且仅当时，的最小值为2.
【考点定位】二项式定理
12. 【2014四川高考理第2题】在的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以含项的系数为15.选C
【考点定位】二项式定理.
13. 【2014四川高考理第6题】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】最左端排甲，有种排法；最左端排乙，有种排法，共有种排法.选B.
【考点定位】排列组合.
14.【2014浙江高考理第5题】在的展开式中，记项的系数为，则 （ ）
A.45 B.60 C.120 D. 210
【答案】C
【解析】由题意可得
，故选C
【考点定位】二项式系数.
15. 【2014浙江高考理第14题】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）
【答案】60
【解析】不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有，二是有三人各获得一张，共有，因此不同的获奖情况有60种。
【考点定位】排列组合.
16. 【2014重庆高考理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120 C.144 D.168
【答案】B
【解析】将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，
有 (种)；
第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有 (种)；
根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.
故选B.
【考点定位】分类加法计数原理
17.（2013·新课标I理）9、设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( )
A、5 B、6 C、7 D、8
【答案】B；
【解析】，，因为，解得m=6.
【考点定位】本题考查二项式定理的应用以及组合数的计算，考查学生的基本运算能力.
18.（2013·新课标Ⅱ理）（5）已知（1+x）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则=
（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1
【答案】D
【解析】由题意知：，解得，故选D.
【考点定位】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
19.（2013·浙江理）14、将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）
【答案】
【考点定位】此题考查排列组合知识点和排列数的计算公式，此题采用特殊元素首先考虑的方法解决，注意相邻问题的捆绑法、不相邻问题的插空法等常见方法的应用；
20.（2013·浙江理）11、设二项式的展开式中常数项为，则________。
【答案】-10
【解析】此题利用公式进行化简后，让的指数为零，即可求出，然后利用组合数的公式即可求出答案；此题注意对的指数的合并；即由，由已知得到：，所以，所以填-10；
【考点定位】此题二项式定理的通项即和组合数的运算公式；
21.（2013·天津理）10. 的二项展开式中的常数项为 .
【答案】15
【解析】由二项展开式可得， =，令解得：，所以二项展开式中的常数项为=15.
【考点定位】本小题主要考查二项展开式，求二项展开式中特定项是二项展开式中重点内容之一，要熟练掌握.
22.（2013·上海理）5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则
【答案】-2
【解析】，故．
【考点定位】考查二项式展开式的通项及系数，属容易题。
23.（2013·陕西理）8. 设函数, 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为 （ ）
(A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15
【答案】A
【解析】，所以. 准确运用二项式定理是解题关键。
【考点定位】本题考查分段函数和二项式定理。属于中档题。
24.（2013·山东理）10.用十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先计算能形成三位数的个数再计算形成没有重复数字的三位数的个数所以
【考点定位】本题考查了排列组合问题，通过“重复数字”设置障碍，具有一定的难度，而采取排除法避开了分类讨论，使运算过程更为简洁.
25.（2013·大纲理）14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）
【答案】480
【解析】先排除甲、乙外的4人，方法有种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有（种）.
【考点定位】排列
26.（2013·福建理）5.满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为（ ）学-科网
A. 14 B. 13 C. 12 D. 10
【答案】B
【解析】此方程有根即，有序数对所有取法为种，其中不满足的只有三种，所以满足题意的为16-3=13种.
【考点定位】本题结合了二次方程根的判断与简单的排列组合，但要注意为有序数对，本解法采用了间接法，此题也可用直接法一一列出。属于简单题。
27.（2013·北京理）12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .
【答案】96
【解析】连号的情况有1,2，2,3,3,4,4,5，共四种，比如把连号1,2，3,4,5全部分给4人，每人至少一张，则有种，故不同的分法种数是种.