2020届二轮复习平面向量的数量积及平面向量的应用学案（全国通用）


2020届二轮复习 平面向量的数量积及平面向量的应用 学案（全国通用）
高频考点一　平面向量数量积的运算
例1、[2017·北京高考]已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．
答案　6
解析　解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．

由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．
·＝||||cosθ，
||＝2，||＝，
cosθ＝＝，
所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.
点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．
所以·的最大值为2＋4＝6.

【举一反三】(1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)
A．20 B.15 C．9 D．6
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
答案　(1)C　(2)1　1
解析　(1)＝＋，
＝－＝－＋，
∴·＝(4＋3)·(4－3)
＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，
故选C.
(2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)， D(0,1)，


方法二　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，

当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，
∴(·)max＝||·1＝1.
【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝________.

(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
答案　(1)22　(2)2
解析　(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
(2)由题意知：·＝(＋)·(－)
＝(＋)·(－)
＝2－·－2＝4－0－2＝2.
高频考点二　用数量积求向量的模、夹角
例2、已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为(　　)
A. B. C. D．π
答案　B
解析　由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝＝2，故cos〈a，a＋b〉＝＝，所以〈a，a＋b〉＝.故选B.
【举一反三】(1)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)
A.－8 B.－6
C.6 D.8
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.

答案　(1)D　(2)∪
【方法规律】平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a±b|＝＝；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
【变式探究】 (1)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.120°
(2)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.

答案　(1)A　(2)－2
【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；
(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
【举一反三】(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
(2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)
A. B．2
C. D．6
答案　(1)　(2)C

(2)∵·＝－1，
∴||·||·cos120°＝－1，
即||·||＝2，
∴||2＝|－|2＝2－2·＋2
≥2||·||－2·＝6，
∴||min＝.
高频考点三　平面向量与三角函数
例3、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.
(1)若m⊥n，求tanx的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解　(1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，
所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sinx－cosx＝，所以sin＝，
因为0 所以x－＝，即x＝.
【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
【变式探究】已知O为坐标原点，向量＝(3sinα，cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈，且⊥，则tanα的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　A

高频考点四　向量在平面几何中的应用
例4、[2017·天津高考]在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
解析　解法一：由＝2得＝＋，

所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，
又·＝3×2×cos60°＝3，2＝9，2＝4，
所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，
解得λ＝.


答案　
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【感悟提升】向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题变得更加简捷.
【变式探究】(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.
(2)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　)
A．矩形 B．梯形
C．正方形 D．菱形
答案　(1)　(2)D
解析　(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，
又∵＝＋，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－·＋·－2
＝||2＋||||cos60°－||2
＝1＋×||－||2＝1.
∴||＝0，又||≠0，∴||＝.
(2)＋＝0⇒＝－＝⇒平面四边形ABCD是平行四边形，(－)·＝·＝0⇒⊥，所以平行四边形ABCD是菱形．
高频考点五、　向量在解析几何中的应用
例5、(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．
(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝______.
答案　(1)2x＋y－3＝0　(2)±

(2)∵·＝0，∴OM⊥CM，
∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，
由＝，得k＝±，即＝±.
【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题．
【变式探究】已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·的最小值是(　　)
A．5 B．6
C．10 D．12
答案　B

·＝||·||cos∠EHF＝2×2×＝6，故选B.

高频考点六　向量的综合应用
例6、(1)已知x，y满足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是(　　)
A．1 B.
C. D.
(2)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．

答案　(1)D　(2)3


(2)由图象可知，M，N，所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.
【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．
【变式探究】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域面积是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
答案　D
解析　由||＝||＝·＝2，
知〈，〉＝.
当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，
在△OAB中，取＝λ，过点C作CD∥OB交AB于点D，作DE∥OA交OB于点E，显然＝λ＋.由于＝，＝，∴＝(1－λ)，
∴＝λ＋(1－λ)＝λ＋μ＝，
∴λ＋μ＝1时，点P在线段AB上，
∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P必在△OAB内(包括边界)．
考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，
其面积为S＝4S△OAB＝4××2×2sin＝4.
高频考点七　向量运算的最值或取值范围
例7、平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，·＝4，点P在边CD上，则·的取值范围是(　　)
A．[－1,8] B．[－1，＋∞)
C．[0,8] D．[－1,0]
答案　A

【方法技巧】求向量的最值或范围问题
求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围．

【变式探究】　在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．

答案　[2,5]
解析　设＝＝λ(0≤λ≤1)，


即·的取值范围是[2,5]．

1. （2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A. −1 B. +1 C. 2 D. 2−
【答案】A
【解析】设，则由得，
由得
因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
2. （2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，


由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得：，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.
本题选择A选项.
3. （2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D

4. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知向量，，．若，则________．
【答案】
【解析】由题可得

,即
故答案为
1．[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案　2
解析　解法一：|a＋2b|＝

＝
＝
＝＝2.
解法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
2.[2017·北京高考]已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．
答案　6
解析　解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．


解法二：如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，
所以可设P(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，
所以＝(2,0)，＝(cosα＋2，sinα)，
·＝2cosα＋4≤2＋4＝6，
当且仅当cosα＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”号成立．
3.[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
答案　7
解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．
又a＋b 与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
4.[2017·山东高考]已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
答案　

解得λ＝.
5.[2017·天津高考]在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
解析　解法一：由＝2得＝＋，

所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，
又·＝3×2×cos60°＝3，2＝9，2＝4，
所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，
解得λ＝.


答案　
1.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .

【答案】
【解析】因为，
，
因此，

【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为 ， ,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】因为
故选D.
【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B

【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（ ）
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
【答案】C
【解析】
，所以
，选C.
【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】如图，


【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B． 15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，

则，，，即，
所以，，因此，
因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．
【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，
，
，，


当且仅当即时的最小值为.

1．（2014·北京卷）已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．
【答案】　

2．（2014·湖北卷）设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
【答案】±3　
【解析】因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.
3．（2014·江西卷）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．
【答案】　

4．（2014·全国卷）若向量a，b满足：＝1，(a＋b)⊥a，(＋b)⊥b，则|＝(　　)
A．2 B.
C．1 D.
【答案】B　
【解析】因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)＝0，即2＋＝因为(＋b)⊥b，所以(＋b)＝0，即b＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝＝.
5．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A　
【解析】由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得4a·b＝4，所以a·b＝1.
6．（2014·山东卷）在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为______．
【答案】　
【解析】因为AB·AC＝||·||cos A＝tan A，且A＝，所以||·||＝，所以△ABC的面积S＝||·||sin A＝××sin ＝ .
7．（2014·天津卷）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)
A. B. C. D.
【答案】C　


8．(2013年高考湖北卷)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影为||cos〈，〉＝||＝＝＝，故选A.
答案：A
9．(2013年高考湖南卷)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)
A．[－1，＋1] B.
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
解析：由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，又设c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝ ，故由几何性质得－1≤|c|≤ ＋1，即－1≤|c|≤ ＋1.
答案：A
10．(2013年高考辽宁卷)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求 x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈[0，]时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
11．(2013年高考陕西卷)已知向量a＝，b＝ (sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解析：f(x)＝·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝cossin 2x－sincos 2x
＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.