2020届二轮复习平面向量学案（全国通用）
展开培优点八 平面向量
1．代数法
例1：已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】考虑在上的投影为，所以只需求出，即可．
由可得：，
所以．进而．故选C．
2．几何法
例2：设，是两个非零向量，且，则_______．
【答案】
【解析】可知，，为平行四边形的一组邻边和一条对角线，
由可知满足条件的只能是底角为，边长的菱形，
从而可求出另一条对角线的长度为．
3．建立直角坐标系
例3：在边长为1的正三角形中，设，，则__________．
【答案】
【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，
观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，
如图建系：，，，
下面求坐标：令，∴，，
由可得：，∴，
∴，，∴．
一、单选题
1．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，故选D．
2．已知向量，满足，，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意可得：，则．故选A．
3．如图，平行四边形中，，，，点在边上，且，
则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，，
则
．故选B．
4．如图，在中，是边的中线，是边的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，在中，是边的中线，所以，
又因为是边的中点，所以，
所以，故选B．
5．在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，，
所以是直角梯形，且，，
以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：
因为，，动点和分别在线段和上，
则，，，，
所以，
令且，
由基本不等式可知，当时可取得最大值，
则．故选D．
6．已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，中，，，，
则根据余弦定理可得，即．∴为直角三角形
以为原点，为轴，为轴建立坐标系，则，，
则线段的方程为，．
设，则．
∵，∴．故选C．
7．已知非零向量，，满足且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】非零向量，，满足且，则，
∴，∴，
∴，
∴，，∴与的夹角为，故选A．
8．在中斜边，以为中点的线段，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】B
【解析】∵在中斜边，∴，
∵为线段中点，且，
∴原式，
当时，有最大值，．故选B．
9．设向量，，，满足，，，则的最大值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】设，，，因为，，
所以，，所以，，，四点共圆，
因为，，所以，
由正弦定理知，即过，，，四点的圆的直径为2，
所以的最大值等于直径2，故选D．
10．已知与为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，是单位向量，，可设，，，
由向量满足，∴，
∴，即，其圆心，半径，
∴，∴．故选B．
11．平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】建立如图所示的直角坐标系：设，
则，，则，解得．
所以，．在上的摄影，
当时，，得到：，当时，，，故选A．
12．如图，在等腰直角三角形中，，，是线段上的点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，设，则，．
据此有，，
则．
据此可知，当时，取得最小值；
当或时，取得最大值；
的取值范围是．故选A．
二、填空题
13．已知向量，，，若，则________．
【答案】．
【解析】因为，，所以，
又，且，则，即．
14．若向量，满足，，且，则与的夹角为__________．
【答案】
【解析】由得，，即，
据此可得，∴，
又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为．
15．已知正方形的边长为2，是上的一个动点，则求的最大值为________．
【答案】4
【解析】设，则，
又，
∴，
∵，∴当时，取得最大值4，故答案为4．
16．在中，，，，为线段上一点，则的取值范围为____．
【答案】
【解析】以为坐标原点，，所在直线为，轴建立直角坐标系，
可得，，，则直线的方程为，
设，则，，，，
则|
，
由，可得的最小值为 ，时，则的最大值为
即的取值范围为．故答案为．
