2020届二轮复习求解曲线的离心率的值或范围问题学案（全国通用）
展开专题01 求解曲线的离心率的值或范围问题
一．方法综述
离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
①根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解；
②由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，构造的齐次式，求出；
③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；
④根据圆锥曲线的统一定义求解．
解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．
二．解题策略
类型一 直接求出或求出与的比值，以求解
【例1】【2018黑龙江省佳木斯一中五调】在等腰梯形中， ，，， ，以、为焦点的椭圆经过、两点，则此椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【指点迷津】本题主要考查椭圆的离心率，通过建立直角坐标系，将条件转化为坐标系中的问题，在等腰梯形中，结合条件求出点的坐标，利用椭圆定义，求解椭圆的和，求解椭圆的离心率.
【举一反三】【2018广东中山上期期末复习】已知椭圆与双曲线 有相同的焦点和，若是、的等比中项， 是与的等差中项，则椭圆的离心率是________.
【答案】
类型二 构造的齐次式，解出
【例2】【2017届山东省济宁市高三3月模拟】已知双曲线的左右焦点分别为，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，当 ，则
，又因为，
则
.*
【指点迷津】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线和双曲线的定义，以及及联立方程求交点的方法，考查化简整理的运算能力，其中对的齐次式处理很关键，对待此类型的方程常见的方法就是方程左右两边同除一个参数的最高次项即可转化成一个一元二次方程， 化简整理的运算能力是解决此题的关键.
【举一反三】已知椭圆和双曲线有共同焦点， 是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【指点迷津】本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出与、的数量关系，然后再利用余弦定理求出与的数量关系，最后利用基本不等式求得范围.
类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形
【例3】【四川成都石室中2017-2018年度10月月考】设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
所以椭圆离心率的取值范围是.选D. *
【指点迷津】（1）解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如在本题中用到了椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论.
（2）注意平面几何知识的运用，对于本题中的恒成立问题，只需要的最大值小于即可，在求得最大值时可用平面几何的有关知识解决.
【举一反三】【山东省日照市2017届高三下期二模】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【指点迷津】本题考查是双曲线离心率求解．解决本题要利用双曲线中的几何特征，寻找、的等量关系．用、、分别表示出点的坐标， ，则直线方程： ，联立渐近线，求出，进而是线段的中点，再根据，得到是等腰三角形，则，即可建立、的等量关系，即可求出离心率．
类型四 利用圆锥曲线性质
【例4】【湖南省长郡中2018届高三月考（五）】已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，则，的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【指点迷津】本题考查了椭圆与双曲线基本量的关系，考查二级结论焦点三角形的面积公式，及离心率的计算，属于中档题.
【举一反三】已知椭圆E： 的短轴的两个端点分别为A，B，点C为椭圆上异于A，B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设C(x0，y0)，A(0，b)，B(0，－b)，则.故
又kAC·kBC＝，故a2＝4b2，c2＝a2－b2＝3b2，
因此e＝，故选A.
【指点迷津】研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如本题利用关于原点对称，为椭圆上三点).
类型五 利用平面几何性质
【例5】【湖北省重点高中联考协作体2017-2018期中考试】设点为双曲线（，）上一点，分别是左右焦点，是的内心，若，，的面积满足，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】A
其中r是的内切圆的半径.
∵，
∴− = ，
两边约去r得： ，
根据双曲线定义，得，
∴离心率为.
故选：A.
【指点迷津】本题主要考查双曲线的简单性质，求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题是利用点到直线的距离等于圆半径，中位线定理，及双曲线的定义列式求解即可.
【举一反三】【2017届湖南省郴州市高三第四次质量检测】已知椭圆的右焦点为为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【指点迷津】对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率.
常构建等式的方法有：（1）利用圆锥曲线定义（2）利用几何关系（3）利用点在曲线上.
类型六 利用数形结合
【例6】【2017届炎德英才大联考长郡中一模】已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【指点迷津】根据题意画出草图，分析出为矩形时解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.
【举一反三】【2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考】双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设双曲线的右焦点为 ， 的周长为 ， 而 ，所以三角形周长的最小值是 ，解得： ， ，解得： ，故选B.
【指点迷津】解析几何中的最值问题，包括几何法和代数法，如几何法经常涉及圆锥曲线的定义和比较明显的平面几何的定理和性质，所以做题时要充分考虑这些定义来进行转化，比如椭圆和双曲线定义涉及两条焦半径，所以给出，就联想，抛物线有，就联想到准线的距离.
