2020届二轮复习曲线是否过定点，可推可算可检验学案（全国通用）

【题型综述】

直线过定点问题在全国卷近几年高考中出现的频率较低，是圆锥曲线部分的小概率考点．此种平民解法思维上比较接地气，但是实际操作上属于暴力美范畴．定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可．技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？

【典例指引】

例1、（“手电筒”模型）已知椭圆C：若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点．（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）

◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件（如定值，定值），直线AB依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）．

此模型解题步骤：

Step1：设AB直线，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；

Step2：由AP与BP关系（如），得一次函数；

Step3：将代入，得．

例2、（切点弦恒过定点）有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B．

（1）求证：直线AB恒过一定点；

（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程．

例3、（相交弦过定点）如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E．连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由．

法2：本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得与x轴交点M、N，然后两个坐标相减=0．计算量也不大．&

◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法．这一类题在答题过程中要注意步骤．

例4、已知椭圆C：，若直线与x轴交于点T，点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1，PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论．

方法1：

【思路引导】

点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2，0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标．动点P在直线上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在．

方法总结：本题由点A1(-2，0)的横坐标－2是方程的一个根，结合韦达定理，得到点M的横纵坐标：，；其实由消y整理得，得到，即，很快．不过如果看到：将中的换下来，前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量．本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线上也在直线A2N上，进而得到，由直线MN的方程得直线与x轴的交点，即横截距，将点M、N的坐标代入，化简易得，由解出，到此不要忘了考察是否满足．

◆方法总结：法2计算量相对较小，细心的同会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已．因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了．相较法1，未知数更少，思路更明确．

◆方法点评：相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用，但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法．

例5、（动圆过定点）已知椭圆 是抛物线的一条切线．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（I）由

因直线相切&

，故所求椭圆方程为（II）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：

◆方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角．

例6、如图，已知椭圆的离心率是，分别是椭圆的左、右两个顶点，点是椭圆的右焦点．点是轴上位于右侧的一点，且满足．

（1）求椭圆的方程以及点的坐标；

（2）过点作轴的垂线，再作直线

与椭圆有且仅有一个公共点，直线交直线于点

．求证：以线段为直径的圆恒过定点，并求出定

点的坐标．

解：（1），设，

由有，又，&

法2：本题又解：取极值，PQ与AD平行，易得与X轴相交于F（1，0）．接下来用相似证明PF⊥FQ．

问题得证．&

◆方法总结：动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用．

【扩展链接】

已知椭圆：，左右焦点分别为，左、右顶点分别为，，上、下顶点为，．过点的直线交椭圆于，两点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，求证：直线过定点．

步骤 1（特殊化寻求定点坐标）：

当直线垂直于 轴时，则重合于点，直线的方程为：；

当直线经过原点时，则直线 的方程为：，代入椭圆可得：，直线的方程为：；代入椭圆可得：

，则点，点与点重合，则直线的方程为：，联立两个特殊位置的直线方程可得：定点可能为

步骤 2（一般化探求题意韦达定理化）：

直线过定点 ，转化为交点坐标的韦达定理形式

直线 的方程为：代入椭圆

可得：

，

则点 的坐标为，则直线 的方程为：

，

直线的方程为：，

则

步骤 3（联立方程解方程组，韦达定理整体代入）：          

直线 的方程为： 代入椭圆方程可得：

（完美！）

显然直线 垂直于y 轴时，直线 也经过定点．