2020届二轮复习三角函数A学案（全国通用）
展开三角函数A
【知识导读】
【方法点拨】
三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：
1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.
2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.
3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.
4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.
第1课 三角函数的概念
【考点导读】
1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．
角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式及扇形的面积公式＝（为弧长）解决问题.
2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点（不同于坐标原点），设（），则的三个三角函数值定义为：．
从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为．
3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．
由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记、、、、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.
4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．
在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题．
【基础练习】
1． 化成的形式是 ．
2．已知为第三象限角，则所在的象限是 ．
3．已知角的终边过点，则= ， = ．
4．的符号为 ．
5．已知角的终边上一点（），且，求，的值．
解：由三角函数定义知，，当时，，；
当时，，．
【范例解析】
例1.（1）已知角的终边经过一点，求的值；
（2）已知角的终边在一条直线上，求，的值．
分析：利用三角函数定义求解．
解：（1）由已知，．当时，，，，则；
当时，，，，则．
（2）设点是角的终边上一点，则；
当时，角是第一象限角，则；
当时，角是第三象限角，则．
点评：要注意对参数进行分类讨论．
例2.（1）若，则在第_____________象限．
（2）若角是第二象限角，则，，，，中能确定是正值的有____个．
解：（1）由，得，同号，故在第一，三象限．
（2）由角是第二象限角，即，得，，故仅有为正值．
点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．
例3. 一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
分析：选取变量，建立目标函数求最值．
解：设扇形的半径为x㎝，则弧长为㎝，故面积为，
当时，面积最大，此时，，，
所以当弧度时，扇形面积最大25．
点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．
【反馈演练】
1．若且则在第_______象限．
2．已知，则点在第________象限．
3．已知角是第二象限，且为其终边上一点，若，则m的值为_______．
4．将时钟的分针拨快，则时针转过的弧度为 ．
5．若，且与终边相同，则= ．
6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．
7．（1）已知扇形的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．
（2）若扇形的面积为8，当扇形的中心角为多少弧度时，该扇形周长最小．
简解：（1）该扇形面积2；
（2），得，当且仅当时取等号．此时，，．
第2课 同角三角函数关系及诱导公式
【考点导读】
1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．
2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用．
【基础练习】
1. tan600°=______．
2. 已知是第四象限角，，则______．
3.已知，且，则tan＝______．
4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___．
【范例解析】
例1.已知，求，的值．
分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．
解：由，得，是第二，三象限角．
若是第二象限角，则，；
若是第三象限角，则，．
点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．
例2.已知是三角形的内角，若，求的值．
分析：先求出的值，联立方程组求解．
解：由两边平方，得，即．
又是三角形的内角，，．
由，又，得．
联立方程组，解得，得．
点评：由于，因此式子，，三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二．
【反馈演练】
1．已知,则的值为_____．
2．“”是“A=30º”的必要而不充分条件．
3．设,且，则的取值范围是
4．已知，且，则的值是 ．
5．（1）已知，且，求的值．
（2）已知，求的值．
解：（1）由，得．
原式=．
（2），
．
6．已知，求
（I）的值；
（II）的值．
解：（I）∵ ；所以==．
（II）由，
于是．
第3课 两角和与差及倍角公式（一）
【考点导读】
1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；
2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；
3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；
4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”．
【基础练习】
1. ___________．
2. 化简_____________．
3. 若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝___________ ．
4.化简：___________ ．
【范例解析】
例 .化简：（1）；
（2）．
（1）分析一：降次，切化弦．
解法一：原式=．
分析二：变“复角”为“单角”．
解法二：原式．
（2）原式=
，，，原式=．
点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等．
【反馈演练】
1．化简．
2．若，化简_________．
3．若0＜α＜β＜，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则与的大小关系是_________．
4．若，则的取值范围是___________．
5．已知、均为锐角，且，则= 1 .
6．化简：．
解：原式=．
7．求证：．
证明：左边==右边．
8．化简：．
解：原式=
．
第4课 两角和与差及倍角公式（二）
【考点导读】
1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；
2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ．
【基础练习】
1．写出下列各式的值：
（1）_________； （2）_________；
（3）_________； （4）____1_____．
2．已知则=_________．
3．求值：（1）_______；（2）_________．
4．求值：____1____．
5．已知，则________．
6．若，则_________．
【范例解析】
例1.求值：（1）；
（2）．
分析：切化弦，通分．
解：（1）原式==
．
（2），又．
原式=．
点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换．
例2.设，，且，，求，．
分析：， ．
解：由，，得，同理，可得
，同理，得．
点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：，等．
例3.若，，求的值．
分析一：．
解法一：，，
又，，．
，，．
所以，原式=．
分析二：．
解法二：原式=
又，
所以，原式．
点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路．
【反馈演练】
1．设，若，则=__________．
2．已知tan =2，则tanα的值为_______，tan的值为___________ ．
3．若，则=___________．
4．若，则 ．
5．求值：_________．
6．已知．求的值
解：
又
从而，
