2020届二轮复习三角函数的最值与综合应用学案（全国通用）

五年高考

考点一　三角函数的最值

1.(2018课标全国Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为(　　)

A.11 B.9 C.7 D.5

答案　B

2.(2018陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)

A.5 B.6 C.8 D.10

答案　C

3.(2018课标全国Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是　　　　. 

答案　1

4.(2018江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].

(1)若a∥b,求x的值;

(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

解析　(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,

所以-cos x=3sin x.

若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.

于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=.

(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.

因为x∈[0,π],所以x+∈,

从而-1≤cos≤.

于是,当x+=,即x=0时, f(x)取到最大值3;

当x+=π,即x=时, f(x)取到最小值-2.

教师用书专用(5—8)

5.(2018天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

解析　(1)由已知,有

f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.

所以, f(x)的最小正周期T==π.

(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f =-, f =-, f =.所以, f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.

6.(2018北京,15,13分)已知函数f(x)=sincos-sin2.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.

解析　(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)

=sin-,所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤.

当x+=-,即x=-时, f(x)取得最小值.

所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f=-1-.

7.(2018辽宁,17,12分)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.

(1)若|a|=|b|,求x的值;

(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.

解析　(1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,

|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1及|a|=|b|,得4sin2x=1.

又x∈,从而sin x=,所以x=.(6分)

(2)f(x)=a·b=sin x·cos x+sin2x

=sin 2x-cos 2x+=sin+,

当x=∈时,sin取最大值1.

所以f(x)的最大值为.(12分)

8.(2018陕西,16,12分)已知向量a=,b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在上的最大值和最小值.

解析　f(x)=·(sin x,cos 2x)

=cos xsin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x

=cossin 2x-sincos 2x=sin.

(1)f(x)的最小正周期为T===π,

即函数f(x)的最小正周期为π.

(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.由正弦函数的性质,

当2x-=,即x=时, f(x)取得最大值1.

当2x-=-,即x=0时, f(0)=-,

当2x-=π,即x=时, f=,

∴f(x)的最小值为-.

因此, f(x)在上的最大值是1,最小值是-.

考点二　三角函数的图象和性质的综合应用

1.(2018安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(　　)

A. f(2)< f(-2)< f(0) B. f(0)< f(2)< f(-2)

C. f(-2)< f(0)< f(2) D. f(2)< f(0)< f(-2)

答案　A

2.(2018安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是　　　　. 

答案　

解析　根据题意设g(x)=f(x-φ)=sin,则g(x)的图象关于y轴对称,∴g(0)=±1,即sin=±1,∴-2φ+=kπ+(k∈Z),∴φ=--(k∈Z).

∴当k=-1时,φ的最小正值为.

3.(2018四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)若α是第二象限角, f=coscos 2α,求cos α-sin α的值.

解析　(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,k∈Z.

由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得

-+≤x≤+,k∈Z.

所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),

所以sin αcos+cos αsin

=(cos2α-sin2α).

即sin α+cos α=(cos α-sin α)2(sin α+cos α).

当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.此时,cos α-sin α=-.

当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=.

由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-.

综上所述,cos α-sin α=-或-.

教师用书专用(4—8)

4.(2018江西,10,5分)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大致是(　　)

答案　D

5.(2018福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.

(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;

(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.

(i)求实数m的取值范围;

(ii)证明:cos(α-β)=-1.

解析　(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sin x.

从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).

(2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x==sin(x+φ).

依题意知,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当<1,故m的取值范围是(-,).

(ii)证法一:因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.

当1≤m<时,α+β=2,即α-β=π-2(β+φ);

当-<m<1时,α+β=2,即α-β=3π-2(β+φ),

所以cos(α-β)=-cos[2(β+φ)]=2sin2(β+φ)-1=2-1=-1.

证法二:因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,

所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.

当1≤m<时,α+β=2,即α+φ=π-(β+φ);

当-<m<1时,α+β=2,即α+φ=3π-(β+φ).

所以cos(α+φ)=-cos(β+φ).

于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]

=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)

=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)

=-+=-1.

6.(2018湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:

f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).

(1)求实验室这一天的最大温差;

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?

解析　(1)f(t)=10-2=10-2sin,

因为0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.

于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.

(2)依题意知,当f(t)>11时,实验室需要降温.

由(1)得f(t)=10-2sin,

故有10-2sin>11,

即sin<-.

又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.

故在10时至18时实验室需要降温.

7.(2018天津,15,13分)已知函数f(x)=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

解析　(1)f(x)=-sin 2x·cos-cos 2x·sin+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=2sin.

所以f(x)的最小正周期T==π.

(2)易知f(x)在区间上是增函数,在区间上是减函数.又f(0)=-2, f=2, f=2,故函数f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-2.

8.(2018湖南,17,12分)已知函数f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2.

(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;

(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.

解析　f(x)=sin+cos

=sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,

g(x)=2sin2=1-cos x.

(1)由f(α)=得sin α=.又α是第一象限角,所以cos α>0.从而g(α)=1-cos α=1-=1-=.

(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1-cos x,即sin x+cos x≥1.于是sin≥.

从而2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.

故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为x2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.

三年模拟

A组　2018—2018年模拟·基础题组

考点一　三角函数的最值

1.(2018云南玉溪模拟,6)当-≤x≤时,函数f(x)=sin(2π+x)+cos(2π-x)-sin的最大值和最小值分别是　(　　)

A.,- B., C.,- D.,-

答案　A

2.(2018广东惠州第三次调研,8)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为(　　)

A. B.1 C. D.2

答案　C

3.(2018河北衡水中学二调,15)函数y=sin x-cos x-sin xcos x的最大值为　　　　. 

答案　+

解析　令sin x-cos x=t∈[-,],则t2=1-2sin xcos x,∴函数y=t-=t2+t-=(t+1)2-1,故当t=时,函数y取得最大值+.

考点二　三角函数的图象和性质的综合应用

4.(2018广东五校联考,8)将曲线C1:y=sin上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2:y=g(x),则g(x)在[-π,0]上的单调递增区间是(　　)

A. B.

C. D.

答案　B

5.(2018河南焦作二模,5)将函数y=cos图象上的点P向右平移m(m>0)个单位长度后得到点P',若P'在函数y=

cos 2x的图象上,则(　　)

A.t=-,m的最小值为 B.t=-,m的最小值为

C.t=-,m的最小值为 D.t=-,m的最小值为

答案　D

6.(2018广东海珠上学期高三综合测试(一),12)已知函数f(x)=|cos x|sin x,给出下列四个说法:

①函数f(x)的周期为π;

②若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+kπ,k∈Z;

③f(x)在区间上单调递增;

④f(x)的图象关于点中心对称.

其中正确说法的个数是(　　)

A.3 B.2 C.1 D.0

答案　C

B组　2018—2018年模拟·提升题组

(满分:55分　时间:50分钟)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,6)已知函数f(x)=asin x+cos x(a为常数,x∈R)的图象关于直线x=对称,则函数g(x)=sin x+acos x的图象(　　)

A.关于点对称 B.关于点对称

C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称

答案　C

2.(2018河南洛阳尖子生第一次联考,11)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(sin x),x∈R,则下列说法正确的是(　　)

A.函数f(x)是周期函数,且最小正周期为π

B.函数f(x)是奇函数

C.函数f(x)在区间上的值域为[1,]

D.函数f(x)在上是增函数

答案　C

3.(2018江西抚州七校联考,9)将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数g(x)的图象.若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为(　　)

A. B. C. D.

答案　A

4.(2018河南南阳期中,6)如图所示,M,N是函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与x轴的交点,点P在M,N之间的函数图象上运动,若当△MPN面积最大时,·=0,则ω=(　　)

A. B. C. D.8

答案　A

5.(人教A必4,一,1-6,例2,变式)函数f(x)=|sin x|+2|cos x|的值域为(　　)

A.[1,] B.[1,2] C.[2,] D.[,3]

答案　A

二、填空题(共5分)

6.(2018江苏盐城期中,10)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A,ω,φ为常数且A>0,ω>0,-<φ<,f(x)的部分图象如图所示,若f(α)=,则f的值为　　　　. 

答案　

三、解答题(共25分)

7.(2018湖北荆州一模,17)已知函数f(x)=2sin xcos x+2sin2x.

(1)若f(x)=0,x∈,求x的值;

(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若函数y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,求函数h(x)在上的值域.

解析　f(x)=2sin xcos x+2sin2x=sin 2x+1-cos 2x

=2sin+1.

(1)由f(x)=0,得2sin+1=0,

∴sin=-.∴2x-=-+2kπ或2x-=-+2kπ,k∈Z,∴x=kπ或x=-+kπ,k∈Z,

又∵x∈,∴x=0或-或.

(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,可得函数图象的解析式为y=2sin+1=2sin+1=2cos 2x+1,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数图象的解析式为g(x)=2cos x+1.

∵函数y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,

∴h(x)=g=2sin x+1.

∵x∈,∴sin x∈.

故函数h(x)的值域为(0,3].

8.(2018湖北百所重点校高三联考,20)已知函数f(x)=sin-2sincos.

(1)求函数f(x)的最小正周期T和单调递增区间;

(2)若x∈,且F(x)=-4λf(x)-cos的最小值是-,求实数λ的值.

解析　(1)∵f(x)=sin-2sincos=cos 2x+sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin,∴T==π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)F(x)=-4λf(x)-cos=-4λsin-=2sin2-4λsin-1=2-1-2λ2.∵x∈,∴0≤2x-≤,∴0≤sin≤1.

①当λ<0时,当且仅当sin=0时,F(x)取得最小值-1,与已知矛盾,舍去;

②当0≤λ≤1时,当且仅当sin=λ时,F(x)取得最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-,解得λ=(负值舍去);

③当λ>1时,当且仅当sin=1时,F(x)取得最小值1-4λ,由已知得1-4λ=-,解得λ=,这与λ>1相矛盾.

综上所述,λ=.

C组　2018—2018年模拟·方法题组

方法1　求三角函数最值的方法

1.(2018江西赣中南五校二模,6)已知f(x)=sin+cos的最大值为A,若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为(　　)

A. B.

C. D.

答案　B

2.(2018广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考,15)设当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最大值,则cos θ=　　　　. 

答案　-

方法2　三角函数的图象和性质的综合应用

3.(2018河南新乡二模,9)设函数f(x)=sin2x+x∈0,,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+x2+x3的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案　B

4.(2018安徽“江淮十校”第一次联考,15)设函数f(x)=sin(ωx+φ),其中|φ|<.若f≤f(x)≤f对任意x∈R恒成立,则正数ω的最小值为　　　　,此时φ=　. 

答案　2;-