2020届二轮复习三角函数（三）学案（全国通用）


年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
三角函数（三）
教学目的

教学内容
第五节 两角和与差的三角函数
（一）高考目标
考纲解读
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
考向预测
1．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考的内容．
2．公式逆用、变形用(尤其是余弦二倍角的变形用)是高考热点．
3．在选择题、填空题、解答题中都可能考查．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ　(Cα－β)
cos(α＋β)＝ 　(Cα＋β)
sin(α－β)＝ 　(Sα－β)
sin(α＋β)＝ 　(Sα＋β)

tan(α－β)＝ 　(Tα－β)

tan(α＋β)＝ 　(Tα＋β)
前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是a≠kπ＋，β≠kπ＋，k∈Z，且α＋β≠kπ＋(Tα＋β需满足)，α－β≠kπ＋(Tα－β需满足)k∈Z时成立，否则是不成立的．当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式Tα±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法求解．
2．要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(α＋β)－(β－α)等等．
3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为：
tanα±tanβ＝ ，

tanαtanβ＝ ＝ .
（三）基础自测
1．(2018·福建理)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于(　　)
A.　　　　　B. C. D.
[答案]　A
[解析]　原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.
2．已知α∈，sinα＝，则tan等于(　　)
A. B．7 C．－ D．－7
[答案]　A
[解析]　∵α∈，sinα＝，
∴cosα＝－，∴tanα＝－.
而tan＝＝＝.
3．(2018·烟台模拟)已知α，β都是锐角，sinα＝，cos(α＋β)＝，则cosβ等于(　　)
A. B. C. D.
[答案]　D
[解析]　∵α∈，β∈，
∴α＋β∈(0，π)，由sinα＝，得α＝，又由cos(α＋β)＝，得α＋β＝，故β＝，cosβ＝.
4．tan15°＋cot15°等于(　 　)
A．2　　　 B．2＋　　 C．4　　 　 D.

[分析]　可切割化弦利用倍角公式求解也可将15°转换成45°－30°或者15°＝求解．
[答案]　C
[解析]　解法1：tan15°＋cot15°＝＋＝＝＝4.
解法2：tan15°＋cot15°＝tan(45°－30°)＋＝＋
＝＋＝＋＝＋＝4.
解法3：tan15°＋cot15°＝tan＋＝＋＝＝4.
5．函数y＝sinx＋cos的最大值和最小值分别为________．
[答案]　，－
[解析]　y＝sinx＋cosxcos＋sinxsin＝sinx＋cosx＝sin.
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝；
当x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－.
6．化简：cos＋sin＝________.
[答案]　cosα
[解析]　cos＋sin＝coscosα－sinsinα＋sincosα＋cossinα
＝cosα－sinα＋cosα＋sinα＝cosα.
7．若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，求α＋β的值．
[解析]　∵(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝4，
∴(tanα＋tanβ)＝3(1－tanαtanβ)，
即tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，
∴tan(α＋β)＝＝，
又α、β均为锐角，
∴0