2020届二轮复习三视图与体积表面积学案（全国通用）
展开培优点十三 三视图与体积、表面积
1．由三视图求面积
例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．
【答案】
【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，
其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3，
∴半球的面积，圆锥的底面半径为3，母线长为5，
∴圆锥的侧面积为，∴表面积为．
2．由三视图求体积
例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】D
【解析】由于长方体被平面所截，
∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，
从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，
∴所求体积为长方体体积的一半。从图上可得长方体的底面为正方形，
且边长为2，长方体的高为，
∴，∴，故选D．
一、单选题
1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为，
∴该几何体的表面积，得，故选A．
2．正方体中，为棱的中点（如图）用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：过点、、的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，
则几何体的左视图为D，故选D．
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱挖去一个三棱锥，故所求几何体的体积为，故选A．
4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为，
圆锥的高，其母线长，则该几何体的表面积为：，本题选择C选项．
5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，
高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，
截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥，
如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为半径为，
球心到底面距离为，设球心为，
由勾股定理得到，，故选A．
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】还原几何体如图所示三棱锥由（如下左图），
将此三棱锥补形为直三棱柱（如上右图），
在直三棱柱中取的中点，取中点，
，，故答案为C．
7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：
∴表面积为
，∴故选B．
8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，
即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为2，，，
∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
且球半径为，
∴三棱锥外接球表面积为，
∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．故选B．
9．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥被平面截去三棱锥（为中点）后的部分，连接交于，连楼，则，
且，设，则，，
剩余部分的体积为：，则所求的体积比值为：．
本题选择B选项．
10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）
A．15 B．16 C． D．
【答案】C
【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥，
底面四边形的面积为，
∴四棱锥的体积为，故答案为C．
11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】D
【解析】几何体为如图多面体，
∴体积为，故选D．
12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，
∴该多面体的体积为；故选B．
二、填空题
13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．
【答案】12
【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，∴．
14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．
【答案】，
【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，
则该几何体的表面积，
几何体的体积：．
15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．
【答案】1
【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，
可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，
该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，
根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式，
可得其体积，故答案是1．
16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．
【答案】
【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面与面截去两个角所得，
其体积为，故答案为．
