2020届二轮复习动点轨迹成曲线，坐标关系是关键学案（全国通用）
展开【题型综述】
1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：
（1）直译法：一般步骤为：①建系,建立适当的坐标系；②设点,设轨迹上的任一点P(x，y)；③列式,列出动点P所满足的关系式；④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(3)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(4)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
2.解轨迹问题注意：
（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.
【典例指引】
类型一 代点法求轨迹方程
例1 【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
(1) 求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
因此点P的轨迹方程为。
（2）由题意知。设,则
，
。
由得，又由（1）知，故
。
所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。&
类型二 定义法求轨迹方程
例2.【2016高考新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
则,.
所以.
过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.
综上,四边形面积的取值范围为.&
类型三 参数法求轨迹方程
例3[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.&
当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. ....12分
类型四 直译法求轨迹方程
例4. 已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为
（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，证明： 为定值，并求出这个定值.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
【扩展链接】
1.若一个圆内含于另一个圆，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；
⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。
⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。（时，焦点在x轴上；当 时，焦点在y轴上）
⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的倍，该圆变成椭圆；
⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；
⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线， 则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。
