2020届二轮复习数列的求和学案（全国通用）

这是一份2020届二轮复习数列的求和学案（全国通用），共36页。

倒序相加法
​倒序相加法求和
如果一个数列 an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．以等差数列为例，若等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，公差为 d，则
Sn=a1+a2+⋯+an-1+anSn=an+an-1+⋯+a2+a1,
两式等号两边分别相加得
2Sn=a1+an+a2+an-1+⋯+an+a1.
由等差数列的性质得 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=⋯=an+a1，所以有 Sn=na1+an2．
裂项相消法
​有一类数列的求和，将数列 an 的通项 an 分裂成两项或几项的差的形式，使之在求和时相邻项相消或隔项相消，从而达到求和的目的，这种方法通常称为裂项相消法．
裂项相消法通常适用于下列类型：
​若 an 是公差为 d 的等差数列，则有 1anan+1=1d1an-1an+1；1a1a2⋯ak=1k-1d⋅1a1a2⋯ak-1-1a2a3⋯ak．
1n+1+n=n+1-n ．
分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列的通项适当拆分，可以得到几个等差、等比或其他常见数列，然后分别求和，再将各类拆分所得的子数列的和相加得到原数列的和，这种方法叫做分组求和法．​
错位相减法
​错位相减法
​​错位相减法是一种常用的数列求和的方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式．若数列 cn 的通项公式 cn=an⋅bn，其中，an 是公差为 d 的等差数列，bn 是公比为 q（q≠1） 的等比数列，我们可以用错位相减法求 cn 的前 n 项和 Sn．
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn⋯①qSn= a1b2+a2b3+⋯+an-1bn+anbn+1⋯②
①-②，得 1-qSn=a1b1+db2+b3+⋯+bn-anbn+1，化简求出 Sn 即可．
精选例题
数列的求和
1. 已知 an 中，an=2n+1，Sn 为 an 的前 n 项和，则 1Sn 的前 n 项和 Tn= ．
【答案】 34-2n+32n+1n+2
【分析】 由 an=2n+1 可知 an 为等差数列，易求出 Sn=nn+2，则 1Sn=1nn+2=121n-1n+2．
所以 Tn=121-13+12-14+13-15+⋯+1n-1n+2=34-2n+32n+1n+2．
2. 设直线 nx+n+1y=2n∈N* 与两坐标轴围成的三角形的面积为 Sn，则 S1+S2+S3+⋯+S2016 的值为 ．
【答案】 20162017
3. 数列 113，219，3127，4181，51243，⋯，的前 n 项之和等于 ．
【答案】 nn+12+121-13n
4. 若 an=2n-1,n是奇数an-1+1,n是偶数，则 a1+a2+…+a100= ．
【答案】 9950
5. 若数列 an 满足 a1=1，且 1an+1-1an=n+1n∈N*，则数列 an 的前 n 项和 Sn= ．
【答案】 2nn+1
6. 数列 112，314，518，7116，… 的前 n 项和 Sn= ．
【答案】 n2-12n+1
【分析】 Sn=1+3+5+…+2n-1+12+122+123+…+12n=n2+1-12n．
7. 已知等差数列 an 中，a1=1，公差 d>0，且 a1，a2，a5 成等比数列，bn=-1n-1nanan+1，则数列 bn 的前 n 项和 Sn= ．
【答案】 141+-1n-112n+1
【分析】 a1，a2，a5 成等比数列，所以 d+12=d+4，解得 d=0 或者 d=2，因为 d>0，所以 d=2．
an=2n+1，所以 bn=-1nn2n-12n+1．
当 n 为奇数时，bn+bn+1=n2n-12n+1-n+12n+12n+3=12n-12n+3=1412n-1-12n+1；
当 n 为偶数时，bn+bn+1=-n2n-12n+1+n+12n+12n+3=-12n-12n+3=-1412n-1-12n+1．
当 n 为奇数时，
Sn=13+b2+b3+b4+b5+⋅⋅⋅+bn-1+bn+1=13-1413-17+17-111+⋅⋅⋅+12n-3-12n+1=-14-43+13-12n+1=141+12n+1;
当 n 为偶数时，
Sn=14b1+b2+b3+b4+⋅⋅⋅+bn-1+bn+1=141-15+15-19+⋅⋅⋅+12n-3-12n+1=141-12n+1.
综上：
Sn=141+-1n-112n+1．
8. 在等差数列 an 中，已知 a1=2，S9=54，若数列 1anan+1 的前 n 项和为 716，则 n= ．
【答案】 14
9. 已知函数 fx=14x+2，当 x1+x2=1 时，fx1+fx2=12，则 f1n+f2n+…+fn-1n= ．
【答案】 n-14
【分析】 令 S=f1n+f2n+…+fn-1n，
则 S=fn-1n+fn-2n+…+f1n，
所以 2S=f1n+fn-1n+f2n+fn-2n+…+fn-1n+f1n=n-1×12．
所以 S=n-14．
10. 已知 an=32n-11n∈N*，数列 an 的前 n 项和为 Sn，则使 Sn>0 的 n 的最小值是 ．
【答案】 11
【分析】 列举前 10 项即可，a1+a10=0，a2+a9=0，a3+a8=0，a4+a7=0，a5+a6=0．
∴ n=11．
11. 数列 an 满足 a1=1，an+1=2n+1anan+2nn∈N+．
(1)证明：数列 2nan 是等差数列；
【解】 由已知可得 an+12n+1=anan+2n，
即 2n+1an+1=2nan+1，即 2n+1an+1-2nan=1，
所以数列 2nan 是公差为 1 的等差数列．
(2)求数列 an 的通项公式；
【解】 由（1）知 2nan=2a1+n-1×1=n+1，
所以 an=2nn+1．
(3)设 bn=nn+1an，求数列 bn 的前 n 项和 Sn．
【解】 由（2）知 bn=n⋅2n，
Sn=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n，
2Sn=1⋅22+2⋅23+⋯+n-1⋅2n+n⋅2n+1．
以上两式相减，得
-Sn=2+22+23+⋯+2n-n⋅2n+1=21-2n1-2-n⋅2n+1=2n+1-2-n⋅2n+1.
所以 Sn=n-12n+1+2．
12. 已知数列 an 是等差数列，且 a1=2，a1+a2+a3=12．
(1)求数列 an 的通项公式；
【解】 设数列 an 公差为 d，
则 a1+a2+a3=3a1+d=12，
又 a1=2，d=2，
所以 an=2n．
(2)若 bn=3n+an，求数列 bn 的前 n 项和 Sn．
【解】 因为
Sn=3+2+32+4+33+6+⋯+3n+2n=3+32+33+⋯+3n+21+2+3+⋯+n=3⋅1-3n1-3+2⋅nn+12=323n-1+n2+n.
13. 已知数列 an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列 bn 的前 n 项和 Sn=n2．
(1)求数列 an 与 bn 的通项公式；
【解】 因为数列 an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
所以数列 an 的通项公式为 an=2n-1．
因为数列 bn 的前 n 项和 Sn=n2．
所以当 n⩾2 时，bn=Sn-Sn-1=n2-n-12=2n-1，
当 n=1 时，b1=S1=1=2×1-1，
所以数列 bn 的通项公式为 bn=2n-1．
(2)求数列 bnan 的前 n 项和．
【解】 由（1）可知，bnan=2n-12n-1．
设数列 bnan 的前 n 项和为 Tn，
则 Tn=1+32+54+78+⋯+2n-32n-2+2n-12n-1, ⋯⋯①
即 12Tn=12+34+58+716+⋯+2n-32n-1+2n-12n, ⋯⋯②
①-②，得
12Tn=1+1+12+14+18+⋯+12n-2-2n-12n=1+1-12n-11-12-2n-12n=3-2n+32n,
所以 Tn=6-2n+32n-1．
14. 设数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a1，且 a1，a3+1，a4 成等差数列，令 bn=lg2an．
(1)求数列 an 的通项公式；
【解】 由题意，得 Sn=2an-a1，
从而 Sn-1=2an-1-a1n⩾2，
上述两式相减，得 an=2an-2an-1，
即 an=2an-1n⩾2，
从而 a2=2a1，a3=2a2=4a1，a4=2a3=8a1，
又因为 a1，a3+1，a4 成等差数列，
所以 a1+a4=2a3+1，
即 a1+8a1=24a1+1，
解得 a1=2，
所以数列 an 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
因此数列 an 的通项公式为 an=2×2n-1=2n．
(2)令 cn=bnan，求数列 cn 的前 n 项和 Tn．
【解】 由（1），可知 cn=nan=n2n,
所以 Tn=12+222+323+⋯+n-12n-1+n2n， ⋯⋯①
以上等式两边同乘以 12，得
12Tn=122+223+⋯+n-12n+n2n+1， ⋯⋯②
由 ①-②，得
12Tn=12+122+123+⋯+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1=1-12n-n2n+1=1-n+22n+1,
所以 Tn=2-n+22n．
15. 已知 an 是各项均为正整数的等比数列，且 a1，a3，-a2 成等差数列．
(1)求 an 的通项公式；
【解】 因为 a1，a3，-a2 成等差数列．
所以 2a3=a1-a2．
设数列 an 的公比为 qq>0，由 a1=12 可得 2×12q2=12-12q，即 2q2+q-1=0，解得 q=12 或 q=-1（舍）．
所以 an=12×12n-1=12n．
(2)求数列 an-n 的前 n 项和 Sn．
【解】 由（1）得 an-n=12n-n．
所以
Sn=12-1+122-2+123-3+⋯+12n-n=12+122+123+⋯+12n-1-2-3-⋯-n=121-12n1-12-nn+12=1-12n-nn+12..
16. 设数列 an 是等比数列，对任意 n∈N*，Tn=a1+3a2+5a3+⋯+2n-1an，已知 T1=1，T2=7．
(1)求数列 an 的通项公式；
【解】 设等比数列 an 的公比是 q．
由题意，得 T1=a1=1,T2=a1+3a1q=7,
解得 a1=1，q=2，
所以 an=a1qn-1=2n-1．
(2)求使得 Tn+1<2Tn+60 成立的最大正整数 n 的值．
【解】 Tn=1+3×2+5×22+⋯+2n-1×2n-1. ⋯⋯①
2Tn=1×2+3×22+5×23+⋯+2n-3×2n-1+2n-1×2n. ⋯⋯②
①-②，得
-Tn=1+2×2+2×22+2×23+⋯+2×2n-1-2n-1×2n=1+4-2×2×2n-11-2-2n-1×2n=3-2n×2n-3.
所以 Tn=2n-3×2n+3．
由 Tn+1<2Tn+60，得 2n-1×2n+1+3<22n-3×2n+3+60，
化简，得 2n+2<123．
又 24+2=64<123，25+2=128>123，
所以，使得 Tn+1<2Tn+60 成立的最大正整数 n 的值是 4．
17. 已知数列 an 的通项 an=6n-5,n为奇数2n,n为偶数 求其前 n 项和 Sn．
【解】 奇数项组成以 a1=1 为首项，公差为 12 的等差数列，
偶数项组成以 a2=4 为首项，公比为 4 的等比数列．
当 n 为奇数时，奇数项有 n+12 项，偶数项有 n-12 项，
所以 Sn=n+121+6n-52+41-4n-121-4=n+13n-22+42n-1-13;
当 n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有 n2 项，
所以 Sn=n21+6n-1-52+41-4n21-4=n3n-52+42n-13.
所以 Sn=n+13n-22+42n-1-13,n为奇数n3n-52+42n-13.n为偶数
18. 设数列 an 满足 a1=0 且 11-an+1-11-an=1.
(1)求 an 的通项公式；
【解】 由题设
11-an+1-11-an=1,11-a1=1,
即 11-an 是首项为 1 ，公差为 1 的等差数列．故
11-an=n.
所以
an=1-1n.
(2)设 bn=1-an+1n ，记 Sn=k=1nbk ，证明： Sn<1 ．
【解】 由(1)得
bn=1-an+1n=n+1-nn+1⋅n=1n-1n+1,
所以
Sn=k=1nbk=k=1n1k-1k+1=1-1n+1<1.
19. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2n2+n,n∈N*，数列 bn 满足 an=4lg2bn+3,n∈N*．
(1)求 an，bn；
【解】 由 Sn=2n2+n，得
当 n=1 时，a1=S1=3；
当 n⩾2 时，an=Sn-Sn-1=4n-1，所以
an=4n-1,n∈N*.
由 4n-1=an=4lg2bn+3，得
bn=2n-1,n∈N*.
(2)求数列 an⋅bn 的前 n 项和 Tn．
【解】 由（1）知 anbn=4n-1⋅2n-1,n∈N*，所以
Tn=3+7×2+11×22+⋯+4n-1⋅2n-1,2Tn=3×2+7×22+⋯+4n-5⋅2n-1+4n-1⋅2n,
所以
2Tn-Tn=4n-12n-3+42+22+⋯+2n-1=4n-52n+5.
故
Tn=4n-52n+5,n∈N*.
20. 在等差数列 an 中，a3+a4+a5=84，a9=73．
(1)求数列 an 的通项公式；
【解】 因为 an 是一个等差数列，所以
a3+a4+a5=3a4=84,a4=28.
设数列 an 的公差为 d，则
5d=a9-a4=73-28=45,
故 d=9. 由 a4=a1+3d，得
28=a1+3×9,
即 a1=1. 所以
an=a1+n-1d=1+9n-1=9n-8n∈N*.
(2)对任意 m∈N*，将数列 an 中落入区间 9m,92m 内的项的个数记为 bm，求数列 bm 的前 m 项和 Sm．
【解】 对 m∈N*，若 9m 因此 9m-1+1⩽n⩽92m-1．
故得 bm=92m-1-9m-1．于是
Sm=b1+b2+b3+⋯+bm=9+93+⋯+92m-1-1+9+⋯+9m-1=9×1-81m1-81-1-9m1-9=92m+1-10×9m+180.
倒序相加法
1. 设 fx=4x4x+2，利用倒序相加法，可求得 f111+f211+⋯+f1011 的值为 ．
【答案】 5
【分析】 当 x1+x2=1 时，fx1+fx2=4x14x1+2+4x24x2+2=2×4x1+x2+2×4x1+4x24x1+x2+4x1+4x2×2+4=1．
设 S=f111+f211+⋯+f1011，倒序相加有 2S=f111+f1011+f211+f911+⋯+f1011+f111=10，即 S=5．
2. 设 fx=4x4x+2，则 f111+f211+f311+⋯+f1011= ．
【答案】 5
【分析】 fx+f1-x=4x4x+2+41-x41-x+2=4x4x+2+24x+2=1，所以
S=f111+f211+f311+⋯+f1011⋯①
S=f1011+f911+f811+⋯+f111⋯②
由 ①+② 得，2S=10，即 S=5．
3. 数列 an 的通项公式为 an=4n2 0154n2 015+2，其前 n 项和为 Sn，则 a1+a2 014= ，S2 014= ．
【答案】 1；1 007
【分析】 由 fx=4x4x+2，可得数列 fx+f1-x=1．所以 a1+a2 014=1，利用“倒序相加法”易求 S2 014=1007．
4. 设 fx=12x+2，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 f-5+f-4+⋅⋅⋅+f0+⋅⋅⋅+f5+f6 的值是 ．
【答案】 32
【分析】 fx+f1-x=12x+2+121-x+2=12x+2+2x2+2⋅2x=22．
S=f-5+f-4+⋅⋅⋅+f0+⋅⋅⋅+f5+f6⋯①
S=f6+f5+⋯+f1+⋯+f-5+f-6⋯②
由 ①+② 得，2S=12×22，所以 S=32．
5. 设 fx=4x4x+2，求 f111+f211+⋯+f1011 的值为 ．
【答案】 5
【分析】 由题意，得 fx+f1-x=1．然后，类比等差数列前 n 项和的推导方法，运用倒序相加法求和．
6. 求下列数列的前 n 项和 S．
(1)5，55，555，5555，⋯，5910n-1，⋯
【解】 Sn=5+55+555+⋯+55⋯5n个=599+99+999+⋯+99⋯9n个=5910-1+102-1+103-1+⋯+10n-1=5910+102+103+⋯+10n-n=508110n-1-59n.
(2)11×3，12×4，13×5，⋯，1nn+2，⋯
【解】 因为 1nn+2=121n-1n+2，
所以
Sn=121-13+12-14+13-15+⋯+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=3n2+5n4n2+3n+2.
(3)an=1n+n+1；
【解】 因为
an=1n+n+1=n+1-nn+n+1n+1-n=n+1-n,
所以
Sn=12+1+13+2+⋯+1n+1+n=2-1+3-2+⋯+n+1-n=n+1-1.
(4)1×3，2×4，3×5，⋯，nn+2，⋯
【解】 因为 nn+2=n2+2n，
所以
Sn=12+22+32+⋯+n2+2×1+2+3+⋯+n=nn+12n+76.
(5)sin21∘+sin22∘+sin23∘+⋯+sin289∘．
【解】 设 S=sin21∘+sin22∘+sin23∘+⋯+sin289∘，
又因为 S=sin289∘+sin288∘+sin287∘+⋯+sin21∘，
所以 2S=89，S=892．
7. 已知 fx=4x4x+2，求 f1n十f2n+⋯+fn-1n．
【解】 fx=4x4x+2，
∴fx+f1-x=4x4x+2+41-x41-x+2=4x4x+2+41-x⋅4x41-x+2⋅4x=4x4x+2+24x+2=1,
令 S=f1n+f2n+⋯+fn-1n，
又 S=fn-1n+fn-2n+⋯+f1n，
∴2S=f1n+fn-1n+f2n+fn-2n+⋯+fn-1n+f1n=n-1⋅1=n-1,
∴ S=n-12，
∴f1n+f2n+⋯+fn-1n=n-12．
8. 求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+⋅⋅⋅+2n+1Cnn=n+12n．
【解】 设 Sn=Cn0+3Cn1+5Cn2+⋅⋅⋅+2n+1Cnn ⋯⋯①
把 ① 式右边倒转过来得
Sn=2n+1Cnn+2n-1Cnn-1+⋅⋅⋅+3Cn1+Cn0（反序）．
又由 Cnm=Cnn-m 可得
Sn=2n+1Cn0+2n-1Cn1+⋅⋅⋅+3Cnn-1+Cnn ⋯⋯②
①+② 得 2Sn=2n+2Cn0+Cn1+⋅⋅⋅+Cnn-1+Cnn=2n+1⋅2n（反序相加），
∴ Sn=n+1⋅2n．
9. 求 sin21∘+sin22∘+sin23∘+⋅⋅⋅+sin288∘+sin289∘ 的值．
【解】 设 S=sin21∘+sin22∘+sin23∘+⋅⋅⋅+sin288∘+sin289∘ ⋯⋯①
将 ① 式右边反序得
S=sin289∘+sin288∘+⋅⋅⋅+sin23∘+sin22∘+sin21∘ ⋯⋯②（反序）
又 ∵ sinx=cs90∘-x，sin2x+cs2x=1，
所以由 ①+② 得（反序相加）
2S=sin21∘+cs21∘+sin22∘+cs22∘+⋅⋅⋅+sin289∘+cs289∘=89．
∴ S=44.5．
10. 求和 W=Cn0+4Cn1+7Cn2+10Cn3+⋯+3n+1Cnn．
【解】 因为 an=3n+1 为等差数列，所以 a0+an=a1+an-1=⋯，再结合 Cnk=Cnn-k，可得
W=Cn0+4Cn1+7Cn2+⋯+3n-2Cnn-1+3n+1Cnn, ⋯⋯①W=3n+1Cnn+3n-2Cnn-1+⋯+7Cn2+4Cn1+Cn0, ⋯⋯②
①+② 得
2W=3n+2Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=3n+2⋅2n,
因此 W=3n+2⋅2n-1.
裂项相消法
1. 在等差数列 an 中， a2=5,a1+a4=12 ，则 an= ；设 bn=1an2-1n∈N* ，则数列 bn 的前 n 项和 Sn= ．
【答案】 2n+1 ； n4n+1
2. 数列 12n-12n+1 的前 n 项和是 Sn，使 Sn【答案】 12
【分析】 因为 12n-12n+1=1212n-1-12n+1，所以
Sn=121-13+13-15+⋯+12n-1-12n+1=n2n+1<12,
所以使 Sn 3. 求和：1+11+2+11+2+3+⋯+11+2+3+⋯+n= ．
【答案】 2nn+1
【分析】 因为 11+2+3+⋯+n=2nn+1=21n-1n+1，所以原式 =21-12+12-13+⋯+1n-1n+1=2nn+1．
4. 已知 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 a1=12，anan-1=n-1n+1，则 an= ，S2010= ．
【答案】 1nn+1；20102011
【分析】 利用累乘法即可求出 an=1nn+1，然后再利用裂项相消法求出 S2010=20102011．
5. 已知 n , an n∈N* 是直线 y=2x+1 上的一点，数列 bn 满足 bn=1an⋅an+1 n∈N*，Sn 是数列 bn 的前 n 项和，则 S10= ．
【答案】 1069
【分析】 提示：bn=1an⋅an+1=1212n+1-12n+3．
6. 设 an 为公比不为 1 的等比数列，a4=16，其前 n 项和为 Sn，且 5S1 、 2S2 、 S3 成等差数列．
(1)求数列 an 的通项公式；
【解】 ∵5S1 、 2S2 、 S3 成等差数列，
∴4S2=5S1+S3，即 4a1+a1q=5a1+a1+a1q+a1q2，
∴q2-3q+2=0．
∵q≠1，
∴q=2．
∵a4=16，即 a1q3=8a1=16，a1=2，
∴an=2n．
(2)设 bn=1lg2an⋅lg2an+1，Tn 为数列 bn 的前 n 项和．求出 Tn 的最小值．
【解】 bn=1lg22n⋅lg22n+1=1nn+1=1n-1n+1，
所以 Tn=1-12+12-13+⋯+1n-1n+1=1-1n+1．
显然 Tn 关于正整数 n 是单调递增的，所以 Tnmin=T1=12．
7. 在等比数列 an 中，已知 a1=3，a4=81（n∈N+）．
(1)若 bn 为等差数列，且满足 b2=a1，b5=a2，求数列 bn 的通项公式；
【解】 在等比数列 an 中，a1=3，a4=81，
∴ 由 a4=a1q3，得 81=3q3，即 q3=27，q=3，
∴an=3⋅3n-1=3n．
∵ 在等差数列 bn 中，b2=a1=3，b5=a2=9，
∴d=b5-b25-2=9-33=2，
∴bn=b2+n-2d=3+n-2×2=2n-1，
即数列 bn 的通项公式为 bn=2n-1．
(2)若数列 bn 满足 bn=lg3an，求数列 1bnbn+1 的前 n 项和 Tn．
【解】 若数列 bn 满足 bn=lg3an，则 bn=lg33n=n，
∴Tn=1b1b2+1b2b3+⋯+1bnbn+1=11×2+12×3+13×4+⋯+1nn+1=1-12+12-13+13-14+⋯+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.
8. 设 a1=1，a2=53，an+2=53an+1-23an（n=1,2,⋯）．
(1)令 bn=an+1-an（n=1,2,⋯），求数列 bn 的通项公式；
【解】 因为 bn+1=an+2-an+1=53an+1-23an-an+1=23an+1-an=23bn，故 bn 是公比为 23 的等比数列，且 b1=a2-a1=23，故 bn=23n（n=1,2,⋯）．
(2)求数列 an 的通项公式．
【解】 由 bn=an+1-an=23n，得
an+1-a1=an+1-an+an-an-1+⋯+a2-a1=23n+23n-1+⋯+232+23=21-23n,
而 a1=1，故 an=3-2n3n-1（n=1,2,⋯）．
9. 已知数列 bn 是首项 b1=1，b4=10 的等差数列，设 bn+2=3lg14ann∈N*．
(1)求证：an 是等比数列；
【解】 由 b1=1 及 b4=10，得 d=b4-b14-1=3，
所以 bn=3n-2．
因为 bn+2=3lg14an=3n-2+2=3n，
所以 lg14an=n，即 an=14nn∈N*．
则 an+1an=14n+114n=14，
所以数列 an 是首项 a1=14，公比 q=14 的等比数列．
(2)记 cn=1bnbn+1，求数列 cn 的前 n 项和 Sn；
【解】 由（i），得 cn=1bnbn+1=1313n-2-13n+1，
所以 Sn=131-14+14-17+⋯+13n-2-13n+1=131-13n+1=n3n+1．
(3)记 dn=3n+1⋅Sn，若对任意正整数 n，不等式 1n+d1+1n+d2+⋯+1n+dn>m24 恒成立，求整数 m 的最大值．
【解】 因为 dn=3n+1Sn=3n+1⋅n3n+1=n，
则问题转化为对任意正整数 n 使不等式 1n+1+1n+2+⋯+1n+n>m24 恒成立．
设 fn=1n+1+1n+2+1n+3+⋯+1n+n，则 fn+1-fn=1n+1+1+1n+1+2+⋯+1n+1+n+1-1n+1+1n+2+⋯+1n+n=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2>0,
所以 fn+1>fn，故 fn 的最小值是 f1=12．
由 12>m24，得整数 m 可取最大值为 11．
10. 已知等差数列前三项为 a,4,3a ，前 n 项的和为 Sn ， Sk=2550 ．
(1)求 a 及 k 的值；
【解】 设该等差数列为 {an} ，则
a1=a,a2=4,a3=3a,Sk=2550
根据等差中项性质，可得出
a1=2,d=2
代入公式 Sk=k⋅a1+kk-12⋅d 得
k⋅2+kk-12⋅2=2550
化简得
k2+k-2550=0，
解得
k=50,k=-51 (舍去)
因此可知
a=2,k=50．
(2)求 limn→∞1S1+1S2+⋯+1Sn
【解】 根据等差数列前 n 项和公式知
Sn=nn+1,
代入可知
1S1+1S2+⋯+1Sn=11×2+12×3+⋯+1nn+1=11-12+12-13+⋯+1n-1n+1=1-1n+1
因此
limn→∞1S1+1S2+⋯+1Sn=limn→∞1-1n+1=1．

分组求和法
1. 求和 112+214+318+⋯+n+12n= ．
【答案】 nn+12+1-12n
【分析】 原式=1+2+⋯+n+12+14+⋯+12n=nn+12+1-12n．
2. 数列 an 的首项为 1，其余各项为 1 或 2，且在第 k 个 1 和第 k+1 个 1 之间有 2k-1 个 2，即数列 an 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，⋯，记数列 an 的前 n 项和为 Sn，则 S20= ，S2014= ．
【答案】 36；3983
3. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 an=4+-12n-1，则 3Sn-an-12n 的值是 ；若对任意正整数 n，恒有 1⩽pSn-4n⩽3 成立，则实数 p 的取值范围是 ．
【答案】 -2；2⩽p⩽3
4. 已知数列 an=n-1,n为奇数n,n为偶数 则 a1+a2+a3+⋯+a100= ．
【答案】 5000
5. 数列 an 的通项公式为 an=nn=1,2,3,⋯，数列 bn 满足：当 n 为奇数时，bn=an，当 n 为偶数时，bn=2an，那么，数列 bn 的前 n 项和 Sn= ．
【答案】 3k2+2k,n=2k,3k2-2k,n=2k-1 或写成 3n2+4n4,n=2k,3n2+2n-14,n=2k-1
6. 已知 an 是首项为 19 ，公差为 -2 的等差数列， Sn 为 an 的前 n 项和．
(1)求通项 an 及 Sn ；
【解】 因为 an 是首项为 a1=19 ，公差 d=-2 的等差数列，所以
an=19-2n-1=-2n+21,Sn=19n+nn-12×-2=20n-n2.
(2)设 bn-an 是首项为 1 ，公比为 3 的等比数列，求数列 bn 的通项公式及前 n 项和 Tn ．
【解】 由题意，得 bn-an=3n-1 ，即 bn=an+3n-1 ，所以
bn=3n-1-2n+21,Tn=Sn+1+3+⋯+3n-1=-n2+20n+3n-12.
7. 设 an 为等比数列，Tn=na1+n-1a2+⋯+2an-1+an，已知 T1=1，T2=4．
(1)求数列 an 的首项和公比；
【解】 设等比数列 an 的公比为 q，则
T1=a1,T2=2a1+a2=a12+q.
结合 T1=1，T2=4，解得 a1=1，q=2．
(2)求数列 Tn 的通项公式．
【解】 由（1），得 an=2n-1．
设 Sn=a1+a2+⋯+an，则
Sn=1+2+⋯+2n-1=2n-1,
从而
Tn=na1+n-1a2+⋯+2an-1+an=a1+a1+a2+⋯+a1+a2+⋯+an-1+an=S1+S2+⋯+Sn=2-1+22-1+⋯+2n-1=2+22+⋯+2n-n=2-2⋅2n1-2-n=2n+1-2-n.

8. 数列 an中,a1=1,Sn为其前n项和,当t>0时,有3tSn-2t+3Sn-1=3tn∈N*,N⩾2
(1)求证：数列 an 是等比数列；
【解】 ∵3tSn-2t+3Sn-1=3t ⋯⋯①
从而有 3tSn+1-2t+3Sn=3t ⋯⋯②
② - ①得 3tSn+1-Sn-2t+3Sn-Sn-1=0
∴3tan+1=2t+3ann∈N*,n⩾2, 即 an+1an=2t+33tn∈N*,n⩾2

又 ∵3tS2-2t+3S1=3t,S1=a1=1,S2=a1+a2=1+a2∴3t1+a2-2t+3=3t,a2=2t+33t,∴a2a1=2t+33t
综上，数列 an 是以 1 为首项， 2t+33t 为公比的等比数列
(2)设数列 an 的公比为 ft,作数列bn,使b1=1,bn=f13bn-1n∈N*,n⩾2, 求数列 bn 的前 n 项和 Bn ．
【解】 由(1)得 ft=2t+33t=23+1t ， ∵b1=1,bn=f13bn-1=23+3bn-1n∈N*,n⩾2

即 bn+13=3bn-1+13∴bn=43⋅3n-1-13n∈N*∴Bn=b1+b2+⋯+bn=43×30+31+⋯+3n-1-13=23n-13-n3=2⋅3n-n-23
9. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，Sn=n2+n．
(1)求数列 an 的通项公式；
【解】 ∵Sn=n2+n，
∴a1=S1=2，an=Sn-Sn-1=n2+n-n-12-n-1=2n（n⩾2），
∴an=2n（n∈N+）．
(2)设 1Sn 的前 n 项和为 Tn，求证 Tn<1．
【解】 ∵an=2n，
∴1Sn=1nn+1=1n-1n+1．
∴Tn=1-12+12-13+⋯+1n-1n+1=1-1n+1.
∵n∈N+，
∴0<1n+1<1，即 Tn<1．
10. 已知数列 an 为等差数列，且 a5=9，a7=13，数列 bn 的前 n 项和 Sn=2n-1n∈N*，
(1)求数列 an，bn 的通项公式；
【解】 设数列 an 的首项为 a1，公差为 d，
依题意有
a5=9,a7=13,
即
a1+4d=9,a1+6d=13,
解得
d=2,a1=1,
∴an=a1+n-1d=1+n-1×2=2n-1．
∵ 数列 bn 的前 n 项和 Sn=2n-1n∈N*，
∴ 当 n=1 时，b1=S1=21-1=1；
当 n⩾2 时，
bn=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1-1=2n-2n-1=2×2n-1-2n-1=2n-1.
又 b1=1 也适合上式，所以数列 bn 通项公式为 bn=2n-1．
(2)设 cn=an+bn，数列 cn 的前 n 项和为 Tn．求证：Tn⩾2n．
【解】 ∵cn=an+bn=2n-1+2n-1，
∴Tn=a1+b1+a2+b2+⋯+an+bn=a1+a2+⋯+an+b1+b2+⋯+bn=1+3+⋯+2n-1+20+21+⋯+2n-1=n×1+nn-12×2+20⋅1-2n1-2=n2+2n-1.
∴Tn-2n=n2-1⩾0n∈N*，即 Tn⩾2n．

错位相减法
1. 已知 x≠1，则 1+2x+3x2+⋯+nxn-1= ．
【答案】 1-xn1-x2-nxn1-x
【分析】 记 Sn=1+2x+3x2+⋯+nxn-1，当 x=0 时，Sn=1；
当 x≠0 时，xSn=x+2x2+3x3+⋯+n-1xn-1+nxn，
1-xSn=1+x+x2+x3+⋯+xn-1-nxn，所以 Sn=1-xn1-x2-nxn1-x．
当 x=0 时也满足 Sn=1-xn1-x2-nxn1-x，
综上知 Sn=1-xn1-x2-nxn1-x．
2. 12+222+323+⋯+n2n 等于 ．
【答案】 2-12n-1-n2n
【解】 用错位相减法求即可．
3. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an-2，则 an= ；记 Tn=a1+3a2+⋯+2n-1an，则 Tn= ．
【答案】 2n；6+2n-32n+1
【分析】 提示：Sn-1=2an-1-2n⩾2, ⋯⋯①，由已知 Sn=2an-2, ⋯⋯②，②-① 得 an=2an-1．
4. 已知数列 an 是首项为 1，公差为 d 的等差数列，数列 bn 是首项为 1，公比为 q=3 的等比数列，若 a5=b5，则 an⋅bn 的前 n 项和等于 ．
【答案】 20n-29⋅3n+292
【分析】 依题意，a5=b5=b1q5-1=1×34=81, 故 d=a5-a15-1=81-14=20,
所以 an=1+20n-1=20n-19,
故 Sn=1×1+21×3+41×32+⋯+20n-19⋅3n-1,
则 3Sn=1×3+21×32+⋯+20n-39⋅3n-1+20n-19⋅3n,
所以
-2Sn=1+20×3+32+⋯+3n-1-20n-19⋅3n=1+20×31-3n-11-3-20n-19⋅3n=29-20n⋅3n-29,
所以 Sn=20n-29⋅3n+292.
5. 数列 12，24，38，416，⋯ 的前 10 项和 S10= ．
【答案】 509256
【分析】 ∵an=n2n，
∴S10=12+2×122+3×123+⋯+10×1210, ⋯⋯①12S10=122+2×123+3×124+⋯+10×1211, ⋯⋯②
①-② 得
1-12S10=12+122+123+⋯+1210-10×1211=121-12101-12-10×1211=1-3512.
∴S10=21-3512=509256．
6. 求数列 12，34，58，716，⋅⋅⋅，2n-12n 的前 n 项和．
【解】 设
Sn=12+34+58+716+⋅⋅⋅+2n-12n, ⋯⋯①
则
12Sn=14+38+516+⋅⋅⋅+2n-32n+2n-12n+1, ⋯⋯②
①-② 得
12Sn=12+24+28+216+⋅⋅⋅+22n-2n-12n+1=12+12+14+18+⋅⋅⋅+12n-1-2n-12n+1=12+121-12n-11-12-2n-12n+1=32-12n-1-2n-12n+1.
所以 Sn=3-2n+32n．
7. 求和：Sn=a+2a2+3a3+⋯+nann∈N*．
【解】 Sn=a+2a2+3a3+⋯+nan，
当 a=0 时，Sn=0；
当 a=1 时，Sn=1+2+3+⋯+n=nn+12；
当 a≠1 时，Sn=a+2a2+3a3+⋯+nan．
aSn=a2+2a3+3a4+⋯+nan+1，
两式相减得 1-aSn=a+a2+a3+⋯+an-nan+1=a1-an1-a-nan+1，
所以 Sn=nan+2-n+1an+1+a1-a2．
综上，Sn=0,a=0nan+2-n+1an+1+a1-a2,a≠1nn+12.a=1
8. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a1=2，且 1，34an，Snn∈N* 成等差数列．
(1)求数列 an 的通项公式；
【解】 因为 1，34an，Sn 成等差数列
所以 32an=Sn+1，
32an-1=Sn-1+1n⩾2
所以 32an-32an-1=an
所以 an=3an-1n⩾2
又 a1=2 所以 数列 an 是一个首项为 2 公比为 3 的等比数列
所以 an=2⋅3n-1n∈N*
(2)求数列 nan 的前 n 项和 Tn．
【解】 因为 nan=2n⋅3n-1n∈N*
所以 Tn=2+4⋅3+6⋅32+L+2n-1⋅3n-2+2n⋅3n-1 ①
3Tn=2⋅3+4⋅32+6⋅33+L+2n-1⋅3n-1+2n⋅3n ②
①-② 得：
-2Tn=2+2⋅3+2⋅32+L+2⋅3n-1-2n⋅3n=21-3n1-3-2n⋅3n=3n-1-2n⋅3n
所以 Tn=2n-1⋅3n+12
9. 已知数列 an 的各项均为正数，前 n 和为 Sn，且 Sn=an+2an-12n∈N*．
(1)求证：数列 an 是等差数列；
【解】 当 n⩾2 时，
Sn=an+2an-12n∈N*,⋯①
Sn-1=an-1+2an-1-12n∈N*,⋯②
①-② 得：an=an2+an-an-12-an-12，
整理得：an+an-1an-an-1=an+an-1．
因为数列 an 的各项均为正数，
所以 an+an-1≠0，所以 an-an-1=1n⩾2．
当 n=1 时，a1=S1=a1+2a1-12，得 a12-a1-2=0，
由 a1>0，得 a1=2，
所以数列 an 是首项为 2，公差为 1 的等差数列．
(2)设 bn=an⋅3n，求数列 bn 的前 n 项的和 Tn．
【解】 由（1）得 an=2+n-1×1=n+1，
所以 bn=an⋅3n=n+1⋅3n．
Tn=2×31+3×32+4×33+⋯+n×3n-1+n+1×3n,⋯⋯①
3Tn=2×32+3×33+4×34+⋯+n×3n+n+1×3n+1,⋯⋯②
①-②得 -2Tn=6+32+33+⋯+3n-n+1×3n+1．
所以 -2Tn=6+32-3n×31-3-n+1×3n+1=3n+1-32-n+1×3n+1，
所以 Tn=142n+13n+1-34．
10. 设 an 是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，并且对于所有的 n∈N*，an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项．
(1)写出数列 an 的前 3 项；
【解】 依题意，得 an+22=2Sn，
当 n=1 时，有 a1+22=2S1=2a1，即 a1=2．
同理可得 a2=6，a3=10，故该数列的前三项为 2，6，10．
(2)求数列 an 的通项公式（写出推导过程）；
【解】 由 an+22=2Sn, 得 Sn=18an+22，Sn+1=18an+1+22，
所以 an+1=Sn+1-Sn=18an+1+22-an+22，即 an+1+anan+1-an-4=0．
由于 an+1+an≠0，所以 an+1-an=4，即数列 an 是以 2 为首项，4 为公差的等差数列，则 an=4n-2．
(3)令 bn=2n-1an，n∈N*，求 Tn=b1+b2+⋯+bn．
【解】 Tn=1×2+3×22+5×23+⋯+2n-32n-1+2n-12n，2Tn=1×22+3×23+5×24+⋯+2n-32n+2n-12n+1，两式相减得
-Tn=2+23+24+⋯+2n+1-2n-12n+1=21-2n+11-2-22-n⋅2n+2+2n+1=-n⋅2n+2+3⋅2n+1-6,
所以 Tn=n⋅2n+2-3⋅2n+1+6．


课后练习
1. 数列 1，11+2，11+2+3，⋯，11+2+…+n 的前项和为 ．
2. 对于每个自然数 n，抛物线 y=n2+nx2-2n+1x+1 与 x 轴交于 An，Bn 两点，则 A1B1+A2B2+⋯+A2004B2004 的值为 ．
3. 数列 an 中，数列 an 的通项公式 an=1nn+1，则该数列的前 项之和等于 910．
4. 已知数列 an 满足 a1=1，a2=2，对任意 n∈N* 都有 an⋅an+1≠1，anan+1an+2=an+an+1+an+2，则 S2012= ．
5. i=1n1ii+1= ．
6. Sn=1-2+3-4+5-6+⋯+-1n+1n，则 S100+S200+S301= ．
7. 数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 an=1nn+1，则 S5 等于 ．
8. 数列 an 的通项公式为 an=1n+1+n，若它的前 n 项和为 8，则项数 n= ．
9. 在数列 an 中，a1=3，且对任意大于 1 的正整数 n，点 an,an-1 在直线 x-y-3=0 上，数列 an 的通项公式 ，3a1a2+3a2a3+⋯+3a2015a2016= ．
10. 若数列 an 满足：an=2n+1，则其前 n 项和 Sn= ．
11. 对于三次函数 fx=ax3+bx2+cx+da≠0，给出定义：
设 fʹx 是函数 y=fx 的导数，fʺx 是函数 fʹx 的导数，若方程 fʺx=0 有实数解 x0，则称点 x0,fx0 为函数 y=fx 的"拐点"．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有"拐点"；任何一个三次函数都有对称中心，且"拐点"就是对称中心．给定函数 fx=13x3-12x2+3x-512，请你根据上面探究结果，解答以下问题：
① 函数 fx=13x3-12x2+3x-512 的对称中心坐标为 ；
② 计算 f12013+f22013+f32013+⋯+f20122013= ．
12. 已知等比数列 an 中，a1=3，a4=81，若数列 bn 满足 bn=lg3an，则数列 1bnbn+1 的前 n 项和 Sn= ．
13. 12+1+13+2+14+3+⋯+1n+1+n= ．
14. 4．若数列 an 的通项公式为 an=1n+n+1n∈N*，其前 n 项和 Sn=10，则 n= ．
15. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a2=12，Sn=kn2-1n∈N*，则数列 1Sn 的前 n 项和为 ．
16. 在二项式 1+xnn>1,n∈N 的展开式中，含 x2 项的系数记为 an，则 1a2+1a3+⋯+1an= ．
17. 已知函数 fx=x21+x2，那么 f1+f2+⋯+f2009+f12+f13+⋯+f12009= ．
18. 数列 1+12,2+14,3+18,⋯,n+12n,⋯ 的前 n 项和是 ．
19. 若数列 an 满足 an+1+an=2n-1，则数列 an 的前 8 项和为 ．
20. 已知数列 an 是等比数列，bn 是等差数列，且 b1=0．设 cn=an+bn．若数列 cn 的前 3 项是 1，1，2，则数列 cn 的前 10 项和是 ．
21. 设数列 an 满足 a1=1，a2=1，a3=2，若 anan-2=an-3an-1（n∈N*，n⩾4），则 a5= ，数列 an 的前 10 项和 S10= ．
22. 1×12+2×14+3×18+⋯+n×12n= ．
23. 对于任意实数 x，符号 x 表示不超过 x 的最大整数．例如：1=1,2.5=2．那么 lg21+lg22+lg23+lg24+⋯+lg21024= ．
24. 计算 i+2i2+3⋅i3+⋯+1999⋅i1999+2000⋅i2000= ．
25. 已知数列 an 的通项公式为 an=2n+1λn-1（其中常数 λ>0，n∈N*），设 Sn 为数列 an 的前 n 项和．若对任意 n∈N*, 都有 1-λSn+λan⩾2λn 恒成立，则实数 λ 的取值范围是 ．
26. 对于 n∈N*，将 n 表示为 n=a0⋅2k+a1⋅2k-1+⋯+ak-1⋅21+ak⋅20，当 i=0 时，ai=1，当 1⩽i⩽k 时，ai=0 或 1．记 In 为上述表示中 a 为 0 的个数（例如：1=1⋅20，4=1⋅22+0⋅21+0⋅20，所以 I1=0，I4=2），则（1）I12= ；（2）I1+I2+⋯+I2048= ．
27. 已知等差数列 an 中，a2=8，前 10 项和 S10=185．
(1)求数列 an 通项公式；
(2)若从数列 an 中依次取第 2 项，第 4 项，第 8 项，⋯，第 2n 项，⋯，按原来的顺序组成一个新的数列 bn，求数列 bn 的前 n 项和 Tn．
28. 已知 an 为等比数列，a1=1，a4=27，Sn 为等差数列 bn 的前 n 项和，b1=3，S5=35．
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2)设 Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn，求 Tn．
29. 设 C1，C2，⋯，Cn，⋯ 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 x 轴的正半轴上，且都与直线 y=33x 相切，对每一个正整数 n，圆 Cn 都与圆 Cn+1 相互外切，以 rn 表示 Cn 的半径，已知 rn 为递增数列．
(1)证明：rn 为等比数列；
(2)设 r1=1，求数列 nrn 的前 n 项和．
30. 已知数列 an 与 bn 满足：bn+1an+bnan+1=-2n+1，bn=3+-1n-12，n∈N*，且 a1=2．
(1)求 a2，a3 的值；
(2)设 cn=a2n+1-a2n-1，n∈N*，证明：数列 cn 是等比数列；
(3)设 Sn 为 an 的前 n 项和，证明 S1a1+S2a2+⋯+S2n-1a2n-1+S2na2n⩽n-13n∈N*.
31. 设数列 an 的前 n 项和 Sn=2n+1-2，数列 bn 满足 bn=1n+1lg2an．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 bn 的前 n 项和 Tn．
32. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，a1=1，且 S2=3．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列 bn 满足 bn=2n-1+an（n∈N*），求 bn 的前 n 项和 Tn．
33. 已知等比数列 an 的公比 q>1，42 是 a1 和 a4 的一个等比中项，a2 和 a3 的等差中项为 6，若数列 bn 满足 bn=lg2an（n∈N*）．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 anbn 的前 n 项和 Sn．
34. 已知数列 an 中的相邻两项 a2k-1,a2k 是关于 x 的方程 x2-3k+2kx+3k⋅2k=0 的两个根，且 a2k-1⩽a2kk=1,2,3,⋯．
(1)求 a1，a3，a5，a7 及 a2nn⩾4（不必证明）；
(2)求数列 an 的前 2n 项和 S2n．
35. 已知数列 an 满足 an=1n+12-1，求 an 的前 n 项和 Sn．
36. 已知等比数列 an 满足 a3+a4=12，a1⋅a6=32 且公比 q>1，
(1)求 an 的通项公式；
(2)若 bn=nan，求 bn 的前 n 项和 Tn．
37. 若函数 fx 对任意 x∈R，都有 fx+f1-x=2．
(1) an=f0+f1n+f2n+⋯+fn-1n+f1，数列 an 是等差数列吗？试证明你的结论；
(2)若 1an⋅an+1 的前 n 项和为 Tn，Tn<λan+1 对一切 n∈N* 都成立，求 λ 的取值范围．
38. 设函数 y=fx 的定义域为 R，其图象关于点 12,12 成中心对称，令 ak=fkn，其中 n 是常数且 n⩾2，n∈N*，k=1,2,⋯,n-1，求数列 an 的前 n-1 项的和．
39. 已知函数 fx=lg33x1-x,Mx1,y1,Nx2,y2 是 fx 图象上的两点，横坐标为 12 的点 P 满足 2OP=OM+ON（O 为坐标原点）．
(1)求证：y1+y2 为定值；
(2)若 Sn=f1n+f2n+⋯+fn-1n，其中 n∈N*，且 n⩾2，求 Sn；
(3)已知 an=16,n=1,14Sn+1Sn+1+1,n⩾2, 其中 n∈N*，Tn 为数列 an 的前 n 项和，若 Tn40. 设 Ax1,fx1,Bx2,fx2 是函数 fx=12+lg2x1-x 的图象上的任意两点．
(1)当 x1+x2=1 时，求 fx1+fx2 的值；
(2)设 Sn=f1n+1+f2n+1+⋯+fn-1n+1+fnn+1，其中 n∈N*，求 Sn；
(3)对于（2）中的 Sn，已知 an=1Sn+12，其中 n∈N*，设 Tn 为数列 an 的前 n 项的和，
求证 49⩽Tn<53．
41. 等比数列 an 的各项均为正数，且 2a1+3a2=1，a32=9a2a6．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn=lg3a1+lg3a2+⋯+lg3an，求数列 1bn 的前 n 项和．
42. 设数列 an 是公比大于 1 的等比数列，Sn 为其前 n 项和，已知 S3=7，且 a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)令 bn=lna2n+1，n=1,2,3,⋯，求 1bnbn+1 的前 n 项和 Tn．
43. 已知数列 an 的通项 an=1nn+1n+2，求它的前 n 项和 Sn．
44. 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和，且 Sn=n2+b+1，n∈N*．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 1anan+1 的前 n 项和 Tn．
45. 已知数列 an 各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，且满足 4Sn=an+12．
(1)求 an 的通项公式；
(2)设 bn=1an⋅an+1，数列 bn 的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的最小值．
46. 已知数列 an 的通项 an=nn为奇数,2nn为偶数, 求其前 10 项和 S10．
47. 设数列 an 满足：① a1=1；② 所有项 an∈N*；③ 1=a1 (1)若数列 an 只有 3 项，其伴随数列为 1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 an；
(2)设 an=3n-1，求数列 an 的伴随数列 bn 的前 30 项之和；
(3)若数列 an 的前 n 项和 Sn=n2+c（其中 c 常数），求数列 an 的伴随数列 bm 的前 m 项和 Tm．
48. 已知等差数列 an 的第二项为 8，前 10 项和为 185．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列 bn 通项满足 bn=a2n，试求数列 bn 的通项公式和前 n 项的和 Sn．
49. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=1-5+9-13+⋯+-1n-14n-3，求 S15+S22-S31 的值．
50. 求数列 112,314,518,⋯,2n-1+12n 的前 n 项和．
51. 已知等差数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 S2n=4Sn,n∈N*，且 a1=1．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求证：a13+a232+⋯+an3n<1．
52. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an-n2+3n-2n∈N*．
(1)求证：数列 an+2n 为等比数列，并求数列 an 的通项公式；
(2)若 bn=Sn+n2an+2n，求数列 bn 的前 n 项和 Bn；
(3)设 Cn=lg2an+2n-2，数列 dn 满足：dn⋅Cn+3Cn+4=1+n+1n+22Cn，数列 dn 的前 n 项和为 Tn，求使 2Tn⩾2n-11009 成立的最小整数．
53. 已知 fx=a1x+a2x2+⋯+anxn，且对任意 n∈N*，都有 f1=n2．
(1)求数列 an 的通项；
(2)求 f12．
54. 已知函数 fx=ax2+bx（a≠0）的导函数 fʹx=-2x+7，数列 an 的前 n 项和为 Sn，点 Pnn,Sn（n∈N*）均在函数 y=fx 的图象上．
(1)求数列 an 的通项公式及 Sn 的最大值；
(2)令 bn=2an，其中 n∈N*，求 nbn 的前 n 项和．
55. 已知等差数列 an，公差为 d，求 Sn=a1x+a2x3+a3x5+⋯+anx2n-1 x≠1．
数列的求和-出门考
姓名 成绩
1. 已知数列 an 满足 an=1n+n+1，则其前 99 项和 S99= ．
2. 等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn，a3=3，S4=10，则 k=1n1Sk= ．
3. 数列 an 的通项公式是 an=1n+n+1，若前 n 项和为 10，则项数 n 为 ．
4. 已知数列 an 的通项公式 an=lg2n+1n+2 n∈N*，其前 n 项之和为 Sn，则使 Sn<-5 成立的正整数 n 的最小值是 ．
5. 已知数列 an 的通项公式 an=1nn+1，则其前 n 项和 Sn= ．
6. 已知 12+22+⋯+n2=n2n+1n+16，则数列 1×4，2×5，3×6，⋯，n×n+3，⋯ 的前 n 项和 Sn= ．
7. 在数列 an 中，a1=1，a2=2，且 an+2-an=1+-1n，n∈N*，则该数列的前 10 项和 S10= ．
8. 数列 an 的通项公式为 an=n+2nn=1,2,3,⋯，则 an 的前 n 项和 Sn= ．
9. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=1-5+9-13+17-21+⋯+-1n-14n-3 ，那么 S15+S22-S31 的值为 ．
10. 数列 an 的通项公式是 an=n+1-n，若它的前 n 项和为 10，则项数 n 为 ．
11. 设 Sn=12+16+112+⋯+1nn+1 ， 且 Sn⋅Sn+1=34 ， 则 n= ．
12. 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，Sn=n2+a，则（1）常数 a= ，（2）数列 1anan+1 的前 10 项和为 ．
13. 求和：11×4+14×7+⋯+13n-2×3n+1= ．
14. 数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn=12n2+An，若 a2=2，则 A= ，数列 1anan+1 的前 n 项和 Tn= ．
15. 设直线 nx+n+1y=2（n∈N*）与两坐标轴围成的三角形的面积为 Sn，则 S1+S2+⋯+S2012 的值为 ．
16. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，对任意 n∈N* 满足 2Sn=anan+1，且 an≠0．设 cn=an+1,n为奇数,3×2an-1+1,n为偶数, 则数列 an 的前 2n 项和 T2n= ．
17. 已知数列 an 满足：a1=2，an+1=1+an1-an，则 a1a2a3⋯a15= ；设 bn=-1nan，数列 bn 前 n 项的和为 Sn，则 S2016= ．
18. 已知 5×5 数字方阵 a11a12a13a14a15a21a22a23a24a25a31a32a33a34a35a41a42a43a44a45a51a52a53a54a55 中，aij=1,j是i的整数倍,-1,j不是i的整数倍, 则 j=25a3j+i=24ai4= ．
19. 数列 112，214，318，4116，⋯ 的前 n 项和为 ．
20. 数列 an 的前 n 项和 Sn=n2-4n，则 ∣a1∣+∣a2∣+⋯+∣a10∣= ．
21. 设等差数列 an 的公差为 2，且 S1，S2，S4 成等比数列，其中 Sn 表示数列 an 的前 n 项和．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 bn=2n，数列 an+1bnnbn+1bn+1+1 的前 n 项和为 Tn，求证：415⩽Tn<23
22. 数列 an 的前 n 项和为 Sn=2an-2，数列 bn 是首项为 a1，公差不为零的等差数列，且 b1，b3，b11 成等比数列．
(1)求 a1，a2，a3 的值；
(2)求数列 an 与 bn 的通项公式；
(3)求证：b1a1+b2a2+b3a3+⋯+bnan<5．
23. 设 d 为非零实数，an=1nCn1d+2Cn2d2+⋯+n-1Cnn-1dn-1+nCnndnn∈N*．
(1)写出 a1，a2，a3 并判断 an 是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；
(2)设 bn=ndann∈N*，求数列 bn 的前 n 项和 Sn．
24. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，点 n,Snn n∈N* 均在函数 y=3x-2 的图象上．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn=3anan+1，Tn 是数列 bn 的前 n 项和，求使得 Tn25. 设 f1x=21+x，定义 fn+1x=f1fnx，an=fn0-1fn0+2（n∈N*）．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 T2n=a1+2a2+3a3+⋯+2na2n，Qn=4n2+n4n2+4n+1（n∈N*），试比较 9T2n 与 Qn 的大小，并说明理由．
26. 设数列 an 是公差为 d，且首项为 a1=d 的等差数列，求和：Sn+1=a1Cn0+a2Cn1+⋯+an+1Cnn，
27. 已知数列 an 满足 2anan+2=an+1n∈N*，且 a1=11006．
(1)求证：数列 1an 是等差数列，并求通项 an；
(2)若 bn=2-2010anan，且 cn=bn⋅12nn∈N*，求 Tn=c1+c2+⋯+cn．
28. 已知等差数列 an 满足：a3=7，a5+a7=26．数列 an 的前 n 项和为 Sn．
(1)求 an 及 Sn；
(2)令 bn=1an2-1 n∈N*，求数列 bn 的前 n 项和 Tn．
29. 求数列 2n-12n 的前 n 项和 Sn．
30. 已知等差数列 an 为递增数列，且 a2,a5 是方程 x2-12x+27=0 的两根，数列 bn 的前 n 项和 Tn=1-12bn．
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)若 cn=3n⋅bnan⋅an+1，Sn 为数列 cn 的前 n 项和，证明：Sn<1．
31. 求和：11×3+12×4+13×5+⋯+1nn+2．
32. 已知等差数列 an 的公差为 2，其前 n 项和 Sn=pn2+2nn∈N*．
(1)求 p 的值及 an；
(2)若 bn=22n-1an，记数列 bn 的前 n 项和为 Tn，求使 Tn>910 成立的最小正整数 n 的值．
33. 已知直线 l:y=kx+1，点 Ann,an+1an 在直线 l 上，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2n∈N+,n⩾2；
[ n!=1⋅2⋅3⋯n-1⋅n ]．
(1)求 k 的值；
(2)求数列 an 的通项公式；
(3)设 bn=ann+2!n∈N+，数列 bn 的前 n 项和为 Sn，求证：16⩽Sn<12．
34. 在等差数列 an 中，a3=5，S7=49．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)记数列 bn=1anan+1，求数列 bn 的前 n 项和为 Tn．
35. 数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 a1=1，2Sn=n+1an．
(1)求 an 与 an-1 的关系式，并求 an 的通项公式；
(2)求和 Wn=1a22-1+1a32-1+⋯+1an+12-1；
36. 设数列 an 的首项 a1=1，前 n 项和 Sn 满足关系式 tSn-t+1Sn-1=tt>0,n∈N*,n⩾2．
(1)求证：数列 an 是等比数列；
(2)设数列 an 的公比为 ft，作数列 bn，使 b1=1，bn=f1bn-1n∈N*,n⩾2，求数列 bn 的通项公式；
(3)数列 bn 满足条件（2），求和：b1b2-b2b3+b3b4-⋯+b2n-1b2n-b2nb2n+1．
37. 求数列 nn+12n+1 的前 n 项和．
38. 已知数列 an 的首项 a1=53，3an+1=an+2．n∈N+．
(1)求证：数列 an-1 为等比数列；
(2)若 a1+a2+⋯+an<100，求最大的正整数 n．
39. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Snn∈N*，a3=5，S10=100．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn=3an+2n，求数列 bn 的前 n 项和为 Tn．
40. 求和：Sn=1+11+111+…+11⋯1⏟n个1．
41. 在数列 an 中，a1=-3，an=2an-1+2n+3 n⩾2且n∈N*．
(1)求 a2,a3 的值；
(2)设 bn=an+32n n∈N*，证明：bn 是等差数列；
(3)求数列 an 的前 n 项和 Sn．
42. 将函数 fx=sin14x⋅sin14x+2π⋅sin12x+3π 在区间 0,+∞ 内的全部极值点按从小到大的顺序排成 ann∈N*．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn=2nan，数列 bn 的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的表达式．
43. 已知数列 an 满足：a1+3a2+⋯+2n-1an=2n-3⋅2n+1，数列 bn 的前 n 项和 Sn=2n2+n-2，求数列 an⋅bn 的前 n 项和 Wn．
44. 已知等差数列 an 满足前 2 项的和为 5，前 6 项的和为 3．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn=4-an⋅2n，求数列 bn 的前 n 项和 Sn．
45. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 an+1=2Sn+2n∈N*．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，求证：1d1+1d2+⋅⋅⋅+1dn<1516n∈N*．