2020届二轮复习数列中项数问题学案（全国通用）

 专题16 数列中项数问题

数列中项数问题，不仅是存在性问题，而且是整数解问题. 会利用整除性质、奇偶分析法、“范围”控制解决，常用到分类讨论思想．

类型一 整数解问题
典例1. 已知集合，,．对于数列，，且对于任意，，有．记为数列的前项和.
(Ⅰ)写出，的值；
(Ⅱ)数列中，对于任意，存在，使，求数列的通项公式；
(Ⅲ)数列中，对于任意，存在，有.求使得成立的的最小值．
【答案】(1) =8, =9 (2) (3)57
【解析】
（I）
，
.
因为，且对于任意，，
所以.
（II）对于任意，，有，
所以对于任意，，有，
即数列为单调递增数列.
因为对于任意，存在，使，
所以┅┅．
因为，，所以对于任意，有，，，所以，当时，有，
即，
，
，
…………
，
所以当时，
有，
所以.
又，，
数列的通项公式为：.
（III）若，，有，
令，，解得，即，
得，其中表示不超过的最大整数，
所以.
=，
依题意，
，
即，
.
当时，即时，，不合题意；
当时，即时，，不合题意；
当时，即时，，不合题意；
当时，即时，，不合题意；
当时，即时，，不合题意；
当时，即时，
由
此时，.
而时，.所以.
又当时，；
所以.
综上所述，符合题意的的最小值为

类型二 存在性问题
典例2已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且．
（1）求a1；
（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1 【答案】（1）0（2）an=n－1（3），
【解析】（1）令n=1，则a1=S1==0．
（2）由，即， ①
得． ②
②－①，得． ③
于是，． ④
③+④，得，即．
又a1=0，a2=1，a2－a1=1，
所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以，an=n－1．
（3）解法1：假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，．
时，<0，故数列{}( )为递减数列，
时，<0，故数列{}()为递减数列，
，，即时，
又当时，，故无正整数q使得成立．
解法2：同上有，，且数列{}( )为递减数列，
当时，成立；当时，，
因此，由得，，此时

类型三 否定性问题
典例3等差数列的前项和为．
（1）求数列的通项与前项和；
（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【答案】（1）．（2）见解析
【解析】（1）由已知得，，
故．
（2）由（1）得．
假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．
即．

，
．
与矛盾．
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．




1.公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋．
（1）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；
（2）记cn＝，试问：在数列{cn}中是否存在三项cr，cs，ct(r＜s＜t，r,s,t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），（2）见解析
【解析】（1），，
所以，
（2）易知，假设存在三项成等比数列，则，
即,
整理得
且， ,解得,这与矛盾.
综上所述，不存在满足题意的三项
2.已知各项均为正数的等比数列的公比为，且.在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；
【答案】见解析
【解析】由知，数列是递减数列，
假设存在成等差数列，不妨设，则，即 即
而，，故矛盾．
因此在数列中不存在三项成等差数列．
3.设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：假设数列中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第项，
由⑴得，∴，∴， ∴
又为偶数，为奇数．故不存在这样的三项，满足条件．
4.已知数列满足：，，数列满足：．
（1）求数列，的通项公式；
（2）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列．
【答案】(1) ，．(2)见解析
【解析】（1）由题意可知， 令　，则　
又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即
，故，又，
故，．
（2）假设数列存在三项按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只有可能有 成立
，即
即：
由于，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾．
因此数列中任意三项不可能成等差数列．
5.已知等比数列的首项是，公比为2，等差数列的首项是，公差为，把中的各项按照如下规则依次插入到的每相邻两项之间，构成新数列： ，……，即在和两项之间依次插入中个项，则____________.
【答案】
【解析】对数列分组(a1), (b1,a2),(b2,b3,a3),(b4,)，……，前n组的个数之和靠近2013即可，可能前63组之和为2016，用2013个数剔除an中的项即可
6.设等差数列的前项和为且．
（1）求数列的通项公式及前项和公式；
（2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得
成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2) 当时，；当时，；当时，．
【解析】（1）
（2），要使得成等差数列，则
即： 即：
∵，∴只能取2，3，5 当时，；当时，；当时，．
7. 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，且
．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项．【答案】(1) , (2) 2．
【解析】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,所以的通项公式为，前n项和．
(2) =，若其是中的项，则，
令，则=,
即： 所以为8的约数． 因为是奇数，所以可取的值为，
当，即时，；当，即时，（舍去）．
所以满足条件的正整数．
8. 若或，则称为和的一个位排列，对于，将排列记为，将排列记为，依此类推，直至，对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数，叫做和的相关值，记作，例如，则，，若，则称为最佳排列．
（Ⅰ）写出所有的最佳排列．
（Ⅱ）证明：不存在最佳排列．
（Ⅲ）若某个（是正整数）为最佳排列，求排列中的个数．
【答案】详见解析
【解析】
（Ⅰ）最佳排列为、、、、、．
（Ⅱ）设，则，
因为，
所以，，，，之中有个，个，
按的顺序研究数码变化，
有上述分析可知由次数码不发生改变，有次数码发生了改变，
但是经过奇数次数码改变不能回到自身，
所以不存在，
使得，
从而不存在最佳排列．
（Ⅲ）由或，，，，
得，，，
，
，
以上各式求和得，，
另一方面，还可以这样求和：设， ，中有个，个，
则，
所以，
得或，
所以排列中的个数是或个．
9．设数列的前n项和为，已知，（）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列满足：，．
① 求数列的通项公式；
② 是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2），
【解析】
（1）解：由，得（），
两式相减，得，即（）．
因为，由，得，所以，
所以对任意都成立，
所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．
（2）① 由（1）知，，
由，得，
即，即，
因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
所以，
所以．
② 设，
则，
所以，
两式相减，
得 ，
所以．
由，得，即．
显然当时，上式成立，
设（），即．
因为，
所以数列单调递减，
所以只有唯一解，
所以存在唯一正整数，使得成立．
10．已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和；
（3）令，问是否存在正整数使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在.
【解析】
（1）

,
当时满足上式,
故.
（2）
, ①
, ②
由①－②得：


,
.
（3）假设存在使得为等差数列，
则
，
－——*
由且则为奇整数，
，
又由 则代入*式得,
故存在使得为等差数列 .
11．数列
满足：或1（k=1,2,…,n－1）．
对任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．
（I）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
①1,1,1,2,2,2； ②1,1,1,1,2,2,2,2； ③1,1,1,1,1,2,2,2,2
（II）记．若m=3，求S的最小值；
（III）若m=2018，求n的最小值．
【答案】（Ⅰ）②③；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）2026．
【解析】
（I）数列满足：或1（k=1,2,…,n－1）．对任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．
∴在①中，1，1，1，2，2，2，不符合题目条件；
在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件；
在③中,1,1,1,1,1,2,2,2,2,符合题目条件．
故所有符合题目条件的数列的序号为②③．
（II）当m=3时，设数列中1,2,3，出现频数依次为，由题意．
①假设，则有（对任意），
与已知矛盾，所以．
同理可证：．
②假设，则存在唯一的，使得．
则对，有（k，s，t两两不相等），与已知矛盾，
所以．
综上，，，
所以，
故S的最小值为20.
（III）设1，2，…，2018出现频数依次为．
同（II）的证明，可得，
所以．
取，，得到的数列为：

下面证明满足题目要求．
对，不妨令，
①如果或，由于，所以符合条件；
②如果或，
由于，，
所以也成立；
③如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且i，j，s，t两两不相等；
④如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．
综上对任意i，j，总存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．
因此满足题目要求，
所以n的最小值为2026．
12．已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；
（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，{ }的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对"n≥2, n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．
【答案】（1）（2） 或 （3）见解析
【解析】
（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：

解得d＝1，q＝2，
所以.
（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，
有，
即 ，
由于，且为正整数，所以，
所以，
可得 ， 即，
①当1≤m≤2时，不等式不成立；
②当 或 时 成立；
③当时，，，即，则有；
所以的最小值为6，
当且仅当，且 或 时取得．
（3）由题意得：



（1）
（2）
（1）—（2）得
，
求得 ，
所以 ，
设，则，
所以 在上单调递增，有，
可得 .
当，且N*时，，
有 ，
所以，
可得，
所以.
13．已知数列满足，，是数列的前项的和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；
（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）.（2），.（3）或14.
【解析】
（1）因为，，
所以当时，，，
当时，
由 和，
两式相除可得，，即
所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.
于是，.
（2）因为，30，成等差数列，，18，成等比数列，
所以，于是，或.
当时，，解得，
当时，，无正整数解，
所以，.
（3）假设存在满足条件的正整数，使得，
则，
平方并化简得，，
则，
所以，或，或，
解得：，或，，或，（舍去），
综上所述，或14.
14．由，，，排列而成的项数列满足：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项．
（）满足条件的数列中，写出所有的单调数列．
（）当时，写出所有满足条件的数列．
（）满足条件的数列的个数是多少？并证明你的结论．
【答案】），，，，；（）见解析；（）个．
【解析】
（），，，，；
（）数列为：1，2，3，4；4，3，2，1;2,1,3,4;3,2,1,4;2,3,1,4;3,2,4,1;3,4,2,1;2,3,4,1；
共8个.
（）设所求个数为，则，
对，若排在第位，
则它之后的位数完全确定，
只能是，，，，．
而它之前的位，，，，有种排法，
令，，，，
则，
，
，∴．
15．设数列的前n项和为，已知（p、q为常数， ），又， ， .
（1）求p、q的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正整数m、n，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由.
【答案】（1）， ；（2）；
（3）存在符合条件的所有有序实数对： 、、、、、.
【解析】
（1）由题意，知，解之得
（2）由（1）知，Sn+1=Sn+2，①
当n≥2时，Sn=Sn﹣1+2，②
①﹣②得，an+1=an（n≥2），
又a2=a1，所以数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，
所以an=．
（3）由（2）得，=，
由，得，即，

即，
因为2m+1＞0，所以2n（4﹣m）＞2，
所以m＜4，且2＜2n（4﹣m）＜2m+1+4，①
因为m∈N*，所以m=1或2或3。
当m=1时，由①得，2＜2n×3＜8，所以n=1；
当m=2时，由①得，2＜2n×2＜12，所以n=1或2；
当m=3时，由①得，2＜2n＜20，所以n=2或3或4，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．
16．已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*．
（Ⅰ）求a1的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．
【答案】（1）1（2）an＝2n－1，n∈N*(3) k＝2，t＝3
【解析】（1）由3T1＝S12＋2S1，得3a12＝a12＋2a1，即a12－a1＝0．
因为a1＞0，所以a1＝1．
（2）因为3Tn＝Sn2＋2Sn， ①
所以3Tn＋1＝Sn＋12＋2Sn＋1，②
②－①，得3an＋12＝Sn＋12－Sn2＋2an＋1．
因为an＋1＞0，
所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2， ③
所以3an＋2=Sn＋2＋Sn＋1＋2，④
④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，即an＋2＝2an＋1，
所以当n≥2时，＝2．
又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，
即a22－2a2＝0．
因为a2＞0，所以a2＝2，所以＝2，所以对n∈N*，都有＝2成立，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*．
(3)由(2)可知Sn＝2n－1．
因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，
所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，
所以2t＝(2k)2－3×2k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－3×2k－2＋1(*)．
由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．
当k＝2时，2t＝8，得t＝3．
当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－3×2k－2＋1为奇数，
所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－3×2k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．
综上，k＝2，t＝3．
17．数列定义为， ， ，
（1）若，求的值；
（2）当时，定义数列， ， ，是否存在正整数，使得.如果存在，求出一组，如果不存在，说明理由.
【答案】(1)2；(2)答案见解析
【解析】 (1)
所以
故
所以
（2）由
得，两边平方

所以
当时，由知
又，数列递增，所以
类似地，
又



所以
存在正整数，

存在一组
18．设数列的前项和为， ， .
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出值；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）
所以时，
两式相减得:
即，也即，所以为公差为的等差数列，
所以
（Ⅱ），
所以，

所以
所以，所以
即当时，
19．记等差数列的前项和为.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若 ，对任意，均有是公差为的等差数列，求使为整数的正整数的取值集合；
（3）记，求证： .
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】解：（1）设等差数列的公差为，则，从而，所以当时， ，即数列是等差数列.
（2）因为的任意的都是公差为，的等差数列，所以是公差为，的等差数列，又，所以，所以，显然， 满足条件，当时，因为，所以，所以不是整数，综上所述，正整数的取值集合为.
（3）设等差数列的公差为，则，所以，即数列是公比大于，首项大于的等比数列，记公比为.以下证明： ，其中为正整数，且，因为，所以，所以，当时， ，当时，因为为减函数， ，所以，所以，综上， ，其中
，即.
20．已知数列中，，前项和满足（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在整数对满足？若存在，求出所有的满足题意得整数对；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），，．
【解析】
解：（Ⅰ）在中，令可得，；
令可得，；
当时，与相减得，
即，（），而时也符合该等式，故数列是
首项为，公比也为的等比数列，其通项公式为；
（Ⅱ），即，
，若存在整数对，则必须是整数，
其中只能是的因式，，，，显然无解，，可得，；可得，；可得
，；综上所有的满足题意得整数对为，，．