2020届二轮复习外接球学案（全国通用）
展开培优点十四 外接球
1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心
例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，，故选C．
2．补形法（补成长方体）
例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 ．
【答案】
【解析】，．
3．依据垂直关系找球心
例3：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是等腰直角三角形，所以外接球的半径是，设外接球的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，，由题设，
最大体积对应的高为，故，即，解之得，
所以外接球的体积是，故答案为D．
一、单选题
1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：，则：，该长方体的外接球的表面积为．本题选择B选项．
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．12π B．28π C．44π D．60π
【答案】B
【解析】设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，
设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径，
外接球的表面积．本题选择B选项．
3．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，
则三棱锥的外接球直径为，外接球的表面积为，故选C．
4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为的正三棱锥，另一个是棱长为的正四面体，如图所示：
该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以，所以该几何体外接球面积，故选C．
5．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以，，
因此三角形外接圆半径为，
设外接球半径为，则，，故选D．
6．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连结，，交点为，连结，
易知球心在直线上，设球的半径，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，则该球的表面积．本题选择D选项．
7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由余弦定理得：，
设三角外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，
又，解得：，则球的表面积．本题选择D选项．
8．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，设正方形的中点为，正四棱锥的外接球心为，
底面正方形的边长为，，
正四棱锥的体积为，，
则，，
在中由勾股定理可得：，解得，，故选C．
9．如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，
则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形，且平面，
设三棱锥外接球的球心为，
外接圆的圆心为，则面，∴四边形为直角梯形，
由，，及，得，∴外接球半径为，
∴该球的表面积．故选A．
10．四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意，中，，，可知是等边三角形，，
∴的外接圆半径，，
∵，可得，可得，∴，∴，
∴四面体高为．
设外接球，为球心，，可得：……①，
……②
由①②解得：．四面体外接球的表面积：．故选A．
11．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，，，，
底面三角形的底面外接圆圆心为，半径为，由余弦定理得到，再由正弦定理得到，
见图示：
是球的弦，，将底面的圆心平行于竖直向上提起，提起到的高度的一半，即为球心的位置，∴，在直角三角形中，应用勾股定理得到，即为球的半径．
∴球的半径．该球的表面积为；故选B．
12．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别取，的中点，，连接相应的线段，，，
由条件，，，可知，与，都是等腰三角形，
平面，∴，同理，∴是与的公垂线，
球心在上，推导出，可以证明为中点，
，，，
∴，球半径，∴外接球的表面积为．
故选D．
二、填空题
13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．
【答案】
【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为，
则外接球的半径，
则外接球的表面积为．
14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．
【答案】
【解析】设正四棱锥的棱长为，则，解得．
于是该正四棱锥内切球的大圆是如图的内切圆，
其中，．∴．
设内切圆的半径为，由，得，即，
解得，
∴内切球的表面积为．
15．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于______．
【答案】
【解析】∵三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，，，，
，，
设外接圆的半径为，则，，
∴外接球的半径为，∴球的表面积等于．故答案为．
16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____．
【答案】
【解析】如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，
设，那么，，所以．由题意，体积的最小值即为
最小，，所以当时，的最小值为，所以半径为，
故体积的最小值为．
