2020届数学(理)二轮复习第2部分专题2解密高考② 数列问题重在“归”——化归、归纳学案
展开解密高考② 数列问题重在“归”——化归、归纳 |
————[思维导图]———— | ————[技法指津]———— |
1.化归的常用策略 (1)等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列． (2)由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目的特点，将数列问题化归为函数问题来解决． 2．归纳的常用策略 对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的情形出发，从中归纳出一般的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明. |
母题示例：2019年全国卷Ⅱ，本小题满分12分 | |
已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式. | 本题考查：等差(比)数列的概念、通项公式等知识，考查方程思想、转化化归等能力，数学运算、逻辑推理等核心素养. |
[审题指导·发掘条件]
看到证明{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列，想到等差(比)数列的概念；缺“an＋1＋bn＋1”与“an＋1－bn＋1”，借助题设条件利用方程思想补找该条件，并求{an}和{bn}的通项公式．
[构建模板·四步解法] 数列类问题的求解策略
第一步 找条件 | 第二步 求通项 | 第三步 定方法 | 第四步 再反思 |
根据已知条件确定数列的项之间的关系 | 根据等差或等比数列的通项公式，求数列的通项公式 | 根据题设条件及数列表达式的结构特征，选择合适的方法，求解相应问题 | 审视转化过程的等价性与合理性 |
母题突破：2019年潍坊二模，本小题满分12分 |
已知数列{an}满足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，设bn＝.
(1)证明数列{bn}是等差数列；
(2)设＝2n＋1，求数列{cn}的前n项和Tn(n∈N*)．
[解](1)因为a1＝2，所以b1＝＝1. 1分
将(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)两边同时除以(n＋1)(n＋2)得：＝－2， 3分
∴－＝2，即bn＋1－bn＝2. 4分
∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列. 5分
(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1. 6分
∵ ＝2n＋1，∴cn＝(2n＋1)bn＝(2n－1)·2n＋2n－1. 7分
设Pn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，
2Pn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1， 8分
两式相减得：－Pn＝2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n－1)·2n＋1
＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1.化简得Pn＝6＋(2n－3)·2n＋1. 10分
设Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2， 11分
∴Tn＝Pn＋Sn＝6＋(2n－3)·2n＋1＋n2. 12分
