2020届二轮复习杨辉三角与二项式系数的性质学案（全国通用）

　“杨辉三角”与二项式系数的性质
学习目标　1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.

知识点一　“杨辉三角”与二项式系数的性质
(a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：

思考1　从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
答案　在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
思考2　计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？
答案　2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.
思考3　二项式系数的最大值有何规律？
答案　n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大.
1.杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等.
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
2.二项式系数的性质

性质
内容
对称性
C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
增减性
与最大值
如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大.
如果n为奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且同时取得最大值.
二项式
系数的和
二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.


类型一　与杨辉三角有关的问题
例1　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值.

解　由题意及杨辉三角的特点可得
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…9)
＝C＋
＝164.
反思与感悟　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

跟踪训练1　(1)如图数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是________.
1
2　2
3　4　3
4　7　7　4
5　11　14　11　5
…　　…　　…
答案　
解析　由图中数字规律可知，第n行的第2个数是
[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1.
(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________.

答案　2n－1　32
解析　观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.
类型二　求展开式的系数和
例2　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
解　(1)当x＝1时，(1－2x)7＝(1－2)7＝－1，题中等式等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.
当x＝0时，a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.
(2)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， ①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， ②
由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝－＝－1 094.
(3)由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负，a0，a2，a4，a6均为正，
∴由(2)中①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－1＋37，
∴a0＋a2＋a4＋a6＝，
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝37＝2 187.
反思与感悟　二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
跟踪训练2　在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)令x＝1，y＝－1，可得
a0－a1＋a2－…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，
即所有奇数项系数之和为.
类型三　二项式系数性质的应用
例3　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项.
解　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为：T3＝C()3·(3x2)2＝90x6，T4＝C()2·(3x2)3＝
展开式的通项公式为
假设Tr＋1项系数最大
则有
∴
即
∴≤r≤，∵r∈N，
∴r＝4，
∴展开式中系数最大的项为

反思与感悟　1.二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2.展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项最大，应用解出r，即得出系数的最大项.
跟踪训练3　已知n展开式中的二项式系数的和比(3a＋2b)7展开式的二项式系数的和大128，求n展开式中的系数最大的项和系数最小的项.
解　2n－27＝128，n＝8，8的通项Tr＋1＝C(x2)8－rr＝(－1)rCx16－3r.
当r＝4时，展开式中的系数最大，即T5＝70x4为展开式中的系数最大的项；
当r＝3或5时，展开式中的系数最小，
即T4＝－56x7，T6＝－56x为展开式中的系数最小的项.

1.已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋…a10x10，则a8等于(　　)
A.180 B.－180 C.45 D.－45
答案　A
解析　a8＝C·22＝180.
2.已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　)
A.64 B.32 C.63 D.31
答案　B
解析　C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729.
∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.
3.若n的展开式的各项系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A.10 B.20 C.30 D.120
答案　B
解析　由2n＝64，得n＝6.
Tk＋1＝Cx6－k·k＝Cx6－2k，
由6－2k＝0，得k＝3，∴T4＝C＝20.
4.已知(1－x)8的展开式，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数最小的项.
解　(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，该项为
T5＝C(－x)4＝70x4.
(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小，分别为
T4＝C(－x)3＝－56x3，T6＝C(－x)5＝－56x5.

1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.
2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0、1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握.
3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数.
(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}的范围.

一、选择题
1.若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于(　　)
A.45 B.55 C.70 D.80
答案　C
解析　∵(1＋)5＝1＋C×＋C×()2＋C×()3＋C×()4＋C×()5
＝1＋5＋20＋20＋20＋4
＝41＋29，
∴a＝41，b＝29，a＋b＝70.故选C.
2.已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)
A.1 B.±1 C.2 D.±2
答案　C
解析　由条件知2n＝32即n＝5，在通项公式Tr＋1＝C()5－rr＝中，令15－5r＝0得r＝3，∴Ca3＝80，解得a＝2.
3.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　)
A.第6项 B.第5项
C.第5、6项 D.第6、7项
答案　A
解析　由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10.
∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.
4.设n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)
A.－150 B.150 C.300 D.－300
答案　B
解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，
Tr＋1＝C(5x)4－r·r＝(－1)r54－rCx4－，
令4－＝1，得r＝2，
所以展开式中x的系数为
(－1)2×52C＝150.
5.已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)
A.28 B.28－1
C.27 D.27－1
答案　B
解析　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….
由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，
得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，
即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.
由二项式系数性质可得：
C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1.
6.若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A.2 B.0 C.－2 D.－1
答案　D
解析　(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017，令x＝，则2 017＝a0＋＋＋…＋＝0，
其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.
二、填空题
7.已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________.
答案　6
解析　(x＋1)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.
8.在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________.
答案　462
解析　∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C＝C＝462.
9.已知x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________.
答案　7
解析　令x＝－1，
∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.
令x＝－3，
∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，
∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，
∴a1＋a3＋…＋a11＝27，
∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.
10.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.

第0行
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　6　4　1
1　5　10　10　5　1
答案　34
解析　在第n行中，即(a＋b)n的展开式中第14个与第15个二项式系数分别为C和C，∴C∶C＝2∶3，即＝，∴n＝34.
三、解答题
11.已知n展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n；
(2)若展开式中常数项为，求m的值；
(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况.
解　(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.
(2)设常数项为第r＋1项，则
Tr＋1＝Cx8－rr＝Cmrx8－2r，
故8－2r＝0，即r＝4，则Cm4＝，解得m＝±.
(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大.
则化简可得≤r≤.
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以即
所以m只能等于2.
12.在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和；
(4)系数绝对值的和.
解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，
将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝.
即为所有奇数项系数之和.
(4)方法一　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59.
方法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9的展开式中各项系数之和，令x＝1，y＝1得，
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
13.已知(＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求2n的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项.
解　由题意得22n－2n＝992，解得n＝5.
(1)10的展开式中第6项的二项式系数最大，
即T6＝C·(2x)5·5＝－8 064.
(2)设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk＋1＝C·(2x)10－k·k
＝(－1)k·C·210－k·x10－2k.
∴得
即
∴≤k≤，∴k＝3，
故系数的绝对值最大的是第4项
T4＝(－1)3C·27·x4＝－15 360x4.