2020届二轮复习独立重复试验与二项分布学案（全国通用）

　独立重复试验与二项分布
学习目标　1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.

知识点一　独立重复试验
思考1　要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验.
答案　条件相同.
思考2　试验结果有哪些？
答案　正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生.
思考3　各次试验的结果有无影响？
答案　无，即各次试验相互独立.
(1)定义：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
(2)基本特征：
①每次试验是在同样条件下进行.
②每次试验都只有两种结果：发生与不发生.
③各次试验之间相互独立.
④每次试验，某事件发生的概率都是一样的.
知识点二　二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用Bk表示仅投中k次这件事.
思考1　用Ai如何表示B1，并求P(B1)，
答案　B1＝(A1 )∪(A2)∪( A3)，
因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，
且A1 、A2、 A3两两互斥，
故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096.
思考2　试求P(B2)和P(B3)
答案　P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384，
P(B3)＝0.83＝0.512.
思考3　由以上问题的结果你能得出什么结论？
答案　P(Bk)＝C0.8k0.23－k(k＝0.1,2,3)
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，
设每次试验中事件A发生的概率为p，
则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.

类型一　独立重复试验的概率问题
例1　某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.
解　(1)记预报一次准确为事件A，
则P(A)＝0.8，
5次预报恰有2次准确的概率为
P＝C0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.
其概率为P＝C×(0.2)5＋C×0.8×(0.2)4＝0.006 72≈0.01，
所以所求概率为1－p＝1－0.01＝0.99，
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.
(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确，
所以概率为P＝C·0.8×(0.2)3×0.8
＝0.020 48≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
反思与感悟　独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验.
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆.
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.
跟踪训练1　9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子.
(1)求甲坑不需要补种的概率；
(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P1，另记有坑需要补种的概率为P2，求P1＋P2的值.
解　(1)∵甲坑内3粒种子都不发芽的概率为
3＝.
∴甲坑不需要补种的概率为1－＝.
(2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为
P1＝C××2＝.
由于3个坑都不需补种的概率为3，
则有坑需要补种的概率为P2＝1－3＝，
所以P1＋P2＝＋＝.
类型二　二项分布

例2　某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列.
解　可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X～B，
P(X＝0)＝C05＝.
P(X＝1)＝C14＝.
P(X＝2)＝C23＝.
P(X＝3)＝C32＝.
P(X＝4)＝C41＝.
P(X＝5)＝C5＝.
所以分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P







反思与感悟　1.本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2.解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2…n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.
跟踪训练2　袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的分布列.
解　取到黑球数X的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为，
那么P(X＝0)＝C0·3＝，
P(X＝1)＝C·2＝，
P(X＝2)＝C2·＝，
P(X＝3)＝C3·0＝.
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





类型三　二项分布的综合应用
例3　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
解　(1)ξ～B，ξ分布列为
P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k·，k＝0,1,2,3,4；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P







(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
＝1－5＝.
反思与感悟　对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.
跟踪训练3　现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列.
解　依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i个人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci4－i.
(1)这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率为
P(A2)＝C22＝.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C4＝.
所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4，由于A1与A3互斥，
A0与A4互斥，
故P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
2
4
P





1.若随机变量X～B，则P(X＝2)＝(　　)
A.2×3 B.2×3
C.C23 D.C2×3
答案　D
解析　∵随机变量X～B，
∴P(X＝2)＝C2×3.
2.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设此射手的命中概率为x，则不能命中的概率为1－x，由题意知4次射击全部没有命中目标的概率为1－＝.有(1－x)4＝.
解得：x＝.
3.下列说法正确的是________.
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
答案　①②
解析　①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义.
4.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________.
答案　
解析　正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P＝C6＋C6＋C6＝.

1.独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
2.如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk·(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式.

一、选择题
1.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)
A.0.648 B.0.432
C.0.36 D.0.312
答案　A
解析　根据独立重复试验公式，得该同学通过测试的概率为C0.62×0.4＋0.63＝0.648.
2.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B，则P(ξ≤3)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)
＝C×6＋C·6＋C·6＋C·6＝.
3.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)
A. B.3×
C.× D.C×3×
答案　B
解析　由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球.故其概率为3×.
4.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为(　　)
A.C3× B.C2×
C.C3× D.C3×
答案　A
解析　在一次比赛中甲获胜的概率为，输的概率为.
由题意知，甲队打完4局才胜，则第4局甲必胜，前3局中有2局甲胜，故甲队打完4局才胜的概率为C3×.
5.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)
A.5 B.C×5
C.C×3 D.C×C×5
答案　B
解析　如图，由题可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率.所求概率为P＝C×2×3＝C×5.故选B.

6.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，an＝，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为(　　)
A.C×2×5
B.C×2×5
C.C×2×5
D.C×2×2
答案　B
解析　由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则S7＝3的概率为C×2×5，故选B.
二、填空题
7.已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1 000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________.(已知0.9991 000≈0.367 70,0.999999≈0.368 06，精确到0.000 1)
答案　0.632 3　0.368 1
解析　设发生车祸的车辆数为X，则X～B(1 000,0.001)
(1)记事件A：“公路上发生车祸”，则P(A)＝1－P(X＝0)＝1－0.9991 000≈1－0.367 70＝0.632 3.
(2)恰好发生一次车祸的概率为
P(X＝1)＝C×0.001×0.999999≈0.368 06≈0.368 1.
8.设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥1)＝________.
答案　
解析　P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝.
即(1－p)2＝，解得p＝，
故P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－(1－p)4
＝1－4＝.
9.一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X，则P(X＝5)＝________.
答案　
解析　X＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球.
则P(X＝5)＝C2×2×＝.
10.张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟.假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为_____.
答案　
解析　如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P＝1－4＝.
三、解答题
11.在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且只须在其中选做一题.设4名考生选做每一道题的概率均为.
(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的分布列.
解　(1)设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，
则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB＋ ”，且事件A、B相互独立.
故(AB＋ )
＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，
且ξ～B，
则P(ξ＝k)＝Ck4－k＝C4(k＝0,1,2,3,4).
故变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P






12.某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立.(1)求某应聘人员被录用的概率.
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列.
解　设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，
因为P(A)＝×＝，
P(B)＝2××＝，
P(C)＝，
所以P(D)＝P(A∪BC)
＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，
且X～B.
Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝ 0,1,2，3,4)，
因为P(A0)＝C×4＝，
P(A1)＝C××3＝，
P(A2)＝C×2×2＝，
P(A3)＝C×3×＝，
P(A4)＝C×4×0＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





13.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击.问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
解　设A＝{甲射击一次击中目标}，B＝{乙射击一次击中目标}，则A、B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)设C＝{甲射击4次，至少有1次未击中目标}，
则P(C)＝1－4＝.
(2)设D＝{两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次}，
∴P(D)＝C·2·2·C·3·＝.
(3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4、5次未击中目标，第3次击中目标，第1、2两次至多一次未击中目标，故所求概率P＝··2＝.