2020届二轮复习等差等比数列学案（全国通用）
展开培优点十 等差、等比数列
1．等差数列的性质
例1：已知数列，为等差数列，若，，则_______
【答案】
【解析】∵，为等差数列，∴也为等差数列，
∴，∴．
2．等比数列的性质
例2：已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】与条件联系，可将所求表达式向，靠拢，
从而，
即所求表达式的值为．故选C．
3．等差、等比综合
例3：设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，
则有（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】抓住，和，的序数和与，的关系，从而以此为入手点．
由等差数列性质出发，，，
因为，而为等比数列，联想到与有关，
所以利用均值不等式可得：；
（故，均值不等式等号不成立）
所以．即．故选B．
一、单选题
1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ）
A．6斤 B．7斤 C．8斤 D．9斤
【答案】D
【解析】原问题等价于等差数列中，已知，，求的值．
由等差数列的性质可知：，，
则，即中间三尺共重9斤．故选D．
2．设为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．66 B．68 C．77 D．84
【答案】C
【解析】根据等差数列的求和公式，，化简得，
根据等差数列通项公式得，解方程组得，
．故选C．
3．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，当时，，故当时，，
∵数列是等比数列，则，故；解得．故选C．
4．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．140 B．70 C．154 D．77
【答案】D
【解析】等差数列的前项和为，，
∴．故选D．
5．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（ ）
A． B． C．1或 D．或
【答案】C
【解析】由题意知：，∴，即，
∴或．故选C．
6．公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ）
A． B．0 C．5 D．7
【答案】A
【解析】设的公比为，由，，成等差数列，可得，
若，可得，解得，
则，故选A．
7．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．
【答案】B
【解析】由等比数列的性质结合题意可知：，
且，
据此结合对数的运算法则可得：
．故选B．
8．设公差为的等差数列，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由两式的性质可知：，
则．故选D．
9．已知等差数列的前项和为，且，则数列的第三项为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为d，
∵，∴，∴．故选C．
10．等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．27 B．36 C．45 D．66
【答案】D
【解析】∵，∴，∴，∴，故选D．
11．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最大值
【答案】C
【解析】设等比数列，是其前项的积，所以，
由此，，
所以，所以B正确，
由，各项为正数的等比数列，可知，所以A正确，
，可知，
由，所以单调递减，在，7时取最小值，
所以在，7时取最大值，所以D正确．故选C．
12．定义函数如下表，数列满足，，若，则（ ）
A．7042 B．7058 C．7063 D．7262
【答案】C
【解析】由题设知，，，，，，
∵，，，
∴，，，，
，，……，
∴是周期为6的周期数列，
∵，
∴，故选C．
二、填空题
13．已知等差数列，若，则________
【答案】4
【解析】∵，∴，∴，
∴，∴．故答案为4．
14．已知等比数列的前项和为，若公比，且，则的值是___________．
【答案】15
【解析】已知，则，
又代入得；∴．
15．设是等差数列的前项和，若，则_______．
【答案】2
【解析】，又，代入得．
16．在等差数列中，，则的值是_______．
【答案】20
【解析】根据等差数列性质，所以，
根据等差数列性质，．
三、解答题
17．已知数列中，，．
（1）求；
（2）若，求数列的前5项的和．
【答案】（1）；（2）77．
【解析】（1），，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，；
（2），
．
18．设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为．
已知，，，．
（1）求和；
（2）若，求正整数的值．
【答案】（1），；（2）4．
【解析】（1）设等比数列的公比为，由，，可得．
因为，可得，故．所以．
设等差数列的公差为．
由，可得．
由得，从而，，
故，所以．
（2）由（1），有．
由，可得，
整理得，解得（舍），或．
所以的值为4．
