2020届二轮复习二次函数与幂函数学案（全国通用）

二次函数与幂函数

【考纲要求】

1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。

2.幂函数

(1)了解幂函数的概念．

(2)结合函数的图象，了解它们的图象的变化情况．

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、初中学过的函数

（一）函数的图象与性质

要点诠释：

1.过原点的直线的方程,图象,性质；

2.函数的最高次项的系数能否为零。

（二）二次函数的最值

1.二次函数有以下三种解析式：

一般式：（），

顶点式：（），其中顶点为，对称轴为直线，

零点式：（），其中是方程的根

2. 二次函数（）在区间上的最值：

二次函数（）在区间上的最大值为M，最小值为m，令.

     （1）               （2）               （3）                （4）

（1）若，则，；

（2）若，则，；

（3）若，则，；

（4）若，则，.

要点诠释：

1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值；

2. 求二次函数的最值一般要数形结合。

考点二、幂的运算

 (1)，，；

(2)，，。

考点三、幂函数的图象与性质

1.幂函数在第一象限的图象特征

2.幂函数性质：

（1），图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如；

（2），图象过（0，0）、（1，1），上凸递增，如；

（3），图象过（1，1），单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如

要点诠释：幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。

【典型例题】

类型一：基本函数的解析式

例1．已知二次函数满足，且图像在轴上截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式.

【解析】

【方法一】设（），

则，且对称轴，即，

∴，

∵ ， ∴

∴

【方法二】∵，∴二次函数的图象的对称轴为，

可设所求函数为（），

∵截轴上的弦长为， ∴的图像过点和，

∴，即                 （1）

又∵的图像过点，  ∴                （2）

（1）（2）联立，解得，，

∴，即.

【方法三】∵的图象对称轴， 又,

∴与轴的交点为和，

故可设（），

由可得 .

∴，即.

【总结升华】二次函数的形式有以下三种：

（1）一般形式：（），

（2）顶点式（或称配方式）（），

（3）零点式（或称双根式）（），（前提：有根）

对一个具体二次函数，三种形式的系数都具有具体的意义，在分析具体问题时，要充分挖掘题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算，简捷处理问题。

举一反三：

【变式】已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式

【答案】∵二次函数的对称轴为，可设所求函数为，

又∵截轴上的弦长为，∴过点和，

又过点，

∴，解得，

∴，即.

类型二：函数的图象和性质

例2. 下图是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则、、、与1的大小关系是（   ）

A.  B.  C.  D.

【解析】可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较、的大小，从（1）（2）中比较、的大小.

【答案】B

【总结升华】可以依据函数系的性质和图象变化解答，但作为选择题更多地利用特殊点解决.

举一反三：

【变式】

（1）下图的曲线是对数函数图象，已知的取值为10，2，0.6，0.25，则曲线对应的的值依次为                        ；

（2）如图是幂函数在第一象限内的图象，已知取，则曲线对应的的值依次为                        ；

【答案】

（1）依据对数函数的图象中的特殊点，如图，令，

由图知点、、、的左右位置关系，有，

∴相对应的曲线的值依次为2、10、0.25、0.6.

（2）依据幂函数在第一象限内的图象特征，如图，令，

由图知点、、、的上下位置关系，有

，

∴相对于曲线的依次为、、、.

类型三：比较大小

例3.  比较 ， ，这三个数的大小关系．

【解析】比较式子的结构，依据其异同点选用不同的函数，结合函数的单调性或数形结合比较大小。

【方法一】考察函数，由于该函数是单调递减函数，故 ．

考察函数，由于该函数在第一象限是单调递增函数，故

∴ ， ，这三个数的大小关系是：

【方法一】考察函数，由于该函数是单调减函数，故

考察函数与函数，根据指数函数图象的分布规律知，

在第一象限时的图象位于的图象的上方，

从而当自变量都取时，。

∴ ， ，这三个数的大小关系是：

【总结升华】大小比较是此处常见的一类考题。通常都是构想函数运用函数性质来解决，通常两个同指的幂式比较就构想幂函数，同底的就构想指数函数，若混合比较即插入对数式或底指皆不同的幂式就用搭桥的办法，常用搭桥的思路有选0或选1或根据具体情况构作。

举一反三：

【变式】

（1）设，且（，），则与的大小关系是（   ）

      A.        B.         C.       D.

(2) 若，则，，从小到大依次为    ；

【答案】

（1）取，知选。

 (2) ；

 【方法一】由得，故.

【方法二】令，可得，故.

类型四：最值问题

例4.求函数（)的最值.

【解析】令, 则,

开口向上，对称轴

 ∵,∴ , 即

∵，

∴时，；时，；时，；

∴时，；

时，.

【总结升华】

1. 基本函数的最值问题一般都利用函数的单调性，并数形结合解决之；

2. 形如(,且)的函数，可以转化为二次函数，但应注意的取值范围.

举一反三：

【变式】已知，，求的最值。

【答案】由已知得，

∵，∴即，

∵对称轴，

∴当时，；当时，；当时，；

∴当时，取得最小值；

当时，取得最大值16.

例5. （2017浙江卷）已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（   ）

A.充分不必要条件                B.必要不充分条件

C.充分必要条件                D.既不充分也不必要条件

A   由题意知，最小值为.

令，则，

当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；

当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．

【总结升华】二次函数最值问题采用配方法，数形结合。同时解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．