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2020届二轮复习函数与基本初等函数（二）学案（全国通用）
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年 级： 辅导科目：数学 课时数：3
课 题
函数与基本初等函数（二）
教学目的
教学内容
第三节 函数的奇偶性
（一）高考目标
考纲解读
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；
2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性．
考向预测
1．函数的奇偶性是函数的一个重要性质，为高考中的必考知识点．
2．常与函数的概念、图像、单调性、对称性等综合考查．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．函数的奇偶性
图像关于原点对称的函数叫作 奇函数f(x)满足
图像关于y轴对称的函数叫作 偶函数f(x)满足
当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有
（三）基础自测
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )
A．y＝－x3，x∈R B．y＝sinx，x∈R
C．y＝x，x∈R D．y＝x，x∈R
[答案] A
[解析] y＝sinx在R上不单调，y＝x不是奇函数，y＝x为增函数，故B、C、D均错．
2．(教材改编题)下面四个结论中，正确命题的个数是( )
①偶函数的图像一定与y轴相交；
②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0；
③偶函数的图像关于y轴对称；
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] A
[解析] ①错误，如函数f(x)＝是偶函数，但其图像与y轴没有交点；②错误，因为奇函数的定义域可能不包
含x＝0；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．
3．(2018·上海宝山模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则( )
A．a＝，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝3，b＝0
[答案] A
[解析] 由f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0.又定义域为[a－1,2a]，∴(a－1)＋2a＝0，∴a＝.
4． (2009·重庆理)若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝______.
[答案]
[解析] 考查函数的奇偶性．
∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，即＋a＝－－a，∴a＝.
（四）典型例题
1.命题方向：奇偶性的判定
[例1] 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝(x－1)； (2)f(x)＝；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝＋；
(5)f(x)＝x2－|x－a|＋2.
[解析] (1)由≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f(x)＝＝－，
∵f(－x)＝－＝＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．
(3)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)
当x>0时，－x<0则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)
∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
另解：1°画函数f(x)＝的图像．图像关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
2°f(x)还可写成f(x)＝x2－|x|，故为偶函数．
(4)由得x＝－或x＝ ∴函数f(x)的定义域为{－，}
又∵对任意的x∈{－，}，f(x)＝0. ∴f(－x)＝f(x)＝－f(x)
(5)函数f(x)的定义域为R
当a＝0时 f(x)＝f(－x) ∴f(x)是偶函数
当a≠0时 f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2
f(a)≠f(－a) 且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2)＝2(|a|－)2＋≠0
∴f(x)是非奇非偶函数．
[点评] 第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图像判断．
跟踪练习1
判断函数f(x)＝的奇偶性．
[解析] 由题意知解得－4≤x<0或0
∵f(x)＝＝，
∴f(－x)＝＝－＝－f(x)．∴f(x)是奇函数.
2.命题方向：奇偶性的应用
[例2] 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a、b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
即＝0，∴b＝1.∴f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，∴a＝2.
(2)解法1：由(1)知f(x)＝＝－＋.易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
解法2：由(1)知f(x)＝，又由题设条件得
＋<0，
即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)·(－22t2－k＋1)<0.
整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0.
上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
跟踪练习2
已知函数f(x)＝1－(a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝0.
即1－＝0，解得a＝2.
(2)∵y＝，∴2x＝，
由2x>0知>0，∴－1
即：(2x)2－(t＋1)·2x＋t－2≤0.设2x＝u，
∵x∈(0,1]，∴u∈(1,2]．
∵u∈(1,2]时u2－(t＋1)·u＋t－2≤0恒成立．
∴，解得t≥0.
（五）思想方法点拨
1．判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数y＝x2(x∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此，
一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称．
★函数奇偶性的判定方法：
(1)定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数．
第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断．
即若有：f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0或f(x)－f(－x)＝2f(x)或f(x)·f(－x)＝－f 2(x)或f(x)/f(－x)＝－1为奇函数．
若有f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0或f(x)＋f(－x)＝2f(x)或f(x)·f(－x)＝f 2(x)或f(x)/f(－x)＝1为偶函数．
(2)图像法：利用“奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称”来判断．
(3)复合函数奇偶性的判断
若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．
(4)性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．利用上述结论时要注意函数的定义域是各个函数定义域的交集．
★函数奇偶性的应用
(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．
抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．
(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性，求参数．常常采用待定系数法
利用关系式f(x)±f(－x)＝0产生关于x的恒等式，利用对应项系数相等求得字母的值．
2．运用奇、偶函数的性质及其单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反，且f(x)＝f(－x)＝f(|x|)。
（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2010·重庆理)函数f(x)＝的图像( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
[答案] D
[解析] ∵f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)
∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称．
2．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，如果x1<0，x2>0，且|x1|<|x2|，则有( )
A．f(－x1)＋f(－x2)>0 B．f(x1)＋f(x2)<0 C．f(－x1)－f(－x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
[答案] D
[解析] ∵x1<0，x2>0，|x1|<|x2|，∴0<－x1
3．(2009·辽宁理)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)
[答案] A
[解析] 考查偶函数的性质及含绝对值号不等式的解法．
由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒
A．3 B．1 C．－1 D．－3
[答案] D
[解析] ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
即0＝20＋b，∴b＝－1，
故f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
5．已知定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数，且x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．以上都有可能
[答案] A
[解析] 由x1＋x2＜0，得x1＜－x2.
又f(x)为减函数，∴f(x1)＞f(－x2)，
又f(x)为R上的奇函数，∴f(x1)＞－f(x2)．
∴f(x1)＋f(x2)＞0.
同理f(x2)＋f(x3)＞0，f(x1)＋f(x3)＞0，
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0.
6．若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)
[解析] 由题意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝，g(x)＝－，g(0)＝－1，函数f(x)＝在R上是增函数，且f(3)>f(2)＝>0，
因此g(0)
7．若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
[答案] k＝±1
[解析] 解法1 若定义域中包含0，则f(0)＝0，解得k＝1；若定义域中不包含0，则k＝－1，验证得此时f(x)也是奇函数．
解法2 由f(－x)＋f(x)＝0恒成立，解得k＝±1.
[点评] 解此题时，容易受习惯影响漏掉k＝－1.熟悉的地方也有盲点，知识不全面、平时练习偷懒、保量不保质、解题后不注意反思，是面对“意外”题型无法应对的真正原因．
8．已知函数y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x＋，且当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是________．
[分析] 该题综合考查了函数的性质(单调性和奇偶性)，要求考生有一定的分析能力．
[答案] 1
[解析] 因为函数f(x)＝x＋在(0,2)上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数，则当x∈[1,3]时，4≤f(x)≤5.又函数y＝f(x)为偶函数，故当x∈[－3，－1]时，4≤f(x)≤5，则m－n的最小值是1.
第四节 幂函数
（一）高考目标
考纲解读
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，， 的图像，了解它们的变化情况．
考向预测
1．常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图像与性质．
2．多以小题形式出现，常与函数性质、二次函数、方程、不等式交汇命题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．幂函数概念
形如 (a∈R)的函数称为幂函数，其中x是 ，a为 ．
2．幂函数的图像
(以y＝x，， 为例)．
3．幂函数的图像和性质
(1)所有的幂函数在 都有定义，并且图像都过点 ．
(2 a)>0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是 ．
(3) a <0时幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是 ．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近 ，当x趋于＋∞时，图像在x轴上方无限地逼近 ．
(4)当α为奇数时，幂函数为 ；当α为偶数时，幂函数为 ．
4．这5个具体幂函数的性质
函数特征性质
y＝x
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
在第一象限单调性
在第一象限单调递增
在第一象限单调递增
在第一象限单调递增
在第一象限单调递增
在第一象限单调递减
定点
(0,0) (1,1)
(0,0) (1,1)
(0,0) (1,1)
(0,0) (1,1)
(1,1)
（三）基础自测
1．(教材改编题)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 依据幂函数的定义，y＝2x2的系数不是1，y＝x2＋x是两个函数的和的形式，y＝1也不同于y＝x0(x≠0)，因此这三个都不是幂函数，只有y＝符合．
2．(2010·陕西宝鸡期末)函数 是 ( )
A．奇函数，并且在(0，＋∞)上为增函数
B．偶函数，并且在(－∞，0)上为减函数
C．奇函数，并且在(0，＋∞)上为减函数
D．偶函数，并且在(－∞，0)上为增函数
[答案] B
[解析] ＝，x∈R，且满足f(－x)＝f(x)，故为偶函数．又>0，所以在第一象限内的图像是单调递增，因此在(－∞，0)上为减函数
3.下列各组函数中，定义域相同的是（ ）
A. 与 B. 与
C．与 D. 与
[答案] B
[解析]选项A中，y=中x＞0,y=中xR;选项C，y= 中x 0, y= 中，xR，选项D中， y=中X≠0，而中x＞0，故选B.
4．下列命题：
①幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图像不可能在第四象限；
③n＝0时，函数y＝xn的图像是一条直线；
④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；
⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小
其中正确的是 ( )
A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤
[答案] D
[解析] y＝xα在α<0时，图像不过(0,0)，故①错，n＝0时，y＝x0表示除去(0,1)点的直线，故③错；y＝xn，在n>0时是增函数没有指明单调区间，如y＝ 在(－∞，0)上是增函数是错误的，由幂函数的图像性质知②⑤正确
5．已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是__________函数(填“奇”或“偶”)．
[答案] 奇
[解析]设f(x)= ,则=，即=，故a=-3.因此，故f(x)是奇函数。
（四）典型例题
1.命题方向：幂函数的定义
[例1] 已知f(x)＝(m2＋2m) ，m为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数？(2)反比例函数？
(3)二次函数？(4)幂函数？
(5)在(4)的条件下，满足在(0，＋∞)上单调递增？
[分析] (1)(2)(3)(4)分别用相应函数的定义来确定m的值，(5)中则需考查幂函数的性质与幂指数之间的关系
[解析] (1)若f(x)为正比例函数，则
⇒m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则⇒m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
⇒m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1.∴m＝－1±.
(5)由(4)得m＝－1±.
当m＝－1＋时，m2＋m－1＝1－，f(x)＝x1－在(0，＋∞)上单调递减，不合题意；
当m＝－1－时，m2＋m－1＝1＋，f(x)＝x1＋在(0，＋∞)上单调递增．
综上，m＝－1－.
[点评] 本题考查各种函数的概念，需要根据相应函数的定义列出等式或不等式，并结合函数性质求出参数的值，同时分清哪种条件下的函数是幂函数．
跟踪练习1
如果幂函数y＝(m2－3m＋3) 的图像不过原点，则m的取值是 ( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1 C．m＝2 D．m＝1或m＝2
[答案] D
[解析] 由幂函数的定义，m2－3m＋3＝1，所以m＝1或m＝2.又图像不过原点，所以m2－m－2≤0，
解得－1≤m≤2.综上，m＝1或m＝2.
2.命题方向：幂函数的图像及其应用
[例2] 点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)问当x取何值时有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)
[解析] (1)设f(x)＝xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图像上，将(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，
解得a＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xb，因为点在幂函数g(x)的图像上，将代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图像，
由f(x)＝g(x)得x＝±1.
由图像可知：
①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1
(1)设出幂函数的一般形式y＝xα(α为常数)；
(2)根据已知条件求出α的值；
(3)写出幂函数的解析式．
跟踪练习2
已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像与x轴、y轴均无公共点，且关于y轴对称，试确定f(x)的解析式
[解析] 由是偶数，
得m＝－1或1或3.
当m＝－1或3时，解析式为f(x)＝x0(x≠0)；
当m＝1时，解析式为f(x)＝x－4.
3.命题方向：幂函数性质的应用
[例2]比较下列各组值的大小：
（1）和
(2) 、和
（3）和
[分析] 比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值．
[解析]（1）-=
由于幂函数在上是减函数，所以＞，因此 ＜，即＜-
（2）由于＞1,0＜＜1，,0，因此＞＞.
(3)由于指数函数在R上是减函数，所以＜。又由于幂函数在上是增函数，所以＜，故有＜.
跟踪练习3
当0﹤a﹤b﹤1时，下列不等式正确的是（ ）
[答案] D
[解析] 由0
∴(1－a)b<(1－a)a，
∴(1－a)a>(1－b)b.
（五）思想方法点拨
幂函数性质的理解
1．当α>0时，幂函数y＝xα有下列性质：
①图像都过点(0,0)(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
③在第一象限内，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展．
2．当α<0时，幂函数y＝xα有下列性质：
①图像都通过点(1,1)；
②在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；
③在第一象限内，过(1,1)点后，|α|越大，图像下落的速度越快．
3．(1)幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数．
(2)作函数y＝xα的图像时，一般依据上述性质作出第一象限的图像，而后依据函数的奇偶性作出x<0的图像即可．
(3)幂函数的图像无论α取何实数，其必经过第一象限，且一定不不经过第四象限．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．如图所示函数图像中，表示的是( )
[答案] D
[解析] 因为∈(0,1)，所以的图像是抛物线型，且在第一象限图像上凸，又函数是偶函数，故图像应为D.
2．(2018·中山模拟)给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，下列函数中不满足任何一个等式的是( )
A．f(x)＝3x B．f(x)＝xα C．f(x)＝log2x D．f(x)＝kx(k≠0)
[答案] B
[解析] f(x)＝3x满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)；f(x)＝log2x满足f(xy)＝f(x)＋f(y)；f(x)＝kx满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
而f(x)＝xα不满足任何一个等式．
3．函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数且在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值为( )
A．－1或2 B. C．2 D．－1
[答案] C
[解析] 因为y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数且在(0，＋∞)上是减函数，
所以解得m＝2.
4．设n∈，则使得f(x)＝xn为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的n的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 只有当n＝－1时，f(x)＝xn为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减．
5．(2010·安徽文)设，，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
[答案] A
[解析] 该题考查幂函数和指数函数的性质．
对b和c，考查指数函数y＝()x，单调递减．故＜，即b
∴a>c>b，故选A.
6．若集合A＝{y︳，－1≤x≤1}，B＝，则A∩B＝( )
A．(－∞，1) B．[－1,1] C．∅ D．{1}
[答案] D
[解析] 在－1≤x≤1时，有－1≤y≤1；y＝x，在x≤0时，有y≥1，∴A∩B＝{1}．
7．(文)(09·山东)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[答案] C
[解析] 原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题是假命题，故否命题也为假．所以真命题个数为1.
(理)函数 (n∈N且n>9)的图像可能是( )
[答案] C
[解析] ∵f(－x)＝==f(x)，∴函数为偶函数，图像关于y轴对称，故排除A、B.令n＝18，则y＝，当x≥0时，y＝，由其在第一象限的图像知选C.
8．把函数f(x)＝x3－3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2，若对任意u>0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3(x2－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.
∴x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上为增函数；
x∈(－1,1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1,1)上为减函数；
x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)极大值＝f(－1)＝2，f(x)极小值＝f(1)＝－2.
图像C2是由图像C1向右平移u个单位长度，向下平移v个单位长度所得到．当图像C2的极大值点与C1的极小值点重合时，v有最小值，如图所示，即v的最小值为4.
二、填空题
9．(2018·南通模拟)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝________.
[答案]
[解析] f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，由幂函数f(x)的图像过点，得α＝，则k＋α＝.
10．若，则它们的大小关系是________．
[答案] c
[答案] [0,1)
[解析] 结合幂函数y＝xα在第一象限的图像，当0<α<1时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数，且x∈(0,1)时，图像在y＝x上方，x∈(1，＋∞)时，图像在y＝x下方；
又p＝0时，y＝x0＝1(x≠0)也满足．
故p的取值范围是0≤p<1.
年 级： 辅导科目：数学 课时数：3
课 题
函数与基本初等函数（二）
教学目的
教学内容
第三节 函数的奇偶性
（一）高考目标
考纲解读
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；
2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性．
考向预测
1．函数的奇偶性是函数的一个重要性质，为高考中的必考知识点．
2．常与函数的概念、图像、单调性、对称性等综合考查．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．函数的奇偶性
图像关于原点对称的函数叫作 奇函数f(x)满足
图像关于y轴对称的函数叫作 偶函数f(x)满足
当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有
（三）基础自测
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )
A．y＝－x3，x∈R B．y＝sinx，x∈R
C．y＝x，x∈R D．y＝x，x∈R
[答案] A
[解析] y＝sinx在R上不单调，y＝x不是奇函数，y＝x为增函数，故B、C、D均错．
2．(教材改编题)下面四个结论中，正确命题的个数是( )
①偶函数的图像一定与y轴相交；
②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0；
③偶函数的图像关于y轴对称；
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] A
[解析] ①错误，如函数f(x)＝是偶函数，但其图像与y轴没有交点；②错误，因为奇函数的定义域可能不包
含x＝0；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．
3．(2018·上海宝山模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则( )
A．a＝，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝3，b＝0
[答案] A
[解析] 由f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0.又定义域为[a－1,2a]，∴(a－1)＋2a＝0，∴a＝.
4． (2009·重庆理)若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝______.
[答案]
[解析] 考查函数的奇偶性．
∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，即＋a＝－－a，∴a＝.
（四）典型例题
1.命题方向：奇偶性的判定
[例1] 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝(x－1)； (2)f(x)＝；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝＋；
(5)f(x)＝x2－|x－a|＋2.
[解析] (1)由≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f(x)＝＝－，
∵f(－x)＝－＝＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．
(3)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)
当x>0时，－x<0则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)
∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
另解：1°画函数f(x)＝的图像．图像关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
2°f(x)还可写成f(x)＝x2－|x|，故为偶函数．
(4)由得x＝－或x＝ ∴函数f(x)的定义域为{－，}
又∵对任意的x∈{－，}，f(x)＝0. ∴f(－x)＝f(x)＝－f(x)
(5)函数f(x)的定义域为R
当a＝0时 f(x)＝f(－x) ∴f(x)是偶函数
当a≠0时 f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2
f(a)≠f(－a) 且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2)＝2(|a|－)2＋≠0
∴f(x)是非奇非偶函数．
[点评] 第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图像判断．
跟踪练习1
判断函数f(x)＝的奇偶性．
[解析] 由题意知解得－4≤x<0或0
∵f(x)＝＝，
∴f(－x)＝＝－＝－f(x)．∴f(x)是奇函数.
2.命题方向：奇偶性的应用
[例2] 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a、b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
即＝0，∴b＝1.∴f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，∴a＝2.
(2)解法1：由(1)知f(x)＝＝－＋.易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
解法2：由(1)知f(x)＝，又由题设条件得
＋<0，
即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)·(－22t2－k＋1)<0.
整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0.
上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
跟踪练习2
已知函数f(x)＝1－(a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝0.
即1－＝0，解得a＝2.
(2)∵y＝，∴2x＝，
由2x>0知>0，∴－1
即：(2x)2－(t＋1)·2x＋t－2≤0.设2x＝u，
∵x∈(0,1]，∴u∈(1,2]．
∵u∈(1,2]时u2－(t＋1)·u＋t－2≤0恒成立．
∴，解得t≥0.
（五）思想方法点拨
1．判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数y＝x2(x∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此，
一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称．
★函数奇偶性的判定方法：
(1)定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数．
第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断．
即若有：f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0或f(x)－f(－x)＝2f(x)或f(x)·f(－x)＝－f 2(x)或f(x)/f(－x)＝－1为奇函数．
若有f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0或f(x)＋f(－x)＝2f(x)或f(x)·f(－x)＝f 2(x)或f(x)/f(－x)＝1为偶函数．
(2)图像法：利用“奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称”来判断．
(3)复合函数奇偶性的判断
若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．
(4)性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．利用上述结论时要注意函数的定义域是各个函数定义域的交集．
★函数奇偶性的应用
(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．
抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．
(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性，求参数．常常采用待定系数法
利用关系式f(x)±f(－x)＝0产生关于x的恒等式，利用对应项系数相等求得字母的值．
2．运用奇、偶函数的性质及其单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反，且f(x)＝f(－x)＝f(|x|)。
（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2010·重庆理)函数f(x)＝的图像( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
[答案] D
[解析] ∵f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)
∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称．
2．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，如果x1<0，x2>0，且|x1|<|x2|，则有( )
A．f(－x1)＋f(－x2)>0 B．f(x1)＋f(x2)<0 C．f(－x1)－f(－x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
[答案] D
[解析] ∵x1<0，x2>0，|x1|<|x2|，∴0<－x1
3．(2009·辽宁理)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)
[答案] A
[解析] 考查偶函数的性质及含绝对值号不等式的解法．
由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒
A．3 B．1 C．－1 D．－3
[答案] D
[解析] ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
即0＝20＋b，∴b＝－1，
故f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
5．已知定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数，且x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．以上都有可能
[答案] A
[解析] 由x1＋x2＜0，得x1＜－x2.
又f(x)为减函数，∴f(x1)＞f(－x2)，
又f(x)为R上的奇函数，∴f(x1)＞－f(x2)．
∴f(x1)＋f(x2)＞0.
同理f(x2)＋f(x3)＞0，f(x1)＋f(x3)＞0，
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0.
6．若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)
[解析] 由题意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝，g(x)＝－，g(0)＝－1，函数f(x)＝在R上是增函数，且f(3)>f(2)＝>0，
因此g(0)
7．若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
[答案] k＝±1
[解析] 解法1 若定义域中包含0，则f(0)＝0，解得k＝1；若定义域中不包含0，则k＝－1，验证得此时f(x)也是奇函数．
解法2 由f(－x)＋f(x)＝0恒成立，解得k＝±1.
[点评] 解此题时，容易受习惯影响漏掉k＝－1.熟悉的地方也有盲点，知识不全面、平时练习偷懒、保量不保质、解题后不注意反思，是面对“意外”题型无法应对的真正原因．
8．已知函数y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x＋，且当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是________．
[分析] 该题综合考查了函数的性质(单调性和奇偶性)，要求考生有一定的分析能力．
[答案] 1
[解析] 因为函数f(x)＝x＋在(0,2)上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数，则当x∈[1,3]时，4≤f(x)≤5.又函数y＝f(x)为偶函数，故当x∈[－3，－1]时，4≤f(x)≤5，则m－n的最小值是1.
第四节 幂函数
（一）高考目标
考纲解读
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，， 的图像，了解它们的变化情况．
考向预测
1．常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图像与性质．
2．多以小题形式出现，常与函数性质、二次函数、方程、不等式交汇命题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．幂函数概念
形如 (a∈R)的函数称为幂函数，其中x是 ，a为 ．
2．幂函数的图像
(以y＝x，， 为例)．
3．幂函数的图像和性质
(1)所有的幂函数在 都有定义，并且图像都过点 ．
(2 a)>0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是 ．
(3) a <0时幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是 ．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近 ，当x趋于＋∞时，图像在x轴上方无限地逼近 ．
(4)当α为奇数时，幂函数为 ；当α为偶数时，幂函数为 ．
4．这5个具体幂函数的性质
函数特征性质
y＝x
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
在第一象限单调性
在第一象限单调递增
在第一象限单调递增
在第一象限单调递增
在第一象限单调递增
在第一象限单调递减
定点
(0,0) (1,1)
(0,0) (1,1)
(0,0) (1,1)
(0,0) (1,1)
(1,1)
（三）基础自测
1．(教材改编题)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 依据幂函数的定义，y＝2x2的系数不是1，y＝x2＋x是两个函数的和的形式，y＝1也不同于y＝x0(x≠0)，因此这三个都不是幂函数，只有y＝符合．
2．(2010·陕西宝鸡期末)函数 是 ( )
A．奇函数，并且在(0，＋∞)上为增函数
B．偶函数，并且在(－∞，0)上为减函数
C．奇函数，并且在(0，＋∞)上为减函数
D．偶函数，并且在(－∞，0)上为增函数
[答案] B
[解析] ＝，x∈R，且满足f(－x)＝f(x)，故为偶函数．又>0，所以在第一象限内的图像是单调递增，因此在(－∞，0)上为减函数
3.下列各组函数中，定义域相同的是（ ）
A. 与 B. 与
C．与 D. 与
[答案] B
[解析]选项A中，y=中x＞0,y=中xR;选项C，y= 中x 0, y= 中，xR，选项D中， y=中X≠0，而中x＞0，故选B.
4．下列命题：
①幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图像不可能在第四象限；
③n＝0时，函数y＝xn的图像是一条直线；
④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；
⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小
其中正确的是 ( )
A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤
[答案] D
[解析] y＝xα在α<0时，图像不过(0,0)，故①错，n＝0时，y＝x0表示除去(0,1)点的直线，故③错；y＝xn，在n>0时是增函数没有指明单调区间，如y＝ 在(－∞，0)上是增函数是错误的，由幂函数的图像性质知②⑤正确
5．已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是__________函数(填“奇”或“偶”)．
[答案] 奇
[解析]设f(x)= ,则=，即=，故a=-3.因此，故f(x)是奇函数。
（四）典型例题
1.命题方向：幂函数的定义
[例1] 已知f(x)＝(m2＋2m) ，m为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数？(2)反比例函数？
(3)二次函数？(4)幂函数？
(5)在(4)的条件下，满足在(0，＋∞)上单调递增？
[分析] (1)(2)(3)(4)分别用相应函数的定义来确定m的值，(5)中则需考查幂函数的性质与幂指数之间的关系
[解析] (1)若f(x)为正比例函数，则
⇒m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则⇒m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
⇒m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1.∴m＝－1±.
(5)由(4)得m＝－1±.
当m＝－1＋时，m2＋m－1＝1－，f(x)＝x1－在(0，＋∞)上单调递减，不合题意；
当m＝－1－时，m2＋m－1＝1＋，f(x)＝x1＋在(0，＋∞)上单调递增．
综上，m＝－1－.
[点评] 本题考查各种函数的概念，需要根据相应函数的定义列出等式或不等式，并结合函数性质求出参数的值，同时分清哪种条件下的函数是幂函数．
跟踪练习1
如果幂函数y＝(m2－3m＋3) 的图像不过原点，则m的取值是 ( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1 C．m＝2 D．m＝1或m＝2
[答案] D
[解析] 由幂函数的定义，m2－3m＋3＝1，所以m＝1或m＝2.又图像不过原点，所以m2－m－2≤0，
解得－1≤m≤2.综上，m＝1或m＝2.
2.命题方向：幂函数的图像及其应用
[例2] 点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)问当x取何值时有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)
[解析] (1)设f(x)＝xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图像上，将(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，
解得a＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xb，因为点在幂函数g(x)的图像上，将代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图像，
由f(x)＝g(x)得x＝±1.
由图像可知：
①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1
(1)设出幂函数的一般形式y＝xα(α为常数)；
(2)根据已知条件求出α的值；
(3)写出幂函数的解析式．
跟踪练习2
已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像与x轴、y轴均无公共点，且关于y轴对称，试确定f(x)的解析式
[解析] 由是偶数，
得m＝－1或1或3.
当m＝－1或3时，解析式为f(x)＝x0(x≠0)；
当m＝1时，解析式为f(x)＝x－4.
3.命题方向：幂函数性质的应用
[例2]比较下列各组值的大小：
（1）和
(2) 、和
（3）和
[分析] 比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值．
[解析]（1）-=
由于幂函数在上是减函数，所以＞，因此 ＜，即＜-
（2）由于＞1,0＜＜1，,0，因此＞＞.
(3)由于指数函数在R上是减函数，所以＜。又由于幂函数在上是增函数，所以＜，故有＜.
跟踪练习3
当0﹤a﹤b﹤1时，下列不等式正确的是（ ）
[答案] D
[解析] 由0
∴(1－a)b<(1－a)a，
∴(1－a)a>(1－b)b.
（五）思想方法点拨
幂函数性质的理解
1．当α>0时，幂函数y＝xα有下列性质：
①图像都过点(0,0)(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
③在第一象限内，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展．
2．当α<0时，幂函数y＝xα有下列性质：
①图像都通过点(1,1)；
②在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；
③在第一象限内，过(1,1)点后，|α|越大，图像下落的速度越快．
3．(1)幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数．
(2)作函数y＝xα的图像时，一般依据上述性质作出第一象限的图像，而后依据函数的奇偶性作出x<0的图像即可．
(3)幂函数的图像无论α取何实数，其必经过第一象限，且一定不不经过第四象限．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．如图所示函数图像中，表示的是( )
[答案] D
[解析] 因为∈(0,1)，所以的图像是抛物线型，且在第一象限图像上凸，又函数是偶函数，故图像应为D.
2．(2018·中山模拟)给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，下列函数中不满足任何一个等式的是( )
A．f(x)＝3x B．f(x)＝xα C．f(x)＝log2x D．f(x)＝kx(k≠0)
[答案] B
[解析] f(x)＝3x满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)；f(x)＝log2x满足f(xy)＝f(x)＋f(y)；f(x)＝kx满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
而f(x)＝xα不满足任何一个等式．
3．函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数且在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值为( )
A．－1或2 B. C．2 D．－1
[答案] C
[解析] 因为y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数且在(0，＋∞)上是减函数，
所以解得m＝2.
4．设n∈，则使得f(x)＝xn为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的n的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 只有当n＝－1时，f(x)＝xn为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减．
5．(2010·安徽文)设，，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
[答案] A
[解析] 该题考查幂函数和指数函数的性质．
对b和c，考查指数函数y＝()x，单调递减．故＜，即b
∴a>c>b，故选A.
6．若集合A＝{y︳，－1≤x≤1}，B＝，则A∩B＝( )
A．(－∞，1) B．[－1,1] C．∅ D．{1}
[答案] D
[解析] 在－1≤x≤1时，有－1≤y≤1；y＝x，在x≤0时，有y≥1，∴A∩B＝{1}．
7．(文)(09·山东)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[答案] C
[解析] 原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题是假命题，故否命题也为假．所以真命题个数为1.
(理)函数 (n∈N且n>9)的图像可能是( )
[答案] C
[解析] ∵f(－x)＝==f(x)，∴函数为偶函数，图像关于y轴对称，故排除A、B.令n＝18，则y＝，当x≥0时，y＝，由其在第一象限的图像知选C.
8．把函数f(x)＝x3－3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2，若对任意u>0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3(x2－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.
∴x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上为增函数；
x∈(－1,1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1,1)上为减函数；
x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)极大值＝f(－1)＝2，f(x)极小值＝f(1)＝－2.
图像C2是由图像C1向右平移u个单位长度，向下平移v个单位长度所得到．当图像C2的极大值点与C1的极小值点重合时，v有最小值，如图所示，即v的最小值为4.
二、填空题
9．(2018·南通模拟)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝________.
[答案]
[解析] f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，由幂函数f(x)的图像过点，得α＝，则k＋α＝.
10．若，则它们的大小关系是________．
[答案] c
[答案] [0,1)
[解析] 结合幂函数y＝xα在第一象限的图像，当0<α<1时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数，且x∈(0,1)时，图像在y＝x上方，x∈(1，＋∞)时，图像在y＝x下方；
又p＝0时，y＝x0＝1(x≠0)也满足．
故p的取值范围是0≤p<1.
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