2020届二轮复习函数图象高与低，差值正负恒成立学案（全国通用）
展开【题型综述】
数形结合好方法：
对于函数与的函数值大小问题，常常转化为函数的图象在 上方（或下方）的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数，即利用作差法，转化为论证恒成立问题.
【典例指引】
例1．设函数.
（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；
（2）求证： .
【思路引导】
（1）将问题转化为不等式在上恒成立，求实数的取值范围的问题。可构造函数，经分类讨论得到恒成立时的取值范围即可。（2）先证明对于任意的正整数，不等式恒成立，即恒成立，也即恒成立，结合（1）③的结论，当， 时在上成立，然后令可得成立，再令即可得不等式成立。
②当时，有，于是在上单调递减，从而，
因此在上单调递减，所以，不合题意；
③当时，令，则当时， ，于是在上单调递减，从而，
因此在上单调递减，所以，而且仅有，不合题意.
综上所求实数的取值范围是.*
（2）对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数，不等式恒成立，
即恒成立，变形为恒成立，
在（1）③中，令， ，则得在上单调递减，
所以，即，
令，则得成立.
当时，可得.
即，所以成立。*
点睛：本题难度较大，解题中连续用到了分类讨论、构造的方法。在（1）中将问题转化为不等式恒成立的问题处理，在解题中需要在对参数m分类讨论的基础上再求其值。（2）中的问题更是考查生的观察分析问题的能力，在得到需要证明不等式成立的基础上仍需作出相应的变形，并利用上一问的结论来解决，所以需要生具有较强的想象力。
例2．已知函数，（为常数，其中是自然对数的底数）
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当且时，函数的图象恒在的图象上方．
【思路引导】
（1）求出函数的导数，利用导数判断的单调性，并求出单调区间；（2）构造函数，利用导数证明在上为增函数，且求得得答案.
点睛：本题考查函数导数的综合应用问题，考查数转化思想方法与分类讨论思想思想方法，是中档题；利用导数求解函数单调性的一般步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.
例3．已知函数，为其导函数.
(1) 设，求函数的单调区间；
(2) 若， 设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为 证明：.
【思路引导】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，得增区间，得减区间即可；（2）问题转化为证明令
，根据函数单调性证明即可.
(2) 法一：
，故在定义域上单调递增.
只需证：，即证 (*)*
注意到 不妨设.
令，
则 ，从而在上单减，故， 即得(*)式.
取，则显然有， 从而，
另外由三次函数的中心对称性可知，则有 .*
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思想解决高中数问题的一种重要思想方法，是中数四种重要的数思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同们能够熟练掌握并应用与解题当中.
