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2020届二轮复习函数与基本初等函数学案（全国通用）
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年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
函数与基本初等函数（一）
教学目的
教学内容
一、 知识网络
二、命题分析
1．知识点的考查情况
(1)函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；
(2)定义域、值域、解析式是考查的重点，而且较稳定，有时结合其他知识点(以本单元内容为背景)，分段函数较多、花样翻新；
(3)函数单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导数联系较多；
(4)函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与对称性、抽象函数等问题联系较多；
(5)由于分段函数自身所具有的特殊性，比其他函数形式具有更重要的功能，更能全面地考查学生的素质和能力，所以在2018年高考试题中，分段函数应该是函数命题的热点内容，一般会以选择题和填空题的形式进行考查，如果出现在解答题中，会和方程、不等式的知识联系起来，综合考查各种能力．
2．常考题型及分值情况
函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有考题，所占分值在30分以上，占全卷的20%以上，在高考中占有重要地位．
三、复习建议
1．函数的基本概念在应用时要把重点放在它的三要素上，复习函数的定义域除了要注意使解析式有意义的自变量的取值范围外，还要根据题中的实际意义来确定它的取值范围．
2．求值域时要熟悉几种基本的解题方法，通常化归为求函数的最值问题，要注意利用均值不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的作用，还要注意对应法则，特别是定义域的制约作用．
3．求函数解析式根据实际问题建立函数关系，或根据题中所给条件利用待定系数法解题，或对于f[g(x)]＝h(x)求f(x)的问题可以用换元法解题，或若式中含有f(－x)，f等，常根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求解．
4．利用函数的基本性质解题时要充分挖掘函数的单调性、奇偶性、对称性等，但要注意函数的基本性质只能在函数的定义域内讨论．
5．在研究函数的性质时要注意结合图像，在解方程和不等式时，有时利用数形结合能得到十分快捷的效果．研究函数与方程的问题时，尤其要用好图像．恒成立问题，区间解问题都可得到较好的解决．
四、知识讲解
第一节 函数及其表示
（一）高考目标
考纲解读
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
考向预测
1．函数概念及其定义域、解析式、函数值、分段函数的考查是热点．
2．多以小题的形式出现，属低、中档题，常与几个基本初等函数的图像、性质综合命题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．函数的基本概念
(1)函数定义
设A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素： 、 和
(4)相等函数：如果两个函数的 和 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：
3．映射的概念
两个集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有 的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的 ，记作f：A→B.
4．映射与函数的关系
由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是
5．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是 函数。
（三）基础自测
1．(教材改编题)下列是映射的是 ( )
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(5) C．(1)(3)(5) D．(1)(2)(3)(5)
[答案] A
[解析] (4)中元素c没有象与之对应；(5)中元素a有两个象与之对应；(1)(2)(3)都是映射．
2．下列函数中与函数y＝x(x≥0)是同一个函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
[答案] A
[解析] 当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有A，B
中x≠0，C中x∈R，D中x∈R.
3.已知f(x)的图像恒过点(1,1)，则f(x－4)的图像恒过( )
A．(－3,1) B．(5,1) C．(1，－3) D．(1,5)
[答案] B
[解析] 方法一：由f(x)的图像恒过点(1,1)知f(1)＝1，
即f(5－4)＝1，故f(x－4)的图像恒过点(5,1)．
方法二：f(x－4)的图像可由f(x)的图像向右平移4个单位而得到，(1,1)向右平移4个单位后变为(5,1)．
4.若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
[答案] [－1,0]
[解析] 由题意知2x2＋2ax－a－1≥0恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.
5．在下列图像中，
表示y是x的函数图像的是________．
[答案] ①②
[解析] 由函数定义可知，自变量x对应唯一的y值，所以③、④错误，①、②正确．
（四）典型例题
1.命题方向：对映射的理解
[例1] (文)设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象3的原象是 ( )
A．1 B．3 C．9 D．11
[解析] 在这个映射中，B中的元素2n＋n是A中的元素n的象．
∴2n＋n＝3.∵n∈N，∴f(n)＝2n＋n单调递增，
∴2n＋n＝3只有惟一解n＝1.故答案为A.
[答案]A
(理)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{－2，－1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是 ( )
A．8个 B．12个 C．16个 D．18个
[解析] ∵x＋f(x)为奇数，∴当x为奇数－1,1时，它们在N的象只能为偶数－2、0或2，由分步计数原理和对应方法有32＝9种；而当x＝0时，它在N中的象为奇数－1或1，共2种对应方法，故答案为D.
[答案]D
[点评] 关于“映射”的内容，只需要准确理解映射的概念，一个映射f：A→B是由集合A、B及对应法则f共同确定的，且A中的每个元素(通过f)在B中都有唯一的象
跟踪练习1：
(文)在给定的映射f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)作用下，点(，－)的原象是 ( )
A．(，－) B．(，－)或(－，)
C．(，－) D．(，－)或(－，)
[答案] B
[解析] 由已知得：解方程组得
或 故选B.
(理)(2018·浙江)函数f：{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))＝f(x)，则这样的函数个数共有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．10个
[答案] D
[解析] 当f(x)＝1，f(x)＝2，f(x)＝3，f(x)＝x时，满足条件f(f(x))＝f(x)，这样的函数有4个．当f(1)＝1，f(2)＝1时，必有f(3)＝3，假若f(3)＝2，则f(f(3))＝f(2)＝1≠3，这样的情况共有＝6种．∴共有10种，故选D.
2.命题方向：判断两个函数是否相同
[例2] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
(1)f(x)＝，g(x)＝；
(2)f(x)＝，g(x)＝
(3)f(x)＝，g(x)＝()2n－1(n∈N*)；
(4)f(x)＝，g(x)＝.
[分析] 根据定义域、值域和对应关系是否相同来判断．
[解析] (1)由于f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，故它们的对应关系不相同，所以它们不是同一函数；
(2)由于函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)＝的定义域为R，所以它们不是同一函数；
(3)由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f(x)＝＝x，g(x)＝()2n－1＝x，它们的定义域、值域及对应关系都相同，所以它们是同一函数；
(4)由于函数f(x)＝的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数．
跟踪练习2：
下列四组函数，表示同一函数的是 ( )
A．f(x)＝logaax，g(x)＝alogax(a>0，a≠1)
B．f(x)＝()2，g(x)＝
C．f(x)＝2x－1(x∈R)，g(x)＝2x＋1(x∈Z)
D．f(x)＝，g(t)＝
[答案] D
[解析] 选项A、B、C中函数的定义域不同
3.命题方向：求函数的定义域
[例3] (1)求函数f(x)＝的定义域．
(2)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求下列函数的定义域：①f(x2)；②f(－1)．
(3)已知函数f [lg(x＋1)]的定义域是[0,9]，求函数f(2x)的定义域．
[解析] (1)要使函数有意义，则只需
即解得－3
(2)①∵f(x)的定义域是[0,1]，
∴要使f(x2)有意义，则必有0≤x2≤1，解得－1≤x≤1.∴f(x2)的定义域为[－1,1]．
②由0≤－1≤1，得1≤≤2.
∴1≤x≤4.(x≥0时，才有意义)
∴函数f(－1)的定义域为[1,4]．
(3)∵f[lg(x＋1)]的定义域为[0,9]，
∴0≤x≤9,1≤x＋1≤10，∴0≤lg(x＋1)≤1，
∴f(x)的定义域为[0,1]．
由0≤2x≤1，得x≤0.∴f(2x)的定义域为(－∞，0]．
跟踪练习3：
求下列函数的定义域．
(1)y＝＋；
(2)y＝＋(5x－4)0；
(3)设函数f(x)＝ln，求函数g(x)＝f＋f的定义域．
[解析] (1)由得
∴函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1,2)∪(2，＋∞)．
(2)由得
∴函数的定义域为∪∪.
(3)由>0知－1
由(1)得－21或x<－1，
因此－2
4.命题方向：求函数的解析式
[例4] (1)已知f＝x3＋，求f(x)；
(2)已知f＝lgx，求f(x)；
(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)．
[解析] (1)∵f＝3－3，
∴f(x)＝x3－3x，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(2)令＋1＝t，则x＝，
∴f(t)＝lg，∴f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．
(3)设f(x)＝ax＋b，则
3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.
(4)2f(x)＋f＝3x，①
把①中的x换成，得2f＋f(x)＝，②
①×2－②得3f(x)＝6x－，
∴f(x)＝2x－.
[点评] 求函数解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x，即得到f[g(x)]的解析式；(2)拼凑法，对f[g(x)]的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设t＝g(x)，解出x，代入f[g(x)]，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式．
跟踪练习4：
给出下列两个条件：(1)f(＋1)＝x＋2；
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．
[分析] (1)对＋1换元．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c.
[解析] (1)令t＝＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2.
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，
则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴⇒，
又f(0)＝3⇒c＝3，
∴f(x)＝x2－x＋3.
5.命题方向：分段函数
[例5] 甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．
[解析] 根据图像，判断每段上函数的解析式的结构，然后用待定系数法分段求出，最后整合．
当x∈[0,30]时，设y＝k1x＋b1，
由已知得，
解得，∴y＝x.
当x∈(30,40)时，y＝2；
当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，
由已知得，解得，∴y＝x－2.综上，f(x)＝
[点评] 1.解决分段函数的基本原则是分段进行．
2．对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分别求出其解析式．
3．对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值．
跟踪练习5：
设函数f(x)＝，则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为 ( )
A．(－∞，－2]∪[0,10] B．(－∞，－2]∪[0,1]
C．(－∞，－2]∪[1,10] D．[－2,0]∪[1,10]
[答案] A
[解析] 当x<1时，f(x)≥1⇔(x＋1)2≥1⇔x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x<1.
当x≥1时，f(x)≥1⇔4－≥1⇔≤3
⇔x≤10，∴1≤x≤10.
综上所述，可得x≤－2或0≤x≤10.故选A.
（五）思想方法点拨：
1．函数与映射的概念
从A到B的映射与从B到A的映射具有不同的要求，就是说映射具有方向性．函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射，其中集合A是定义域，值域集合C＝{f(a)|a∈A}B.
函数的定义中最重要的是定义域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定的．在求f[f(x)]类型的值时，应遵循先内后外的原则．
判断两个函数是否为相同的函数，抓住两点：①定义域是否相同；②对应法则即解析式是否相同．注意：解析式可以化简．
判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：①A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多，②B中元素可无原象，即B中元素可有剩余．
2．函数的定义域及其求法
(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围．
(2)根据函数解析式求函数定义域的依据有：①分式的分母不得为0；②偶次方根的被开方数不得小于0；③对数函数的真数必须大于0；④指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；⑤三角函数中的正切函数y＝tanx，余切函数y＝cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等．
(3)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域是[a，b]指的是x∈[a，b]．求f(x)的定义域，是指在x∈[a，b]的条件下，求g(x)的值域．
(4)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义．
(5)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合
(6)求定义域的一般步骤：
①写出函数式有意义的不等式(组)；
②解不等式(组)；
③写出函数的定义域．
3．函数的表示方法
(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式直接求出任意一个自变量的值所对应的函数值情况．
(2)图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系．
图像法的优点是：直观、形象地表示函数的变化．
(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
列表法的优点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，这种表格常常用到实际生产和生活中去．
各种方法均存在优缺点，但无论是用哪种方法，都必须表达出函数的定义域和对应关系．
(4)函数的解析式
①函数解析式的定义．
把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．
②求函数解析式的主要方法．
求函数解析式的主要方法有配凑法、换元法和待定系数法．
如果已知复合函数f[g(x)]的解析式时，常用换元法；当已知函数解析式较为简单时，可直接用配凑法；如果已知函数解析式的类型时，常用待定系数法．
③确定函数的解析式时，除了函数的解析式外，还要标注函数的定义域．
建立简单实际问题的函数式，首先要选定变量，而后寻找等量关系，求得函数解析式，但要注意定义域．
4．分段函数
分段函数是指自变量x在不同取值范围内，对应关系不同的函数．解决与分段函数有关的问题，最重要的就是逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性等)的一般方法．
5．抽象函数
抽象函数由于只给出函数的某些性质，却不知道具体函数的解析式，因而成为函数问题中的一个难点．解决抽象函数问题，要全面应用其所具有的性质展开解题思路，通常的方法是赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法，即抽象问题具体化、直观化．
掌握常见的抽象函数与基本初等函数的对应关系：
(1)正比例函数f(x)＝kx满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；
(2)指数函数f(x)＝ax满足f(x＋y)＝f(x)f(y)；＝f(x－y)；
(3)对数函数f(x)＝logax满足f(xy)＝f(x)＋f(y)；f＝f(x)－f(y)．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2018·湖北文)函数y＝的定义域为( )
A. B. C．(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)
[答案] A
[解析] 本题主要考查函数的定义域，解不等式等知识．
log0.5(4x－3)>0＝log0.51，∴0<4x－3<1，∴
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
[解析] ∵f(2)＝log3(22－1)＝1，又f(1)＝2·e0＝2，∴f[f(2)]＝2.
3．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
[答案] C
[解析] 由y＝＋得，，
∴，∴x≥1或x＝0，∴{x|x≥1}∪{0}．
4．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
[答案] B
[解析] 要使g(x)有意义，则，解得0≤x<1，故定义域为[0,1)，选B.
5．(2018·陕西理)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于( )
A. B. C．2 D．9
[答案] C
[解析] f(0)＝20＋1＝2，f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.
6．下列各对函数中，相同的一组是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2
B．f(x)＝，g(x)＝1－|x|，x∈[－1,1]
C．y＝f(x)，g(x)＝f(x＋1)，x∈R
D．f(x)＝|lgx|，g(x)＝|x|lg2
[答案] D
[解析] A中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x≥0，由于定义域不同，故排除A；B中，虽然定义域、值域均相同，但对应关系不同，例f≠g，故B也排除；C中定义域、值域相同，但对应关系不同，g(x)的图像可由f(x)的图像向左平移一个单位得到，因此f(x)与g(x)的图像不重合，故C也被排除；D中将f(x)恒等变形后恰为g(x)，且定义域也相同.
7．(文)若f(x)＝，则f(－1)的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] C
[解析] f(－1)＝f(2)＝f(5)＝f(8)＝log28＝3，选C.
(理)若函数f(x)＝，则函数y＝f(2－x)的图像可以是( )
[答案] A
[解析] 由函数y＝f(x)的图像关于y轴对称得到y＝f(－x)的图像，再把y＝f(－x)的图像向右平移2个单位
得到y＝f(2－x)的图像，故选A.
8．如图所示，单位圆中弧的长为x，f(x)表示弧与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是( )
[答案] D
[解析] 如图所示，设∠AOB＝θ，则x＝θ.则弓形面积＝S扇形－S△AOB
＝x×1－2×sincos＝(x－sinθ)＝(x－sinx)．
当x∈[0，π]时，sinx≥0，则x－sinx≤x，其图像位于y＝x下方．
当x∈(π，2π]时，sinx≤0，则x－sinx≥x，其图像位于y＝x上方．
所以只有D项符合题意．
二、填空题
9．已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
2
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f [g(1)]的值为________；满足f [g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
[答案] 2；2 [解析] f [g(1)]＝f(3)＝2.
x
1
2
3
f[g(x)]
2
3
1
g[f(x)]
3
1
2
故f[g(x)]>g[f(x)]的解为x＝2.
10．已知f(x)＝，定义fn(x)＝f(fn－1(x))，其中f1(x)＝f(x)，则f2018＝________.
[答案]
[解析] 依次计算：f1＝，f2＝，
f3＝，f4＝，f5＝，f6＝，f7＝，可知fn的最小正周期为6，
即得fn＋6＝fn，所以f2018＝f2＝.
[点评] 该题考查分段函数的知识，解题的关键是发现函数具有周期性，再将f2018转化为f2即可．
11．已知f(0)＝1，f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，则f(x)＝________.
[答案] x2＋x＋1
[解析] 令a＝0，则f(－b)＝f(0)－b(－b＋1)＝1＋b(b－1)＝b2－b＋1
再令－b＝x，即得：f(x)＝x2＋x＋1.
[点评] 赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点．
如本题另解：令b＝a，则1＝f(0)＝f(a)－a(2a－a＋1)＝f(a)－a(a＋1)＝f(a)－a2－a，
∴f(a)＝a2＋a＋1，∴f(x)＝x2＋x＋1.
第二节 函数的单调性与最值
（一）高考目标
考纲解读
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2．会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值．
考向预测
1．函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质，在每年高考中均有重要体现．
2．求单调区间、判断单调性、求最值及利用它们求参数的取值范围是热点．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
②若 ，则f(x)在 上是减函数．
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是 或 ，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间．
2．函数的最值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：
①对于任意的x∈I，都有 ；②存在x0∈I，使得 .
则称M是f(x)的最大值．
(2)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：
①对于任意的x∈I，都有 ；②存在x0∈I，使得 .
则称M是f(x)的最小值．
3．判断函数单调性的方法
(1)定义法：利用定义严格判断．
(2)利用函数的运算性质：如若f(x)、g(x)为增函数，则
①f(x)＋g(x)为增函数；
②为减函数(f(x)>0)；
③为增函数(f(x)≥0)；
④f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；
⑤－f(x)为减函数．
(3)利用复合函数关系判断单调性．
法则是“ ”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为 ，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为
(4)图像法．
(5)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有 的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有 的单调性．
(6)导数法
①若f(x)在某个区间内可导，当f′(x)>0时，f(x)为 函数；当f′(x)<0时，f(x)为 函数；
②若f(x)在某个区间内可导，当f(x)在该区间上递增时，则f′(x) 0；当f(x)在该区间上递减时，
则f′(x) 0.
4．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.
（三）基础自测
1．(教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是 ( )
A．y＝－x＋1 B．y＝ C．y＝x2－4x＋5 D．y＝
[答案] B
[解析] 结合函数的图像可知只有选项B对应的函数满足题意．
2．(2018·辽宁朝阳模拟)f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)为增函数，f(1)的取值范围是( )
A．(－∞，25] B．(25，＋∞) C．[25，＋∞) D．(－∞，25)
[答案] C
[解析] 由题意知对称轴≤－2，即m≤－16，所以f(1)＝9－m≥25.
3．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,1) B. C. D.
[答案] C
[解析] 根据题意要使原函数在定义域R上为减函数，只需满足：⇒≤a<.
4．(2018·山东文)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] A
[解析] 本题考查了指、对函数的基本性质，复合函数的值域问题．
3x>0⇒3x＋1>1⇒log2(3x＋1)>log21＝0，选A.
5．函数y＝的值域为________．
[答案] (－1,1]
[解析] 由y＝，得x2＝≥0，解得－1
[答案]
[解析] 令y1＝|x＋1|，y2＝|x－2|，
在同一坐标系中分别作出其图像，如图所示，根据条件知函数f(x)的图像为图中的射线PA，PB构成，
由，解得y＝.
即为函数f(x)的最小值．
7．证明：f(x)＝x＋在(－∞，－1)上是增函数．
[证明] 设x1，x2是(－∞，－1)内的任意两个不相等的负实数，且x10，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝，
∵x11>0.
∴x1x2－1>0，∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0.
所以f(x)＝x＋在(－∞，－1)上是增函数．
（四）典型例题
1.命题方向：求函数的值域
[例1] 求下列函数的值域
(1)y＝2x2＋x (2)y＝|x－1|＋|x＋4|
(3)y＝ (4)y＝2x＋4
(5)y＝x－ (6)y＝x5－5x4＋5x3＋2，x∈[－1,2]
[分析] 上述各题在求解之前，先应观察其结构特点选择最优的方法，然后再解．
[解析] (1)采用配方法
∵y＝2x2＋x＝22－≥－
∴函数y＝2x2＋x的值域是
(2)解法1：(图像法)
y＝
画图像如下
从图像可知：y≥5，即值域为[5，＋∞)．
解法2：(单调性法)
当x≤－4时，y＝－2x－3为减函数，
∴y≥－2×(－4)－3＝5，
当－4
∴y≥2×1＋3＝5.
综上可知，函数值域为{y|y≥5}．
(3)解法1：(反函数法)
∵y＝的反函数为y＝，其定义域为{x|x≠2}，
∴原函数的值域是{y|y∈R且y≠2}．
解法2：(分离常数法)∵y＝＝＝2＋，其中≠0，
∴y＝的值域是(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)采用换元法．
设t＝≥0，则x＝1－t2，于是y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，
故可知y∈(－∞，4]．
(5)利用三角代换法．
因为|x|≤1，所以设x＝cosθ，θ∈[0，π]，
则y＝cosθ－sinθ＝cos.
∵θ∈[0，π]，
∴≤θ＋≤，
于是－1≤cos≤，即得知－≤y≤1.
∴函数的值域为[－，1]．
(6)导数法．
y′＝5x4－20x3＋15x2，
令y′＝0，得5x4－20x3＋15x2＝0，
即5x2(x－3)(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1，x3＝3.
由于x3∉[－1,2]，所以只要比较f(0)，f(1)，f(－1)，f(2)．
由解析式可知：f(x)最大值为3，最小值为－9.
故值域为[－9,3]．
[点评] (1)对于二次函数型的一类问题常采用配方法求值域．
(2)换元法是解决无理函数值域的最有效手段．
跟踪练习1：求下列函数的值域．
(1)y＝4－； (2)y＝2x＋；
(3)y＝x＋； (4)y＝；
(5)y＝； (6)y＝.
[解析] (1)(配方法)：由3＋2x－x2≥0，得－1≤x≤3.
∵y＝4－，
∴当x＝1时，ymin＝2.当x＝－1或3时，ymax＝4.
∴函数值域为[2,4]
(2)(换元法)：令t＝(t≥0)，则x＝
∴y＝－t2＋t＋1＝－(t－)2＋，
∵当t＝即x＝时，ymax＝，无最小值．
∴函数值域为(－∞，]
(3)(三角代换法)函数的定义域是{x|－1≤x≤1}．
设x＝sint，－≤t≤，则y＝x＋化为y＝sint＋cost＝sin(t＋)．
∵－≤t≤ ∴－≤t＋≤，
∴－≤sin(t＋)≤1，∴－1≤y≤
∴函数的值域是[－1，]．
(4)分离常数法
f(x)＝＝－1，因为1＋2x＞1,0＜＜2，所以－1＜－1＜1，故所求值域为(－1,1)．
(5)(判别式法)由y＝变形得(y－1)x2－(y－1)x＋y－3＝0
当y＝1时，此方程无解；
当y≠1时，∵x∈R
∴Δ＝(y－1)2－4(y－1)(y－3)≥0
解得1≤y≤，又∵y≠1 ∴1＜y≤.
故函数的值域为{y|1＜y≤}．
(6)(利用三角函数有界性)由y＝，解得sinx＝，
∵－1≤sinx≤1，∴－1≤≤1.
由≤1得y<－1或y≥，
由≥－1得，－1
[点评] 对于形如y＝ax＋b＋的函数，令t＝，使之变形为二次函数，对于含结构的函数，可利用三角代换，令x＝acosθ，θ∈[0，π]，或令x＝asinθ，θ∈转化为三角函数.
2.命题方向：求函数的单调区间
[例2] 求下列函数的单调区间，并指出其增减性．
(1)y＝a1－x2(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log(4x－x2)．
[分析] 利用复合函数的判别方法判断该类题目．
(1)的复合关系为y＝at，t＝1－x2；
(2)的复合关系为y＝logt，t＝4x－x2.
[解析] (1)令t＝1－x2，则t＝1－x2的递减区间是[0，＋∞)，递增区间是(－∞，0]．
又当a>1时，y＝at在(－∞，＋∞)上是增函数；
当0
当0
令t＝4x－x2，
∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，
∴t＝4x－x2的递减区间是[2,4)，递增区间是(0,2]．
又y＝logt在(0，＋∞)上是减函数，
∴函数的单调减区间是(0,2]，单调增区间是[2,4)
[点评] (1)复合函数y＝f[g(x)]的单调规律是“同则增，异则减”，即f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是：
①求出复合函数的定义域；
②把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性；
③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；
④根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性
(2)求函数的单调区间(即判断函数的单调性)，一般有以下几种方法：
①图像法．
②定义法．
③利用已知函数的单调性，如函数y＝x与y＝的单调性(一增一减)等．
④利用导数：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数．
⑤如果函数的解析式中含有参数(字母)，往往需要考虑分类讨论的思想方法．
跟踪练习2：求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log2(6＋x－2x2)； (3)f(x)＝x＋.
[分析] (1)去绝对值号，转化为二次函数求解或画出函数图像求解；(2)利用复合函数单调性判定法则“同增异减”求解；(3)利用导数法求解．
[解析] (1)方法一：∵f(x)＝
∴由二次函数性质知f(x)的增区间是(－∞，－1]和[0,1]；减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
方法二：∵f(x)为偶函数，∴其图像为
由图像知f(x)的增区间为(－∞，－1]和[0,1]；减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)由6＋x－2x2>0，得函数f(x)的定义域为.
令u＝6＋x－2x2，则函数u在上为增函数，在上为减函数．
又∵y＝log2u在(0，＋∞)上为增函数，
∴函数f(x)的增区间是，减区间是.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
f′(x)＝1－＝.
令f′(x)>0，得x<－3或x>3；
令f′(x)<0，得－3
[点评] 欲求函数单调区间，需先求函数定义域，然后根据解析式的特征选择合理的方法．另外，注意在解答题中判断函数的单调性或求单调区间时一般用导数法或定义法.
3.命题方向：函数单调性的判断与证明
[例3] 讨论函数f(x)＝(a>0)的单调性．
[分析] 先将函数解析式的结构特征分析、转化，然后根据解析式特征选择合理的方法求解．
[解析] ∵f(x)＝＝＝a＋，
∴函数的定义域为{x|x≠1}．
方法一：(定义法)任取x1，x2∈R，且x1，x2均不为1，x1
①当x10，a>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
②当10，x1－1>0，x2－x1>0，a>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数．
方法二：(导数法)∵f′(x)＝，又∵a>0，
∴f′(x)<0在(－∞，1)∪(1，＋∞)上恒成立，即函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数．
方法三：(图像法)由f(x)＝a＋可知其图像对称中心是(1，a)，x＝1，y＝a是它的两条渐近线，由图可知
∴f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数．
[点评] 在研究单调性的众多方法中，定义法和导数法是通法，但定义法运算量较大．而其他方法则比较灵活，需要充分分析函数解析式的特征，这些方法在选择、填空题中应用较广泛．另外，本题的结论容易写成“f(x)在(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数”这一错误形式．
跟踪练习3
用函数单调性的定义证明：f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．
[分析] 由单调性定义直接证明．
[证明] 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1
＝ax2－ax1＋＝，
∵00，∴ax1＋x2>0，
(1)当a>1时，ax2>ax1，ax2－ax1>0，
ax1＋x2＞a0＝1，ax1＋x2－1>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．
(2)当0
综上所述，对于任何a>0且a≠1，均有f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
[点评] 证明函数的单调性，基本上都是利用定义，以同一种格式来进行，应避免过程中的似是而非，含糊不清．
在判断f(x2)－f(x1)与0的大小时，尽可能将其化为积或商或完全平方的形式，从而明确f(x2)－f(x1)与0的大小关系，研究三次函数或其他较复杂的函数的单调性与最值问题时，一般是利用导数这一工具来解决问题.
4.命题方向：抽象函数的单调性
[例4] 定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1；
(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
(3)证明：f(x)是R上的增函数；
(4)若f(x)·f(2x－x2)>1，求x的取值范围
[解析] (1)证明：令a＝b＝0，则f(0)＝f2(0)．
又f(0)≠0，∴f(0)＝1.
(2)证明：当x<0时，－x>0，
∴f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)＝1.
∴f(－x)＝>0.又x≥0时f(x)≥1>0，
∴x∈R时，恒有f(x)>0.
(3)证明：设x10.
∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1)．
∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.
又f(x1)>0，∴f(x2－x1)·f(x1)>f(x1)．
∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)是R上的增函数．
(4)解：由f(x)·f(2x－x2)>1，f(0)＝1得f(3x－x2)>f(0)．又f(x)是R上的增函数，
∴3x－x2>0.∴0
跟踪练习4：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.
[分析] 当x1＝x2时，由f可产生f(1)；欲讨论f(x)单调性，须比较f(x1)－f(x2)与0的大小，即f与0的大小，为此须利用条件x>1时，f(x)<0，即>1时，f<0；欲解不等式f(|x|)<－2，须考虑应用单调性脱去“f”，故须把－2化为函数值，这须由f＝f(x1)－f(x2)，赋值产生f(x0)＝－2.
[解析] (1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)9；当x<0时，由f(|x|)<－2得f(－x)9，故x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}.
5.命题方向：单调性与最值
[例5] 函数f(x)＝2x－的定义域为(0,1](a为实数)．
(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；
(3)函数y＝f(x)在x∈(0,1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．
[解析] (1)显然函数y＝f(x)的值域为[2，＋∞)；
(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，
则任取x1，x2∈(0,1]且x1f(x2)成立，即(x1－x2)>0，只要a<－2x1x2即可，
由x1，x2∈(0,1]，故－2x1x2∈(－2,0)，所以a≤－2，
故a的取值范围是(－∞，－2]；
或用导数来判断．
(3)当a≥0时，函数y＝f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
由(2)得当a≤－2时，函数y＝f(x)在(0,1]上单调递减，无最大值，
当x＝1时取得最小值2－a；
当－2
跟踪练习5
已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.
(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；
(2)是否存在实数m，使得y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解析] (1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，
当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；
当t≤4≤t＋1，即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；
当t>4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，
h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.
综上，h(t)＝
(2)函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，
∴φ′(x)＝2x－8＋＝＝ (x>0)．
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数；
当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0.
∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m－7，
φ(x)极小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.
∵当x充分接近0时，φ(x)<0；
当x充分大时，φ(x)>0.
∴要使φ(x)的图像与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需
，
即7
（五）思想方法点拨
1．求函数值域的方法
求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：
(1)直接法——从自变量x的范围出发，通过观察和代数运算推出y＝f(x)的取值范围；
(2)配方法——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝af 2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．
(3)反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如y＝(a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解．
(4)判别式法——把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域．形如y＝(a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解．
前提条件：①函数的定义域应为R；②分子、分母没有公因式．
(5)换元法——运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例如：形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用此法求解．
(6)不等式法——利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”．
(7)单调性法——根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域．
(8)求导法——当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值；
(9)数形结合法——当一个函数图像可作时，通过图像可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．
2．对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点
(1)函数的单调性是对某一个区间而言的．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数．如函数f(x)＝.
(2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．
(3)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且f(x1)x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以互推．如：y＝f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，你会解不等式f(1－x)
如求函数y＝lg(x2－2x－3)的增区间时，易认为[1，＋∞)是它的增区间，而实际上它的增区间为(3，＋∞)．
4．给出抽象函数关系式，讨论其性质的题目，基本方法是赋值用定义讨论．如判断单调性，须创造条件，判断f(x1)－f(x2)的符号或与1的大小．
5．熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：
设x1，x2∈[a，b] ，那么：
(1)＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数．
＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数．
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
6．设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)为减函数．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2018·重庆文)函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)
[答案] C
[解析] 本题考查函数的值域的求法以及换元的方法．
令u＝16－4x，则y＝，u≥0，
因为4x>0，－4x<0，所以0≤16－4x<16
∴y＝∈[0,4)，故选C.
2．(2009·福建理)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
[答案] A
[解析] 本小题主要考查函数的单调性等基础知识．
由题意得函数f(x)是减函数，在四个选项中，只有A符合，故选A.
3．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
[答案] A
[解析] 由已知易得即x>3，又0<0.5<1，
∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．
4．函数f(x)在(a，b)和(c，d)都是增函数，若x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，且x1f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．无法确定
[答案] D
[解析] 由于(a，b)和(c，d)不一定是连续的区间，所以不能根据单调性来判断f(x1)，f(x2)的大小关系．
5．函数f(x)＝的最大值为( )
A. B. C. D．1
[答案] B
[解析] ∵x≥0，当x＝0时，y＝0不是函数的最大值．当x>0时，f(x)＝＝，而＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，∴f(x)≤.
6．(2018·天津文)设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝，则f(x)的值域是( )
A.∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C. D.∪(2，＋∞)
[答案] D
[解析] 本题考查了分段函数值域的求解．
由题意可知f(x)＝
1°当x<－1或x>2时，f(x)＝x2＋x＋2＝2＋
由函数的图可得f(x)∈(2，＋∞)．
2°当－1≤x≤2时，f(x)＝x2－x－2＝2－，
故当x＝时，f(x)min＝f＝－，
当x＝－1时，f(x)max＝f(－1)＝0，
∴f(x)∈.
综上所述，该分段函数的值域为∪(2，＋∞)．
7．定义在R上的函数f(x)的图像关于x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )
A．f
[解析] ∵f(x)的图像关于x＝1对称，
∴f＝f，f＝f.
又∵x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，且<<，
∴f
A．(－∞，4] B．(－4,4] C．(－∞，－4)∪[2，＋∞) D．(－4,2)
[答案] B
[解析] 本题考查含参数的函数的讨论及复合函数的应用．由题知：y＝log2x为单调增函数，y＝log2(x2－ax＋3a)的单调增区间为y＝x2－ax＋3a的增区间的一个子区间，由y＝x2－ax＋3a⇒y′＝2x－a，又在[2，＋∞)是单调增函数，即在x∈[2，＋∞)，2x－a＞0恒成立，即只需2×2－a＞0即可⇒a＜4，又y＝x2－ax＋3a在x∈[2，＋∞)上恒大于0，则22－2a＋3a＞0⇒a＞－4，综上可得：－4＜a<4，当a＝4时同样成立．故选B.
[点评] 本题还可以根据二次函数的对称轴讨论求解．欲满足题中条件，只需≤2，且22－a×2＋3a＞0⇒a≤4且a＞－4即－4＜a≤4.
二、填空题
9．(2018·苏州模拟)函数y＝的值域是________
[答案] ∪[1，＋∞)
[解析] 由y＝，得cosx＝，且cosx≠－.
∵－1≤cosx≤1，∴－1≤≤1，
且≠－，解得y≤或y≥1，
∴原函数的值域为∪[1，＋∞)．
10．函数f(x)＝log(3－2x－x2)的单调递增区间是______．
[答案] [－1,1)
[解析] 令t＝3－2x－x2，由t>0得，函数的定义域为(－3,1)．
又t＝3－2x－x2在[－1,1)上为减函数，y＝logt在其定义域上为减函数，
∴f(x)＝log(3－2x－x2)的递增区间为[－1,1)．
11．(2018·南通检测)已知函数f(x)＝sinx＋5x，x∈(－1,1)．如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则a的取值范围是______．
[答案] 1
f(1－a)＋f(1－a2)<0，即f(1－a)
年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
函数与基本初等函数（一）
教学目的
教学内容
一、 知识网络
二、命题分析
1．知识点的考查情况
(1)函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；
(2)定义域、值域、解析式是考查的重点，而且较稳定，有时结合其他知识点(以本单元内容为背景)，分段函数较多、花样翻新；
(3)函数单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导数联系较多；
(4)函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与对称性、抽象函数等问题联系较多；
(5)由于分段函数自身所具有的特殊性，比其他函数形式具有更重要的功能，更能全面地考查学生的素质和能力，所以在2018年高考试题中，分段函数应该是函数命题的热点内容，一般会以选择题和填空题的形式进行考查，如果出现在解答题中，会和方程、不等式的知识联系起来，综合考查各种能力．
2．常考题型及分值情况
函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有考题，所占分值在30分以上，占全卷的20%以上，在高考中占有重要地位．
三、复习建议
1．函数的基本概念在应用时要把重点放在它的三要素上，复习函数的定义域除了要注意使解析式有意义的自变量的取值范围外，还要根据题中的实际意义来确定它的取值范围．
2．求值域时要熟悉几种基本的解题方法，通常化归为求函数的最值问题，要注意利用均值不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的作用，还要注意对应法则，特别是定义域的制约作用．
3．求函数解析式根据实际问题建立函数关系，或根据题中所给条件利用待定系数法解题，或对于f[g(x)]＝h(x)求f(x)的问题可以用换元法解题，或若式中含有f(－x)，f等，常根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求解．
4．利用函数的基本性质解题时要充分挖掘函数的单调性、奇偶性、对称性等，但要注意函数的基本性质只能在函数的定义域内讨论．
5．在研究函数的性质时要注意结合图像，在解方程和不等式时，有时利用数形结合能得到十分快捷的效果．研究函数与方程的问题时，尤其要用好图像．恒成立问题，区间解问题都可得到较好的解决．
四、知识讲解
第一节 函数及其表示
（一）高考目标
考纲解读
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
考向预测
1．函数概念及其定义域、解析式、函数值、分段函数的考查是热点．
2．多以小题的形式出现，属低、中档题，常与几个基本初等函数的图像、性质综合命题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．函数的基本概念
(1)函数定义
设A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素： 、 和
(4)相等函数：如果两个函数的 和 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：
3．映射的概念
两个集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有 的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的 ，记作f：A→B.
4．映射与函数的关系
由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是
5．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是 函数。
（三）基础自测
1．(教材改编题)下列是映射的是 ( )
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(5) C．(1)(3)(5) D．(1)(2)(3)(5)
[答案] A
[解析] (4)中元素c没有象与之对应；(5)中元素a有两个象与之对应；(1)(2)(3)都是映射．
2．下列函数中与函数y＝x(x≥0)是同一个函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
[答案] A
[解析] 当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有A，B
中x≠0，C中x∈R，D中x∈R.
3.已知f(x)的图像恒过点(1,1)，则f(x－4)的图像恒过( )
A．(－3,1) B．(5,1) C．(1，－3) D．(1,5)
[答案] B
[解析] 方法一：由f(x)的图像恒过点(1,1)知f(1)＝1，
即f(5－4)＝1，故f(x－4)的图像恒过点(5,1)．
方法二：f(x－4)的图像可由f(x)的图像向右平移4个单位而得到，(1,1)向右平移4个单位后变为(5,1)．
4.若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
[答案] [－1,0]
[解析] 由题意知2x2＋2ax－a－1≥0恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.
5．在下列图像中，
表示y是x的函数图像的是________．
[答案] ①②
[解析] 由函数定义可知，自变量x对应唯一的y值，所以③、④错误，①、②正确．
（四）典型例题
1.命题方向：对映射的理解
[例1] (文)设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象3的原象是 ( )
A．1 B．3 C．9 D．11
[解析] 在这个映射中，B中的元素2n＋n是A中的元素n的象．
∴2n＋n＝3.∵n∈N，∴f(n)＝2n＋n单调递增，
∴2n＋n＝3只有惟一解n＝1.故答案为A.
[答案]A
(理)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{－2，－1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是 ( )
A．8个 B．12个 C．16个 D．18个
[解析] ∵x＋f(x)为奇数，∴当x为奇数－1,1时，它们在N的象只能为偶数－2、0或2，由分步计数原理和对应方法有32＝9种；而当x＝0时，它在N中的象为奇数－1或1，共2种对应方法，故答案为D.
[答案]D
[点评] 关于“映射”的内容，只需要准确理解映射的概念，一个映射f：A→B是由集合A、B及对应法则f共同确定的，且A中的每个元素(通过f)在B中都有唯一的象
跟踪练习1：
(文)在给定的映射f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)作用下，点(，－)的原象是 ( )
A．(，－) B．(，－)或(－，)
C．(，－) D．(，－)或(－，)
[答案] B
[解析] 由已知得：解方程组得
或 故选B.
(理)(2018·浙江)函数f：{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))＝f(x)，则这样的函数个数共有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．10个
[答案] D
[解析] 当f(x)＝1，f(x)＝2，f(x)＝3，f(x)＝x时，满足条件f(f(x))＝f(x)，这样的函数有4个．当f(1)＝1，f(2)＝1时，必有f(3)＝3，假若f(3)＝2，则f(f(3))＝f(2)＝1≠3，这样的情况共有＝6种．∴共有10种，故选D.
2.命题方向：判断两个函数是否相同
[例2] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
(1)f(x)＝，g(x)＝；
(2)f(x)＝，g(x)＝
(3)f(x)＝，g(x)＝()2n－1(n∈N*)；
(4)f(x)＝，g(x)＝.
[分析] 根据定义域、值域和对应关系是否相同来判断．
[解析] (1)由于f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，故它们的对应关系不相同，所以它们不是同一函数；
(2)由于函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)＝的定义域为R，所以它们不是同一函数；
(3)由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f(x)＝＝x，g(x)＝()2n－1＝x，它们的定义域、值域及对应关系都相同，所以它们是同一函数；
(4)由于函数f(x)＝的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数．
跟踪练习2：
下列四组函数，表示同一函数的是 ( )
A．f(x)＝logaax，g(x)＝alogax(a>0，a≠1)
B．f(x)＝()2，g(x)＝
C．f(x)＝2x－1(x∈R)，g(x)＝2x＋1(x∈Z)
D．f(x)＝，g(t)＝
[答案] D
[解析] 选项A、B、C中函数的定义域不同
3.命题方向：求函数的定义域
[例3] (1)求函数f(x)＝的定义域．
(2)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求下列函数的定义域：①f(x2)；②f(－1)．
(3)已知函数f [lg(x＋1)]的定义域是[0,9]，求函数f(2x)的定义域．
[解析] (1)要使函数有意义，则只需
即解得－3
(2)①∵f(x)的定义域是[0,1]，
∴要使f(x2)有意义，则必有0≤x2≤1，解得－1≤x≤1.∴f(x2)的定义域为[－1,1]．
②由0≤－1≤1，得1≤≤2.
∴1≤x≤4.(x≥0时，才有意义)
∴函数f(－1)的定义域为[1,4]．
(3)∵f[lg(x＋1)]的定义域为[0,9]，
∴0≤x≤9,1≤x＋1≤10，∴0≤lg(x＋1)≤1，
∴f(x)的定义域为[0,1]．
由0≤2x≤1，得x≤0.∴f(2x)的定义域为(－∞，0]．
跟踪练习3：
求下列函数的定义域．
(1)y＝＋；
(2)y＝＋(5x－4)0；
(3)设函数f(x)＝ln，求函数g(x)＝f＋f的定义域．
[解析] (1)由得
∴函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1,2)∪(2，＋∞)．
(2)由得
∴函数的定义域为∪∪.
(3)由>0知－1
由(1)得－2
因此－2
4.命题方向：求函数的解析式
[例4] (1)已知f＝x3＋，求f(x)；
(2)已知f＝lgx，求f(x)；
(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)．
[解析] (1)∵f＝3－3，
∴f(x)＝x3－3x，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(2)令＋1＝t，则x＝，
∴f(t)＝lg，∴f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．
(3)设f(x)＝ax＋b，则
3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.
(4)2f(x)＋f＝3x，①
把①中的x换成，得2f＋f(x)＝，②
①×2－②得3f(x)＝6x－，
∴f(x)＝2x－.
[点评] 求函数解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x，即得到f[g(x)]的解析式；(2)拼凑法，对f[g(x)]的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设t＝g(x)，解出x，代入f[g(x)]，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式．
跟踪练习4：
给出下列两个条件：(1)f(＋1)＝x＋2；
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．
[分析] (1)对＋1换元．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c.
[解析] (1)令t＝＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2.
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，
则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴⇒，
又f(0)＝3⇒c＝3，
∴f(x)＝x2－x＋3.
5.命题方向：分段函数
[例5] 甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．
[解析] 根据图像，判断每段上函数的解析式的结构，然后用待定系数法分段求出，最后整合．
当x∈[0,30]时，设y＝k1x＋b1，
由已知得，
解得，∴y＝x.
当x∈(30,40)时，y＝2；
当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，
由已知得，解得，∴y＝x－2.综上，f(x)＝
[点评] 1.解决分段函数的基本原则是分段进行．
2．对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分别求出其解析式．
3．对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值．
跟踪练习5：
设函数f(x)＝，则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为 ( )
A．(－∞，－2]∪[0,10] B．(－∞，－2]∪[0,1]
C．(－∞，－2]∪[1,10] D．[－2,0]∪[1,10]
[答案] A
[解析] 当x<1时，f(x)≥1⇔(x＋1)2≥1⇔x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x<1.
当x≥1时，f(x)≥1⇔4－≥1⇔≤3
⇔x≤10，∴1≤x≤10.
综上所述，可得x≤－2或0≤x≤10.故选A.
（五）思想方法点拨：
1．函数与映射的概念
从A到B的映射与从B到A的映射具有不同的要求，就是说映射具有方向性．函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射，其中集合A是定义域，值域集合C＝{f(a)|a∈A}B.
函数的定义中最重要的是定义域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定的．在求f[f(x)]类型的值时，应遵循先内后外的原则．
判断两个函数是否为相同的函数，抓住两点：①定义域是否相同；②对应法则即解析式是否相同．注意：解析式可以化简．
判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：①A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多，②B中元素可无原象，即B中元素可有剩余．
2．函数的定义域及其求法
(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围．
(2)根据函数解析式求函数定义域的依据有：①分式的分母不得为0；②偶次方根的被开方数不得小于0；③对数函数的真数必须大于0；④指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；⑤三角函数中的正切函数y＝tanx，余切函数y＝cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等．
(3)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域是[a，b]指的是x∈[a，b]．求f(x)的定义域，是指在x∈[a，b]的条件下，求g(x)的值域．
(4)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义．
(5)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合
(6)求定义域的一般步骤：
①写出函数式有意义的不等式(组)；
②解不等式(组)；
③写出函数的定义域．
3．函数的表示方法
(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式直接求出任意一个自变量的值所对应的函数值情况．
(2)图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系．
图像法的优点是：直观、形象地表示函数的变化．
(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
列表法的优点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，这种表格常常用到实际生产和生活中去．
各种方法均存在优缺点，但无论是用哪种方法，都必须表达出函数的定义域和对应关系．
(4)函数的解析式
①函数解析式的定义．
把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．
②求函数解析式的主要方法．
求函数解析式的主要方法有配凑法、换元法和待定系数法．
如果已知复合函数f[g(x)]的解析式时，常用换元法；当已知函数解析式较为简单时，可直接用配凑法；如果已知函数解析式的类型时，常用待定系数法．
③确定函数的解析式时，除了函数的解析式外，还要标注函数的定义域．
建立简单实际问题的函数式，首先要选定变量，而后寻找等量关系，求得函数解析式，但要注意定义域．
4．分段函数
分段函数是指自变量x在不同取值范围内，对应关系不同的函数．解决与分段函数有关的问题，最重要的就是逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性等)的一般方法．
5．抽象函数
抽象函数由于只给出函数的某些性质，却不知道具体函数的解析式，因而成为函数问题中的一个难点．解决抽象函数问题，要全面应用其所具有的性质展开解题思路，通常的方法是赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法，即抽象问题具体化、直观化．
掌握常见的抽象函数与基本初等函数的对应关系：
(1)正比例函数f(x)＝kx满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；
(2)指数函数f(x)＝ax满足f(x＋y)＝f(x)f(y)；＝f(x－y)；
(3)对数函数f(x)＝logax满足f(xy)＝f(x)＋f(y)；f＝f(x)－f(y)．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2018·湖北文)函数y＝的定义域为( )
A. B. C．(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)
[答案] A
[解析] 本题主要考查函数的定义域，解不等式等知识．
log0.5(4x－3)>0＝log0.51，∴0<4x－3<1，∴
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
[解析] ∵f(2)＝log3(22－1)＝1，又f(1)＝2·e0＝2，∴f[f(2)]＝2.
3．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
[答案] C
[解析] 由y＝＋得，，
∴，∴x≥1或x＝0，∴{x|x≥1}∪{0}．
4．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
[答案] B
[解析] 要使g(x)有意义，则，解得0≤x<1，故定义域为[0,1)，选B.
5．(2018·陕西理)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于( )
A. B. C．2 D．9
[答案] C
[解析] f(0)＝20＋1＝2，f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.
6．下列各对函数中，相同的一组是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2
B．f(x)＝，g(x)＝1－|x|，x∈[－1,1]
C．y＝f(x)，g(x)＝f(x＋1)，x∈R
D．f(x)＝|lgx|，g(x)＝|x|lg2
[答案] D
[解析] A中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x≥0，由于定义域不同，故排除A；B中，虽然定义域、值域均相同，但对应关系不同，例f≠g，故B也排除；C中定义域、值域相同，但对应关系不同，g(x)的图像可由f(x)的图像向左平移一个单位得到，因此f(x)与g(x)的图像不重合，故C也被排除；D中将f(x)恒等变形后恰为g(x)，且定义域也相同.
7．(文)若f(x)＝，则f(－1)的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] C
[解析] f(－1)＝f(2)＝f(5)＝f(8)＝log28＝3，选C.
(理)若函数f(x)＝，则函数y＝f(2－x)的图像可以是( )
[答案] A
[解析] 由函数y＝f(x)的图像关于y轴对称得到y＝f(－x)的图像，再把y＝f(－x)的图像向右平移2个单位
得到y＝f(2－x)的图像，故选A.
8．如图所示，单位圆中弧的长为x，f(x)表示弧与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是( )
[答案] D
[解析] 如图所示，设∠AOB＝θ，则x＝θ.则弓形面积＝S扇形－S△AOB
＝x×1－2×sincos＝(x－sinθ)＝(x－sinx)．
当x∈[0，π]时，sinx≥0，则x－sinx≤x，其图像位于y＝x下方．
当x∈(π，2π]时，sinx≤0，则x－sinx≥x，其图像位于y＝x上方．
所以只有D项符合题意．
二、填空题
9．已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
2
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f [g(1)]的值为________；满足f [g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
[答案] 2；2 [解析] f [g(1)]＝f(3)＝2.
x
1
2
3
f[g(x)]
2
3
1
g[f(x)]
3
1
2
故f[g(x)]>g[f(x)]的解为x＝2.
10．已知f(x)＝，定义fn(x)＝f(fn－1(x))，其中f1(x)＝f(x)，则f2018＝________.
[答案]
[解析] 依次计算：f1＝，f2＝，
f3＝，f4＝，f5＝，f6＝，f7＝，可知fn的最小正周期为6，
即得fn＋6＝fn，所以f2018＝f2＝.
[点评] 该题考查分段函数的知识，解题的关键是发现函数具有周期性，再将f2018转化为f2即可．
11．已知f(0)＝1，f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，则f(x)＝________.
[答案] x2＋x＋1
[解析] 令a＝0，则f(－b)＝f(0)－b(－b＋1)＝1＋b(b－1)＝b2－b＋1
再令－b＝x，即得：f(x)＝x2＋x＋1.
[点评] 赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点．
如本题另解：令b＝a，则1＝f(0)＝f(a)－a(2a－a＋1)＝f(a)－a(a＋1)＝f(a)－a2－a，
∴f(a)＝a2＋a＋1，∴f(x)＝x2＋x＋1.
第二节 函数的单调性与最值
（一）高考目标
考纲解读
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2．会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值．
考向预测
1．函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质，在每年高考中均有重要体现．
2．求单调区间、判断单调性、求最值及利用它们求参数的取值范围是热点．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
②若 ，则f(x)在 上是减函数．
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是 或 ，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间．
2．函数的最值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：
①对于任意的x∈I，都有 ；②存在x0∈I，使得 .
则称M是f(x)的最大值．
(2)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：
①对于任意的x∈I，都有 ；②存在x0∈I，使得 .
则称M是f(x)的最小值．
3．判断函数单调性的方法
(1)定义法：利用定义严格判断．
(2)利用函数的运算性质：如若f(x)、g(x)为增函数，则
①f(x)＋g(x)为增函数；
②为减函数(f(x)>0)；
③为增函数(f(x)≥0)；
④f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；
⑤－f(x)为减函数．
(3)利用复合函数关系判断单调性．
法则是“ ”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为 ，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为
(4)图像法．
(5)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有 的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有 的单调性．
(6)导数法
①若f(x)在某个区间内可导，当f′(x)>0时，f(x)为 函数；当f′(x)<0时，f(x)为 函数；
②若f(x)在某个区间内可导，当f(x)在该区间上递增时，则f′(x) 0；当f(x)在该区间上递减时，
则f′(x) 0.
4．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.
（三）基础自测
1．(教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是 ( )
A．y＝－x＋1 B．y＝ C．y＝x2－4x＋5 D．y＝
[答案] B
[解析] 结合函数的图像可知只有选项B对应的函数满足题意．
2．(2018·辽宁朝阳模拟)f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)为增函数，f(1)的取值范围是( )
A．(－∞，25] B．(25，＋∞) C．[25，＋∞) D．(－∞，25)
[答案] C
[解析] 由题意知对称轴≤－2，即m≤－16，所以f(1)＝9－m≥25.
3．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,1) B. C. D.
[答案] C
[解析] 根据题意要使原函数在定义域R上为减函数，只需满足：⇒≤a<.
4．(2018·山东文)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] A
[解析] 本题考查了指、对函数的基本性质，复合函数的值域问题．
3x>0⇒3x＋1>1⇒log2(3x＋1)>log21＝0，选A.
5．函数y＝的值域为________．
[答案] (－1,1]
[解析] 由y＝，得x2＝≥0，解得－1
[答案]
[解析] 令y1＝|x＋1|，y2＝|x－2|，
在同一坐标系中分别作出其图像，如图所示，根据条件知函数f(x)的图像为图中的射线PA，PB构成，
由，解得y＝.
即为函数f(x)的最小值．
7．证明：f(x)＝x＋在(－∞，－1)上是增函数．
[证明] 设x1，x2是(－∞，－1)内的任意两个不相等的负实数，且x1
Δy＝f(x2)－f(x1)＝，
∵x1
∴x1x2－1>0，∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0.
所以f(x)＝x＋在(－∞，－1)上是增函数．
（四）典型例题
1.命题方向：求函数的值域
[例1] 求下列函数的值域
(1)y＝2x2＋x (2)y＝|x－1|＋|x＋4|
(3)y＝ (4)y＝2x＋4
(5)y＝x－ (6)y＝x5－5x4＋5x3＋2，x∈[－1,2]
[分析] 上述各题在求解之前，先应观察其结构特点选择最优的方法，然后再解．
[解析] (1)采用配方法
∵y＝2x2＋x＝22－≥－
∴函数y＝2x2＋x的值域是
(2)解法1：(图像法)
y＝
画图像如下
从图像可知：y≥5，即值域为[5，＋∞)．
解法2：(单调性法)
当x≤－4时，y＝－2x－3为减函数，
∴y≥－2×(－4)－3＝5，
当－4
∴y≥2×1＋3＝5.
综上可知，函数值域为{y|y≥5}．
(3)解法1：(反函数法)
∵y＝的反函数为y＝，其定义域为{x|x≠2}，
∴原函数的值域是{y|y∈R且y≠2}．
解法2：(分离常数法)∵y＝＝＝2＋，其中≠0，
∴y＝的值域是(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)采用换元法．
设t＝≥0，则x＝1－t2，于是y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，
故可知y∈(－∞，4]．
(5)利用三角代换法．
因为|x|≤1，所以设x＝cosθ，θ∈[0，π]，
则y＝cosθ－sinθ＝cos.
∵θ∈[0，π]，
∴≤θ＋≤，
于是－1≤cos≤，即得知－≤y≤1.
∴函数的值域为[－，1]．
(6)导数法．
y′＝5x4－20x3＋15x2，
令y′＝0，得5x4－20x3＋15x2＝0，
即5x2(x－3)(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1，x3＝3.
由于x3∉[－1,2]，所以只要比较f(0)，f(1)，f(－1)，f(2)．
由解析式可知：f(x)最大值为3，最小值为－9.
故值域为[－9,3]．
[点评] (1)对于二次函数型的一类问题常采用配方法求值域．
(2)换元法是解决无理函数值域的最有效手段．
跟踪练习1：求下列函数的值域．
(1)y＝4－； (2)y＝2x＋；
(3)y＝x＋； (4)y＝；
(5)y＝； (6)y＝.
[解析] (1)(配方法)：由3＋2x－x2≥0，得－1≤x≤3.
∵y＝4－，
∴当x＝1时，ymin＝2.当x＝－1或3时，ymax＝4.
∴函数值域为[2,4]
(2)(换元法)：令t＝(t≥0)，则x＝
∴y＝－t2＋t＋1＝－(t－)2＋，
∵当t＝即x＝时，ymax＝，无最小值．
∴函数值域为(－∞，]
(3)(三角代换法)函数的定义域是{x|－1≤x≤1}．
设x＝sint，－≤t≤，则y＝x＋化为y＝sint＋cost＝sin(t＋)．
∵－≤t≤ ∴－≤t＋≤，
∴－≤sin(t＋)≤1，∴－1≤y≤
∴函数的值域是[－1，]．
(4)分离常数法
f(x)＝＝－1，因为1＋2x＞1,0＜＜2，所以－1＜－1＜1，故所求值域为(－1,1)．
(5)(判别式法)由y＝变形得(y－1)x2－(y－1)x＋y－3＝0
当y＝1时，此方程无解；
当y≠1时，∵x∈R
∴Δ＝(y－1)2－4(y－1)(y－3)≥0
解得1≤y≤，又∵y≠1 ∴1＜y≤.
故函数的值域为{y|1＜y≤}．
(6)(利用三角函数有界性)由y＝，解得sinx＝，
∵－1≤sinx≤1，∴－1≤≤1.
由≤1得y<－1或y≥，
由≥－1得，－1
[点评] 对于形如y＝ax＋b＋的函数，令t＝，使之变形为二次函数，对于含结构的函数，可利用三角代换，令x＝acosθ，θ∈[0，π]，或令x＝asinθ，θ∈转化为三角函数.
2.命题方向：求函数的单调区间
[例2] 求下列函数的单调区间，并指出其增减性．
(1)y＝a1－x2(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log(4x－x2)．
[分析] 利用复合函数的判别方法判断该类题目．
(1)的复合关系为y＝at，t＝1－x2；
(2)的复合关系为y＝logt，t＝4x－x2.
[解析] (1)令t＝1－x2，则t＝1－x2的递减区间是[0，＋∞)，递增区间是(－∞，0]．
又当a>1时，y＝at在(－∞，＋∞)上是增函数；
当0
当0
令t＝4x－x2，
∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，
∴t＝4x－x2的递减区间是[2,4)，递增区间是(0,2]．
又y＝logt在(0，＋∞)上是减函数，
∴函数的单调减区间是(0,2]，单调增区间是[2,4)
[点评] (1)复合函数y＝f[g(x)]的单调规律是“同则增，异则减”，即f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是：
①求出复合函数的定义域；
②把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性；
③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；
④根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性
(2)求函数的单调区间(即判断函数的单调性)，一般有以下几种方法：
①图像法．
②定义法．
③利用已知函数的单调性，如函数y＝x与y＝的单调性(一增一减)等．
④利用导数：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数．
⑤如果函数的解析式中含有参数(字母)，往往需要考虑分类讨论的思想方法．
跟踪练习2：求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log2(6＋x－2x2)； (3)f(x)＝x＋.
[分析] (1)去绝对值号，转化为二次函数求解或画出函数图像求解；(2)利用复合函数单调性判定法则“同增异减”求解；(3)利用导数法求解．
[解析] (1)方法一：∵f(x)＝
∴由二次函数性质知f(x)的增区间是(－∞，－1]和[0,1]；减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
方法二：∵f(x)为偶函数，∴其图像为
由图像知f(x)的增区间为(－∞，－1]和[0,1]；减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)由6＋x－2x2>0，得函数f(x)的定义域为.
令u＝6＋x－2x2，则函数u在上为增函数，在上为减函数．
又∵y＝log2u在(0，＋∞)上为增函数，
∴函数f(x)的增区间是，减区间是.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
f′(x)＝1－＝.
令f′(x)>0，得x<－3或x>3；
令f′(x)<0，得－3
[点评] 欲求函数单调区间，需先求函数定义域，然后根据解析式的特征选择合理的方法．另外，注意在解答题中判断函数的单调性或求单调区间时一般用导数法或定义法.
3.命题方向：函数单调性的判断与证明
[例3] 讨论函数f(x)＝(a>0)的单调性．
[分析] 先将函数解析式的结构特征分析、转化，然后根据解析式特征选择合理的方法求解．
[解析] ∵f(x)＝＝＝a＋，
∴函数的定义域为{x|x≠1}．
方法一：(定义法)任取x1，x2∈R，且x1，x2均不为1，x1
①当x1
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
②当1
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数．
方法二：(导数法)∵f′(x)＝，又∵a>0，
∴f′(x)<0在(－∞，1)∪(1，＋∞)上恒成立，即函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数．
方法三：(图像法)由f(x)＝a＋可知其图像对称中心是(1，a)，x＝1，y＝a是它的两条渐近线，由图可知
∴f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数．
[点评] 在研究单调性的众多方法中，定义法和导数法是通法，但定义法运算量较大．而其他方法则比较灵活，需要充分分析函数解析式的特征，这些方法在选择、填空题中应用较广泛．另外，本题的结论容易写成“f(x)在(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数”这一错误形式．
跟踪练习3
用函数单调性的定义证明：f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．
[分析] 由单调性定义直接证明．
[证明] 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1
＝ax2－ax1＋＝，
∵0
(1)当a>1时，ax2>ax1，ax2－ax1>0，
ax1＋x2＞a0＝1，ax1＋x2－1>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．
(2)当0
综上所述，对于任何a>0且a≠1，均有f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
[点评] 证明函数的单调性，基本上都是利用定义，以同一种格式来进行，应避免过程中的似是而非，含糊不清．
在判断f(x2)－f(x1)与0的大小时，尽可能将其化为积或商或完全平方的形式，从而明确f(x2)－f(x1)与0的大小关系，研究三次函数或其他较复杂的函数的单调性与最值问题时，一般是利用导数这一工具来解决问题.
4.命题方向：抽象函数的单调性
[例4] 定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1；
(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
(3)证明：f(x)是R上的增函数；
(4)若f(x)·f(2x－x2)>1，求x的取值范围
[解析] (1)证明：令a＝b＝0，则f(0)＝f2(0)．
又f(0)≠0，∴f(0)＝1.
(2)证明：当x<0时，－x>0，
∴f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)＝1.
∴f(－x)＝>0.又x≥0时f(x)≥1>0，
∴x∈R时，恒有f(x)>0.
(3)证明：设x1
∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1)．
∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.
又f(x1)>0，∴f(x2－x1)·f(x1)>f(x1)．
∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)是R上的增函数．
(4)解：由f(x)·f(2x－x2)>1，f(0)＝1得f(3x－x2)>f(0)．又f(x)是R上的增函数，
∴3x－x2>0.∴0
跟踪练习4：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.
[分析] 当x1＝x2时，由f可产生f(1)；欲讨论f(x)单调性，须比较f(x1)－f(x2)与0的大小，即f与0的大小，为此须利用条件x>1时，f(x)<0，即>1时，f<0；欲解不等式f(|x|)<－2，须考虑应用单调性脱去“f”，故须把－2化为函数值，这须由f＝f(x1)－f(x2)，赋值产生f(x0)＝－2.
[解析] (1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)
5.命题方向：单调性与最值
[例5] 函数f(x)＝2x－的定义域为(0,1](a为实数)．
(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；
(3)函数y＝f(x)在x∈(0,1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．
[解析] (1)显然函数y＝f(x)的值域为[2，＋∞)；
(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，
则任取x1，x2∈(0,1]且x1
由x1，x2∈(0,1]，故－2x1x2∈(－2,0)，所以a≤－2，
故a的取值范围是(－∞，－2]；
或用导数来判断．
(3)当a≥0时，函数y＝f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
由(2)得当a≤－2时，函数y＝f(x)在(0,1]上单调递减，无最大值，
当x＝1时取得最小值2－a；
当－2
跟踪练习5
已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.
(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；
(2)是否存在实数m，使得y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解析] (1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，
当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；
当t≤4≤t＋1，即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；
当t>4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，
h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.
综上，h(t)＝
(2)函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，
∴φ′(x)＝2x－8＋＝＝ (x>0)．
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数；
当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0.
∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m－7，
φ(x)极小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.
∵当x充分接近0时，φ(x)<0；
当x充分大时，φ(x)>0.
∴要使φ(x)的图像与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需
，
即7
（五）思想方法点拨
1．求函数值域的方法
求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：
(1)直接法——从自变量x的范围出发，通过观察和代数运算推出y＝f(x)的取值范围；
(2)配方法——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝af 2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．
(3)反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如y＝(a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解．
(4)判别式法——把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域．形如y＝(a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解．
前提条件：①函数的定义域应为R；②分子、分母没有公因式．
(5)换元法——运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例如：形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用此法求解．
(6)不等式法——利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”．
(7)单调性法——根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域．
(8)求导法——当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值；
(9)数形结合法——当一个函数图像可作时，通过图像可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．
2．对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点
(1)函数的单调性是对某一个区间而言的．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数．如函数f(x)＝.
(2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．
(3)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且f(x1)
如求函数y＝lg(x2－2x－3)的增区间时，易认为[1，＋∞)是它的增区间，而实际上它的增区间为(3，＋∞)．
4．给出抽象函数关系式，讨论其性质的题目，基本方法是赋值用定义讨论．如判断单调性，须创造条件，判断f(x1)－f(x2)的符号或与1的大小．
5．熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：
设x1，x2∈[a，b] ，那么：
(1)＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数．
＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数．
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
6．设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)为减函数．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2018·重庆文)函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)
[答案] C
[解析] 本题考查函数的值域的求法以及换元的方法．
令u＝16－4x，则y＝，u≥0，
因为4x>0，－4x<0，所以0≤16－4x<16
∴y＝∈[0,4)，故选C.
2．(2009·福建理)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
[答案] A
[解析] 本小题主要考查函数的单调性等基础知识．
由题意得函数f(x)是减函数，在四个选项中，只有A符合，故选A.
3．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
[答案] A
[解析] 由已知易得即x>3，又0<0.5<1，
∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．
4．函数f(x)在(a，b)和(c，d)都是增函数，若x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，且x1
[答案] D
[解析] 由于(a，b)和(c，d)不一定是连续的区间，所以不能根据单调性来判断f(x1)，f(x2)的大小关系．
5．函数f(x)＝的最大值为( )
A. B. C. D．1
[答案] B
[解析] ∵x≥0，当x＝0时，y＝0不是函数的最大值．当x>0时，f(x)＝＝，而＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，∴f(x)≤.
6．(2018·天津文)设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝，则f(x)的值域是( )
A.∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C. D.∪(2，＋∞)
[答案] D
[解析] 本题考查了分段函数值域的求解．
由题意可知f(x)＝
1°当x<－1或x>2时，f(x)＝x2＋x＋2＝2＋
由函数的图可得f(x)∈(2，＋∞)．
2°当－1≤x≤2时，f(x)＝x2－x－2＝2－，
故当x＝时，f(x)min＝f＝－，
当x＝－1时，f(x)max＝f(－1)＝0，
∴f(x)∈.
综上所述，该分段函数的值域为∪(2，＋∞)．
7．定义在R上的函数f(x)的图像关于x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )
A．f
[解析] ∵f(x)的图像关于x＝1对称，
∴f＝f，f＝f.
又∵x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，且<<，
∴f
A．(－∞，4] B．(－4,4] C．(－∞，－4)∪[2，＋∞) D．(－4,2)
[答案] B
[解析] 本题考查含参数的函数的讨论及复合函数的应用．由题知：y＝log2x为单调增函数，y＝log2(x2－ax＋3a)的单调增区间为y＝x2－ax＋3a的增区间的一个子区间，由y＝x2－ax＋3a⇒y′＝2x－a，又在[2，＋∞)是单调增函数，即在x∈[2，＋∞)，2x－a＞0恒成立，即只需2×2－a＞0即可⇒a＜4，又y＝x2－ax＋3a在x∈[2，＋∞)上恒大于0，则22－2a＋3a＞0⇒a＞－4，综上可得：－4＜a<4，当a＝4时同样成立．故选B.
[点评] 本题还可以根据二次函数的对称轴讨论求解．欲满足题中条件，只需≤2，且22－a×2＋3a＞0⇒a≤4且a＞－4即－4＜a≤4.
二、填空题
9．(2018·苏州模拟)函数y＝的值域是________
[答案] ∪[1，＋∞)
[解析] 由y＝，得cosx＝，且cosx≠－.
∵－1≤cosx≤1，∴－1≤≤1，
且≠－，解得y≤或y≥1，
∴原函数的值域为∪[1，＋∞)．
10．函数f(x)＝log(3－2x－x2)的单调递增区间是______．
[答案] [－1,1)
[解析] 令t＝3－2x－x2，由t>0得，函数的定义域为(－3,1)．
又t＝3－2x－x2在[－1,1)上为减函数，y＝logt在其定义域上为减函数，
∴f(x)＝log(3－2x－x2)的递增区间为[－1,1)．
11．(2018·南通检测)已知函数f(x)＝sinx＋5x，x∈(－1,1)．如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则a的取值范围是______．
[答案] 1
f(1－a)＋f(1－a2)<0，即f(1－a)
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