2020届二轮复习恒成立问题学案（全国通用）
展开培优点四 恒成立问题
1．参变分离法
例1：已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】，其中，
只需要．
令，，，，
在单调递减，在单调递减，
，．
2．数形结合法
例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】本题选择数形结合，可先作出在的图像，
扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图像进一步可得只需
时，，
即，所以．
3．最值分析法
例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围___________．
【答案】
【解析】恒成立即不等式恒成立，令，
只需即可，，
，令（分析的单调性）
当时 在单调递减，则
(思考：为什么以作为分界点讨论？因为找到，若要不等式成立，那么一定从处起要增（不一定在上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以时导致在处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）
当时，分是否在中讨论（最小值点的选取）
若，单调性如表所示
，．
（1）可以比较，的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在，处取得，所以让它们均大于0即可．
（2）由于，并不在中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）
若，则在上单调递增，，符合题意，
综上所述：．
一、选择题
1．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
若，即有，分别作出函数和直线的图象，
由直线与曲线相切于原点时，，则，解得，
由直线绕着原点从轴旋转到与曲线相切，满足条件．
即有，解得．故选B．
2．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，
令可得：，，且：，，，，
据此可知函数在区间上的最小值为，
结合恒成立的条件可得：，
求解关于的不等式可得实数的取值范围是．本题选择C选项．
3．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，在内恒成立，所以，
由于，所以，，所以，故选D．
4．已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得在上恒成立，即在上恒成立．
令，，则，
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减．
∴，∴，∴．
故实数的取值范围是．故选A．
5．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若恒成立，则，，
所以在单调递减，在单调递增．，，所以．
故选D．
6．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】时，恒成立不等式等价于，，
设，，
，在单调递减，在单调递增，，
当时，可知无论为何值，不等式均成立，
当时，恒成立不等式等价于，，
同理设，，在单调递增，
，，综上所述：．故选C．
7．函数，若存在使得成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若存在使得成立，则在内即可，
，，
故在上单调递减，，故选A．
8．设函数，若存在，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的定义域是，，
当时，，则在上单调递增，且，
故存在，使；
当时，令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
，解得．
综上，的取值范围是．故选D．
9．若对于任意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，恒成立，若，为任意实数，恒成立，
若时，恒成立，
即当时，恒成立，设，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，取得最大值为．
则要使时，恒成立，的取值范围是，故选D．
10．已知函数，，若对任意，总有或成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，故对时，不成立，
从而对任意，恒成立，
因为，对任意恒成立，
如图所示，则必有，计算得出．故选B．
11．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不等式，即，
结合可得恒成立，即恒成立，
构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，
故恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
则的最小值为，据此可得实数的取值范围为．本题选择D选项．
12．设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，则，
∴当，，单调递减；
当，，单调递增，
∴当时，取得最小值．
如下图所示．
又，故；
，故．
故当时，满足在直线的下方．
∵直线恒过定点且斜率为，∴要使得有且只有一个整数使得，
只需，∴，
又，∴实数的取值范围．故选C．
二、填空题
13．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】法一：如图，
因为恒成立，则的图像在的上方（可以有公共点），
所以即，填．
法2：由题设有．
当时，；
当时，有恒成立或恒成立，
故或即，填．
14．函数，其中，若对任意正数都有，则实数的取值范围为____________．
【答案】
【解析】对任意正数都有，即不等式对于恒成立．
设，则．
故在上是减函数，在上是增函数，
所以的最小值是，所以的取值范围是．
15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据函数在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，所以恒成立，
即在上恒成立，所以，
故实数的取值范围是．
16．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】①当时，函数外层单调递减，
内层二次函数：
当，即时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，
，解得；
当，即时，无意义；
当，即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，
则需，，无解；
当，即时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，
，无解．
②当时，函数外层单调递增，
，二次函数单调递增，函数单调递增，
所以，解得：．
综上所述：或．
三、解答题
17．设函数，其中，
（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（2）若，成立，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），定义域为，
，
设，
当时，，，函数在为增函数，无极值点．
当时，，
若时，，，函数在为增函数，无极值点．
若时，设的两个不相等的实数根，，且，
且，而，则，
所以当，，，单调递增；
当，，，单调递减；
当，，，单调递增．
因此此时函数有两个极值点；
当时，但，，
所以当，，，单调递增；
当，，，单调递减．
所以函数只有一个极值点．
综上可知，当时有一个极值点；当时的无极值点；当时，的有两个极值点．
（2）由（1）可知当时在单调递增，而，
则当时，，符合题意；
当时，，，在单调递增，而，
则当时，，符合题意；
当时，，，所以函数在单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，设，当时，
在单调递增，因此当时，，
于是，当时，
此时，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
18．设函数，
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】，注意到，于是再求导得，，由于，于是为单调递增函数，
时，，时，，
在单调递减，在单调递增．
（2）若不等式恒成立，
则，在连续，
在有最大最小值，
，
由（1）可知在单调递减，在单调递增，
，，
，
设，
，在单调递减，在单调递增
，，故当时，，
当时，，，则上式成立．
当时，由的单调性，，即，
当时，，即，
综上，的取值范围为．
