2020届二轮复习极值点偏移第五招---函数的选取学案（全国通用）
展开于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.
★已知函数有两个不同的零点，，其极值点为．
（1）求的取值范围；
（2）求证：；
（3）求证：；
（4）求证：．
解：（1），若，则，在上单调递增，
至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减，*
在上递增，要使有两个不同的零点，则须有．
（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）．
（3）由所证结论可以看出，这已不再是的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：
（ii）构造函数，则
*
（4）（i）同上；
（ii）构造函数，则
当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，当时，，得在上递增，有，则，得在上递增，有，即；
（iii）将代入（ii）中不等式得，又，，在上递增，故，．
点评：虽然做出来了，但判定因式及的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．
再次回到题设条件：
，记函数，则有．接下来我们选取函数再解（3）、（4）两问．
（3）（i），得在上递减，在上递增，有极小值，又当时，；当时，，
由不妨设．
【点评】用函数来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．
注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将，相加得．
注2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定的范围？这是因为的范围较的范围小，以第（3）问为例，若给定，因为所构造的函数为，这里，且，得，则当时，无意义，被迫分为两类：
①若，则，结论成立；
②当时，类似于原解答．
而给字，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定或的范围均可，请读者自己体会其中差别．
【思考】
练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？
提示：用函数来做，用函数来做．*
练习2 ：（安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知
（1）求的单调区间；
（2）设, ，为函数的两个零点，求证.
提示：将，两边取对数转化为指数方程处理.
【招式演练】
★已知函数有两个零点，
求证：.
只要证：即证：，即证：，由的单调性知，只需证：，*
同理构造函数，利用单调性证明，下略.
★已知的图像上有两点，其横坐标为，且.
（1）证明：；
（2）证明：.
又构造函数：，
则，
故在上单调递增，由于时，，
且，
故必存在，使得，
故在上单调递减，在上单调递增，
又时，，且，
故在上恒成立，
也即在上恒成立，
令，有，*
再由，且在上单调递增，
故，即证：成立.
综上：即证成立.
从而对恒成立，同理得出：.
综上：即证成立，也即原不等式成立. *
★已知函数．
（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若函数有两个不同的零点， ，求证： ．
【答案】（1）；（2）当时， ，当时， ，当时， ；（3）证明见解析.
试题解析：
（1）因为点在曲线上，所以，解得．
因为，所以切线的斜率为0，
所以切线方程为．
（2）因为，
①当时， ， ，
所以函数在上单调递增，则；
②当，即时， ， ，
所以函数在上单调递增，则；
③当，即时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则；*
④当，即时， ， ，
函数在上单调递减，则．
综上，当时， ；
当时， ；
当时， ．
令，则，于是，
令（），
则，
故函数在上是增函数，
所以，即成立，所以原不等式成立．
所以，即成立，所以原不等式成立．*
【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求.
