2020届二轮复习集合与简易逻辑学案（全国通用）
展开2020高中数学精讲精练 第一章 集合与简易逻辑
第1课时 集合的概念及运算
【考点导读】
- 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
- 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．
- 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
- 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．
【基础练习】
1.集合用列举法表示．
2.设集合，，则．
3.已知集合，，则集合_______．
4.设全集，集合，，则实数a的值为____8或2___．
【范例解析】
例.已知为实数集，集合.若，或，求集合B.
分析：先化简集合A，由可以得出与的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.
解：（1），或.又，，
可得.
而或，
或
借助数轴可得或.
【反馈演练】
1．设集合，，，则=_________．
2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是____8___个．
3．设集合，.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围；
（3）若，求实数a的值.
解：（1）由题意知：，，.
①当时，得，解得．
②当时，得，解得．
综上，．
（2）①当时，得，解得；
②当时，得，解得．
综上，．
（3）由，则．
第2课 命题及逻辑联结词
【考点导读】
- 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．
- 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．
- 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
【基础练习】
1.下列语句中：①；②你是高三的学生吗？③；④．
其中，不是命题的有____①②④_____．
2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p ，否命题可表示为 ，逆否命题可表示为；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．
【范例解析】
例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.
（1） 平行四边形的对边相等；
（2） 菱形的对角线互相垂直平分；
（3） 设，若，则.
分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.
解：
（1）
原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；
逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；
否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；
逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.
（2）
原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；
逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；
否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；
逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.
（3）
原命题：设，若，则；真命题；
逆命题：设，若，则；假命题；
否命题：设，若或，则；假命题；
逆否命题：设，若，则或；真命题.
点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.
例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.
（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；
（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
（3）p：方程的两实根的符号相同，q：方程的两实根的绝对值相等.
分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.
解：
（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；
非p：2不是4的约数，假命题.
（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
非p：矩形的对角线不相等，假命题.
（3）p或q：方程的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；
p且q：方程的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；
非p：方程的两实根的符号不同，真命题.
点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.
例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
（2）p：每一个非负数的平方都是正数；
（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；
（4）p：有的四边形没有外接圆；
（5）p：某些梯形的对角线互相平分.
分析：全称命题“”的否定是“”，特称命题“”的否定是“” .
解：
（1）：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；
（2）：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；
（3）：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；
（4）：所有四边形都有外接圆，假命题；
（5）：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.
点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语 | 等于 | 大于 | 小于 | 是 | 都是 |
否定词语 | 不等于 | 不大于 | 不小于 | 不是 | 不都是 |
正面词语 | 至多有一个 | 至少有一个 | 任意的 | 所有的 | … |
否定词语 | 至少有两个 | 一个也没有 | 某个 | 某些 | … |
【反馈演练】
1．命题“若，则”的逆否命题是__________________.
2．已知命题：，则.
3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____.
4．命题“若，则”的否命题为________________________．
5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
（1）设，若，则或；
（2）设，若，则．
解：
（1）逆命题：设，若或，则；真命题；
否命题：设，若，则且；真命题；
逆否命题：设，若且，则；真命题；
（2）逆命题：设，若，则；假命题；
否命题：设，若或，则；假命题；
逆否命题：设，若，则或；真命题．
第3 课时 充分条件和必要条件
【考点导读】
- 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．
- 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：
若集合，则是的充分条件；
若集合，则是的必要条件；
若集合，则是的充要条件．
3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．
【基础练习】
1.若，则是的充分条件．若，则是的必要条件．若，则是的充要条件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件．
（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件．
（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的___必要不充分__条件．
3.若，则的一个必要不充分条件是．
【范例解析】
例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）是的___________________条件；
（2）是的___________________条件；
（3）是的___________________条件；
（4）是或的___________________条件.
分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
解：（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.
（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.
（3）当时，均不存在；当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条件.
（4）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件.
点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.
【反馈演练】
1．设集合，，则“”是“”的_必要不充分
条件．
2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的 条件．
3．已知条件，条件．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：，若是的充分不必要条件，则．
若，则，即；
若，则解得．
综上所述，．
