2020届二轮复习计数原理学案（全国通用）

计数原理

1　两个计数原理的灵活应用

计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理论支持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观.下面通过典例来说明.1.列举法
例1　某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键盘，根据需要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有(　　)
A.7种 B.8种 C.9种 D.10种
解析　依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解.
若买5个鼠标，则可买键盘3、4、5个；
若买6个鼠标，则可买键盘3、4个；
若买7个鼠标，则可买键盘3、4个；
若买8个鼠标，则可买键盘3个；
若买9个鼠标，则可买键盘3个.
根据分类加法计数原理，不同的选购方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9种.故选C.
答案　C
点评　本题背景中的数量不少，要找出关键数字，通过恰当分类和列举可得.列举看似简单，但在解决问题中显示出其实用性，并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律.
2.树形图法
例2　甲、乙、丙三人传球，从甲开始传出，并记为第一次，经过5次传球，球恰好回到甲手中，则不同的传球方法的种数是(　　)
A.6 B.8 C.10 D.15
解析　本题数字不大，可用树形图法，结果一目了然.
如图，易知选C.

答案　C
点评　应用两个计数原理时，如果涉及的问题较抽象，且数量不太多时，可以用树状结构直观体现.
3.列表法
例3　四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？
解　把四个人分别编号①、②、③、④，他们写的4张贺年卡的各种方法全部列举出来，如下表：
四个人
取贺年卡的方法
①
2
2
2
3
3
3
4
4
4
②
1
3
4
1
4
4
1
3
3
③
4
4
1
4
1
2
2
1
2
④
3
1
3
2
2
1
3
2
1
方法编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9

由表格可知，共有9种不同的方法.
点评　本题是一个错排问题，难以直接运用两个计数原理计算.借助表格，把各种情况一一列出，使问题直观解决.
4.直接法
例4　已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，请问共可组成多少种HCl和NaOH?
解　因为HCl分子由两种元素构成，所以分两步完成：
第1步，选择氢元素，共有3种；
第2步，选择氯元素，共有2种.
由分步乘法计数原理得出有6种HCl.
同理，对于NaOH而言，分三步完成：
第1步，选择钠元素，有3种选法；
第2步，选择氧元素，有4种选法；
第3步，选择氢元素，有3种选法.
由分步乘法计数原理知，
共有NaOH种数为3×4×3＝36.
点评　当问题情景中的规律明显，已符合分类加法计数原理或分步乘法计数原理中的某一类型时，可直接应用公式计算结果，但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题.

2　排列、组合的破解之术

排列、组合，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后用乘法原理、加法原理计算就可.说简单吧，排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；做不顺，则如一团乱麻，很长时间也理不顺思路.下面谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法！
一、特殊元素——优先法
对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑.
例1　将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1