2020届二轮复习等差数列学案（全国通用）

等差数列

【考纲要求】

1．理解等差数列概念.
2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
3．了解等差数列与一次函数的关系.

4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.

5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法；

6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题

【知识网络】

【考点梳理】

等差数列382420 知识要点】

考点一、等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

要点诠释：

(1)｛｝为等差数列(n∈N※)－=d (n2, n∈N※)（ d为常数）

(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。 任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为

(3)证数列{}是等差数列的方法：

① (n≥2) （ d为常数）；

② 为和的等差中项。

考点二、通项公式

(归纳法和迭加法)

要点诠释：

①｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b  (n)

②式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。

③公式特征：等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。

④几何意义：点(n，)共线；=kn+b中，

当k=d>0时，{}为递增数列；

当k=d<0时，{}为递减数列；

当k=d=0时，{}为常数列。

考点三、通项公式的性质：

（1）等差中项：、、成等差数列，则；

（2）通项公式的推广：

（3）若，则；

特别，若，则

（4）等差数列中，若.

【典型例题】

类型一：等差数列的概念、公式、项的性质

例1. （1）－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.

【解析】（1）由题意可知：,，

∴此数列的通项公式为：,

令,解得，

所以－20不是这个数列的项.

（2）根据题意可得：,. 

∴此数列通项公式为：（,）.

令,解得：,   

∴100是这个数列的第15项.

【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出通项公式.

2.要注意解题步骤的规范性与准确性.

举一反三：

【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项

【解析】由，，∴.

【变式2】求集合的元素的个数，并求这些元素的和

【解析】∵， ∴，

∵，∴中有14个元素符合条件，

又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，

即，，，

∴.

例2(2018 陕西高考)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为　 ．

【思路点拨】利用中位数性质建立关系式.

【答案】5

【解析】设该等差数列的首项为a，

由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2

解得：a=5

【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质。

举一反三：

【变式】（2018 北京高考）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）

A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0    B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0

C．若0＜a1＜a2，则a2 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0

【答案】C

【解析】若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；

若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+2d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；

{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；

若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选C

例3．（2017  西城区模拟）已知等差数列{an}的公差d＞0，a3=－3，a2a4=5，则an=__________。

【答案】2n-9

【解析】法一：令数列的首项为，公差为d，则

    （d＞0）即 （d＞0）

      解之有：， 

 ∴.

法二： ,   

由已知得

又d>0,得d=2

所以.

【总结升华】依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。

举一反三：

【变式】若数列为等差数列，, ,且公差 求；

【解析】∵为等差数列  ∴

又∵ 

∴、是方程的根

∴或（舍去）

令数列的首项为，公差为d，则

    即

      解之有：， 

 ∴.

类型二：等差数列的判断与证明

等差数列382420 典型例题三】

例4．设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列．

【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中已知条件是关于数列前n项和的，所以应该从前n项和的思路着手考虑。

证明：由得，所以

整理得，又得

相减并整理得:

所以数列是个等差数列

【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:

    (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;

    (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;

    (3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;

    (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.

举一反三：

【变式】已知数列{an}，an∈N*，Sn =，求证：{an}是等差数列；

【答案】an+1 = Sn+1–Sn,

∴8an+1 =,

∴,

∴，

∵an∈N*，∴，

∴，即，

∴数列{an}是等差数列.

例5．设{an}是等差数列,证明以bn=(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.

【思路点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的，这也是判定一个数列是否为等差数列的首要考虑。

证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),

当n≥2时，

=-

=

 = =

 = (常数)

∴{bn}是等差数列.

证法二:等差数列{an}的前n项和,

 ∴bn=

 ∴{bn}是等差数列.