2020届二轮复习二次函数学案（全国通用）
展开2020届二轮复习 二次函数 学案
一．基础知识
1．二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。
2．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标
（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，
（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在上单调递增，在上单调递减，时，
3．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)
4．注意二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系与转化。
二．重点、难点
1．二次函数的图象与性质、二次函数、二次方程与二次不等式的关系是重点，
2．二次函数最值问题、一元二次方程根的分布及二次函数的图象性质灵活应用是难点。
三．题型剖析
1．求二次函数的解析式
例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。
思维分析：恰当选择二次函数的解析式
法一：利用一般式
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：解得： ∴f(x)= - 4x2+4x+7
法二：利用顶点式
∵f(2)= f(-1) ∴对称轴 又最大值是8
∴可设，由f(2)= -1可得a= - 4
法三：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又得a= - 4或a=0(舍) ∴f(x)= - 4x2+4x+7
变式一：书P21例2
练习已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足下列条件：
(1)图象过原点 (2)f(-x+2002)=f(x-2000) (3)方程f(x)=x有重根。
解：由(1)得：c=0,由(2)对称轴可确定，
由(3) f(x)=x即ax2+（b-1）x+c=0有重根
2．二次函数在区间上的最值问题
例2：书P21例1
变式一：已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。
思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论
解：f(x)= -(x-a)2+a2-a+1(0≤x≤1),对称轴x=a
10 a<0时，
20 0≤a≤1时
30 a>1时，
综上所述：a= - 1或a=2
练习2：已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。
答案：
3．一元二次方程根的分布及取值范围
例3．书P21例3
变式一．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。
(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。
思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴与区间相对位置。
解：设f(x)=x2+2mx+2m+1
(1)由题意画出示意图
（2）
练习：方程在（- 1，1）上有实根，求k的取值范围。
宜采用函数思想，求的值域。
四．小结
1二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象形状、对称轴、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。
2．二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数时，须对参数分区间讨论。
3．二次方程根的分布问题，可借助二次函数图象列不等式组求解。
4．三个二次问题（二次函数、二次方程、二次不等式）是中学数学中基础问题，以函数为核心，三者密切相连。
五．作业：优化设计
备例1（应用）：某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租的车将会增加一辆，租出的车每辆需要维护费150元，未租的车每辆每月需要维护费50元，
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
思维分析：应用问题的数学建模，识模—建模—解模—验模
解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为∴租出100-12=88辆。
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为
整理：
答：每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大307050元。
备例2：设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，其图象的对称轴为x=x0,又方程f(x)-x=0的两个实根x1,x2
①若x1<2<x2<4,求证：x0>-1
②若，求b的取值范围。
