2020届二轮复习　解三角形学案（全国通用）

2020届二轮复习 　解三角形 学案
五年高考
考点一　正弦定理和余弦定理
1.(2018山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A
答案　A
2.(2018天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　A
3.(2018浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是　　　　,cos∠BDC=　　　　. 
答案　;
4.(2018课标全国Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　. 
答案　
5.(2018天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.
(1)求b和sin A的值;
(2)求sin的值.
解析　(1)在△ABC中,因为a>b,所以由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.
由正弦定理=,得sin A==.
所以,b的值为,sin A的值为.
(2)由(1)及ab,则∠B=(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
答案　A
8.(2018天津,6,5分)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=(　　)
A. B. C. D.
答案　C
9.(2018湖南,3,5分)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
10.(2018天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为　　　　. 
答案　8
11.(2018重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=　　　　. 
答案　
12.(2018广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=　　　　. 
答案　1
13.(2018福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于　　　　. 
答案　7
14.(2018广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=　　　　. 
答案　2
15.(2018天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为　　　　. 
答案　-
16.(2018福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于　　　　. 
答案　2
17.(2018安徽,12,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=　　　　. 
答案　π
18.(2018浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC=　　　　. 
答案　
19.(2018辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
解析　(1)由·=2得c·acos B=2,
又cos B=,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.
又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
解得a=2,c=3或a=3,c=2.
因a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sin B===,
由正弦定理,得sin C=sin B=×=.
因a=b>c,所以C为锐角,
因此cos C===.
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
=×+×=.
20.(2018山东,17,12分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
解析　(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),
又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.
(2)在△ABC中,sin B==,
由正弦定理得sin A==.
因为a=c,所以A为锐角,所以cos A==.
因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.
21.(2018重庆,20,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.
(1)求C;
(2)设cos Acos B=,=,求tan α的值.
解析　(1)因为a2+b2+ab=c2,
由余弦定理有cos C===-,
故C=.
(2)由题意得
=,
因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)=,tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=,
tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B=.①
因为C=,A+B=,所以sin(A+B)=,
因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得sin Asin B=-=.
由①得tan2α-5tan α+4=0,
解得tan α=1或tan α=4.
考点二　正、余弦定理的应用
1.(2018课标全国Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=(　　)
A. B. C.- D.-
答案　C
2.(2018课标全国Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解析　本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.
(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,
解得cos B=1(舍去),cos B=.
(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.
所以b=2.
3.(2018浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.
(1)证明:A=2B;
(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
解析　(1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,
故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故016
C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24
答案　A
7.(2018湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=　　　　m. 

答案　100
8.(2018福建,13,4分)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为　　　　. 

答案　
9.(2018江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;
(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.

解析　(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.
记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.
因为AC=10,AM=40,
所以MC==30,从而sin∠MAC=.
记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,
则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1==16.
答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)

(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.
同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.
记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.
过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.
因为EG=14,E1G1=62,所以KG1==24,从而GG1===40.
设∠EGG1=α,∠ENG=β,
则sin α=sin=cos∠KGG1=.
因为