2020届二轮复习　离散型随机变量及其分布列、均值与方差学案（全国通用）

2020届二轮复习 　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 学案
五年高考
考点一　离散型随机变量及其分布列
1.(2018广东,4,5分)已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P




则X的数学期望E(X)=(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.2
C. D.3
答案　A
2.(2018课标全国Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
解析　本题考查随机变量的分布列,数学期望.
(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知
P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4

(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时,
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温位于区间[20,25),
则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此EY=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.
当200≤n<300时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.
3.(2018北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.

(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;
(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)
解析　本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.
(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3.
(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.
所以ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P




故ξ的期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.
(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.
4.(2018课标全国Ⅰ,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
解析　(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.
可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22,
P(X=16)=0.2×0.2=0.04;
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分)
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04

(6分)
(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当n=19时,
EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.(10分)
当n=20时,
EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.
可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)
教师用书专用(5—15)
5.(2018天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
解析　(1)由已知,有P(A)==.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X=k)=(k=1,2,3,4).
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P





随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.
评析　本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.
6.(2018安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).
解析　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,
P(A)==.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X=200)==,P(X=300)==,
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=.
故X的分布列为
X
200
300
400
P




EX=200×+300×+400×=350.
7.(2018四川,17,12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.
解析　(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=.
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=.
(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P




因此,X的数学期望为
E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)
=1×+2×+3×=2.
8.(2018重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.
(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数)
解析　(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为
P==.
(2)X的所有可能值为1,2,3,且
P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,
故X的分布列为
X
1
2
3
P




从而E(X)=1×+2×+3×=.
9.(2018山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:
(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;
(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.

解析　(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),
则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=;
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),
则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.
由题意,得D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,
由事件的独立性和互斥性,
P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)
=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)
=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)
=×+×+×+×=,
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
(2)由题意,随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,
由事件的独立性和互斥性,得
P(ξ=0)=P(A0B0)=×=,
P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=,
P(ξ=2)=P(A1B1)=×=,
P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=,
P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=,
P(ξ=6)=P(A3B3)=×=.
可得随机变量ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
3
4
6
P







所以数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.
10.(2018四川,17,12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
解析　(1)X可能的取值为10,20,100,-200.
根据题意,有P(X=10)=××=,
P(X=20)=××=,
P(X=100)=××=,
P(X=-200)=××=.
所以X的分布列为
X
10
20
100
-200
P





(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),
则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.
所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-=.
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
(3)X的数学期望为EX=10×+20×+100×-200×=-.
这表明,获得的分数X的均值为负.
因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.
11.(2018课标全国Ⅰ,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
解析　(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)
=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=×+×=.
(2)X可能的取值为400,500,800,并且
P(X=400)=1--=,
P(X=500)=,P(X=800)=.
所以X的分布列为
X
400
500
800
P




EX=400×+500×+800×=506.25.
12.(2018课标全国Ⅱ,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(1)将T表示为X的函数;
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;
(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.
解析　(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,
当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.
所以T=
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4

所以ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.
13.(2018浙江,19,14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=,Dη=,求a∶b∶c.
解析　(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.
故P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,P(ξ=5)==,
P(ξ=6)==.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P






(2)由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P




所以E(η)=++=,
D(η)=·+·+·=,化简得
解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.
14.(2018辽宁,19,12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.
解析　(1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有=“张同学所取的3道题都是甲类题”.
因为P()==,所以P(A)=1-P()=.(6分)
(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=···=;
P(X=1)=···+··=;
P(X=2)=···+··=;
P(X=3)=···=.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





(10分)
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2.(12分)
15.(2018江西,18,12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.
(1)求小波参加学校合唱团的概率;
(2)求X的分布列和数学期望.

解析　(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有=28种,X=0时,两向量夹角为直角共有8种情形,
所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)==.
(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1,X=-2时,有2种情形;X=1时,有8种情形;X=-1时,有10种情形.
所以X的分布列为:
X
-2
-1
0
1
P





EX=(-2)×+(-1)×+0×+1×=-.
考点二　离散型随机变量的均值与方差
1.(2018浙江,8,5分)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0 A.E(ξ1) B.E(ξ1)D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
答案　A
2.(2018浙江,12,4分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=　　　　. 
答案　
3.(2018福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解析　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,
则P(A)=××=.
(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.
又P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=,
所以X的分布列为
X
1
2
3
P




所以E(X)=1×+2×+3×=.
教师用书专用(4—9)
4.(2018江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).
1
2
3
…
m+n

(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;
(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<.
解析　(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P==.
(2)随机变量X的概率分布为:
X



…

…

P



…

…


随机变量X的期望为:
E(X)=·=·.
所以E(X)<
=
=(1+++…+)
=(+++…+)
=(++…+)
=…=(+)
==,
即E(X)<.
5.(2018湖南,17,12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.
解析　记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与,与F,与都相互独立.
(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则=,
于是P()=P()P()=×=,
故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=.
(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P()=×=,P(X=100)=P(F)=×=,P(X=120)=P(E)=×=,
P(X=220)=P(EF)=×=.
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P





数学期望为
E(X)=0×+100×+120×+220×
===140.
6.(2018安徽,17,12分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).
解析　用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,
则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.
(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)
=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)
=+×+××=.
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)
=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)
=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)
=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,
P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P





EX=2×+3×+4×+5×=.
7.(2018大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
解析　记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,
B表示事件:甲需使用设备,
C表示事件:丁需使用设备,
D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.
(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,
P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×0.52,i=0,1,2,(3分)
所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)
=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)
=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)
=0.31.(6分)
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则
P(X=0)=P(·A0·)
=P()P(A0)P()
=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)
=0.06,
P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)
=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()
=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,
P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,
P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)
=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)
数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)
8.(2018江苏,22,10分)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.
(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).
解析　(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,所以P===.
(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.
{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)==;
{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)===;
于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1--=.
所以随机变量X的概率分布如下表:
X
2
3
4
P




因此随机变量X的数学期望
E(X)=2×+3×+4×=.
9.(2018北京,16,13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;
(3)记为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与的大小.(只需写出结论)
解析　(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.
则C=A∪B,A,B独立.
根据投篮统计数据,P(A)=,P(B)=.
P(C)=P(A)+P(B)
=×+×=.
所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为.
(3)EX=.


三年模拟
A组　2018—2018年模拟·基础题组
考点一　离散型随机变量及其分布列
1.(2018浙江杭州地区四校期中联考,13)袋中有4只红球,3只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得1分,取到1只黑球得3分,设得分为随机变量ξ,则P(ξ≤7)=　　　　.(用分数表示结果) 
答案　
考点二　离散型随机变量的均值与方差
2.(2018广东深圳南山入学摸底考试,5)一个摊主在一旅游景点设摊,在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则如下:游客从口袋中随机摸出2个小球,若摸出的小球同色,则游客获得3元奖励;若异色,则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润X(单位:元)的期望是(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
答案　A
3.(2018安徽蚌埠二模,16)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是:参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外,其余均相同),将小球上的数字作为其赌金(单位:元),然后放回该小球,再随机摸取两个小球,将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位:元).若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金,则Eξ-Eη=　　　　元. 
答案　3
4.(人教A选2—3,二,2-3A,2,变式)离散型随机变量ξ的分布列如图,若Eξ=1,则Dξ的值为　　　　. 
ξ
0
1
2
P
0.2
a
b

答案　0.4
B组　2018—2018年模拟·提升题组
(满分:50分　时间:40分钟)
一、选择题(共5分)
1.(2018浙江重点中学模拟,8)已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=-x,若0 A.E(ξ)随着x的增大而增大,D(ξ)随着x的增大而增大
B.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而增大
C.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而减小
D.E(ξ)随着x的增大而增大,D(ξ)随着x的增大而减小
答案　C

二、填空题(共5分)
2.(2018山西临汾一中等五校第二次联考,16)将函数f(x)=2cos的图象向左平移3个单位后得到g(x)的图象.设m,n是集合{1,2,3,4,5}中任意选取的2个不同的元素,记X=g(m)·g(n),则随机变量X的数学期望E(X)=　　　　. 
答案　

三、解答题(共40分)
3.(2018甘肃武威第六中学第二次阶段性过关考试,18)某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验,甲胜乙的概率为.
(1)求比赛三局甲获胜的概率;
(2)求甲获胜的概率;
(3)设甲比赛的次数为X,求X的数学期望.
解析　记比赛n局甲获胜的概率为Pn,n=3,4,5,
(1)比赛三局甲获胜的概率是P3==.
(2)比赛四局甲获胜的概率是P4=×=;
比赛五局甲获胜的概率是P5==,
故甲获胜的概率是P3+P4+P5=.
(3)记比赛n局乙获胜的概率为Pn',n=3,4,5.
P3'==,P4'=×=,P5'=×=,
故甲比赛的次数X的分布列为
X
3
4
5
P(X)
P3+P3'
P4+P4'
P5+P5'

所以甲比赛的次数X的数学期望E(X)=3×+4×+5×=.
4.(2018河南商丘二模,18)有甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪为70元,每单抽成4元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成5元,超出40单的部分每单抽成7元,假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其100天的送餐单数,得到如下频数表:
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
20
40
20
10
10

乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
20
20
40
10

(1)现从甲公司记录的100天中随机抽取两天,求这两天送餐单数都大于40的概率;
(2)若将频率视为概率,回答下列问题:
(i)记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;
(ii)小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.
解析　(1)记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M,
则P(M)==.
(2)(i)设乙公司送餐员的送餐单数为a,则当a=38时,X=38×5=190,当a=39时,X=39×5=195,当a=40时,X=40×5=200,当a=41时,X=40×5+1×7=207,当a=42时,X=40×5+2×7=214.
所以X的所有可能取值为190,195,200,207,214.故X的分布列为:
X
190
195
200
207
214
P






∴E(X)=190×+195×+200×+207×+214×=.
(ii)依题意得,甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5.所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228元.
由(i)得乙公司送餐员日平均工资为202.2元.
因为202.2<228,所以推荐小明去甲公司应聘.
5.(2018广东惠州第三次调研,18)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每名同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
解析　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
∴P(X=0)==,P(X=1)==.
P(X=2)==,P(X=3)==.
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P





随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
C组　2018—2018年模拟·方法题组
方法1　离散型随机变量分布列的求法
1.(2018四川资阳4月模拟,18)共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中x的值;
(2)已知满意度评分值在[90,100]内的男生数与女生数的比为2∶1,若在满意度评分值为[90,100]的人中随机抽取4人进行座谈,设其中的女生人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

解析　(1)由(0.005+0.021+0.035+0.030+x)×10=1,解得x=0.009.
(2)满意度评分值在[90,100]内的有100×0.009×10=9人,
其中男生6人,女生3人.
则X的值可以为0,1,2,3.
P(X=0)===,P(X=1)= ==,P(X=2)===,P(X=3)===.
则X的分布列如下:
X
0
1
2
3
P





所以X的期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.


方法2　求离散型随机变量ξ的期望与方差的方法
2.(2018广东肇庆第三次统考,18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花当作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.
解析　(1)当日需求量n≥16时,y=80.
当日需求量n<16时,y=10n-80.
所以y关于n的函数解析式为
y=(n∈N).
(2)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,
P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.
故X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7

X的数学期望为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.
X的方差为DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.
(ii)答案不唯一.答案一:
花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:
若花店一天购进17枝玫瑰花,设Y表示当天的利润(单位:元),则Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54

Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
Y的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.
结合(2)(i)可知DX 答案二:
花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:
若花店一天购进17枝玫瑰花,设Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54

Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
结合(2)(i)可知EX