2020届二轮复习导数的运算及导数的几何意义学案（全国通用）

2020届二轮复习    导数的运算及导数的几何意义  学案（全国通用）知识点1．导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数．【典例1】一质点运动的方程为.（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,.（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度求导法：质点在t时刻的瞬时速度，当t=1时，v=-6×1=-6.【规律方法】1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数【变式1】若，则（     ）A．                B．              C．               D．【答案】B【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为，所以，选B；法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为，所以（其中：），故选B.知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1. 基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sin xf′(x)＝cosxf(x)＝cos xf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝2．导数的运算法则（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3） (g(x)≠0)． (4) 复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【典例2】【2018年天津卷文】已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．【答案】e【总结提升】1.求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.【变式2】【2018届陕西省咸阳市三模】已知三次函数的图象如图所示，则__________．【答案】1.【解析】，由的图象知，∴，，∴，故答案为1.知识点3．函数在处的导数几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．【典例3】（2019·天津高考真题（文）） 曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】，当时其值为，故所求的切线方程为，即。【规律方法】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．【变式3】（2019·全国高考真题（文））已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）A． B． C． D． 【答案】D【解析】，将代入得，故选D．考点1  求曲线的切线方程【典例4】（2019·全国高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（    ）A． B． C． D． 【答案】C【解析】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．【易错提醒】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．【变式4】（2019·天津高考模拟（文））曲线在点处的切线斜率为_____________.【答案】12【解析】由题意可得：,∴∴曲线在点处的切线斜率为12，故答案为：12考点2  求切点坐标【典例5】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.【答案】.【解析】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【方法总结】已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.【变式5】设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线上点P处的切线垂直，则点P的坐标为         ．【答案】（1，1）【解析】∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex.∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(x0，y0)(x0＞0)，∵函数的导函数为，∴曲线在点P处的切线的斜率，由题意知k1k2＝－1，即1·（）＝－1，解得x＝1，又x0＞0，∴x0＝1.又∵点P在曲线上，∴y0＝1，故点P的坐标为(1,1).考点3  求参数的值(范围)【典例6】（2018年全国卷Ⅲ理）曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【解析】则所以故答案为-3.【规律方法】根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．【变式6】（2018届云南省昆明第一中学第八次月考）已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（   ）A.     B.     C.     D. 【答案】D【解析】依题意设曲线与在公共点处的切线相同.∵，∴，∴，即∵∴，故选D.考点4  导数的运算【典例7】（2018届北京市人大附中十月月考）已知函数则的值为________.【答案】1【解析】由题得所以，所以，故填1.【总结提升】(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．【变式7】已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 017(x)等于(　　)A.－sin x－cos x    B.sin x－cos xC.－sin x＋cos x    D.sin x＋cos x【答案】D【解析】∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x，故选D.