2020届二轮复习导数定调情况多，参数分类与整合学案（全国通用）

【题型综述】

用导数研究函数的单调性

（1）用导数证明函数的单调性

证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0

（2）用导数求函数的单调区间

求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求，得函数的单调递增（减）区间．

一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数

一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数

（3）单调性的应用（已知函数单调性）

一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥

1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；

(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；

(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．

2、求函数的单调区间的“两个”方法

方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；

(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；

(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．

3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法

（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；

（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；

（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．

【典例指引】

例1．已知函数，为函数的导函数．

(1)设函数的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；

(2)若函数，求函数的单调区间．

(Ⅱ)．

①当时，， *                                         

的单调递增区间为，单调递减区间为 

(ⅱ)当，即时，，

故在单调递减； 

(ⅲ)当，即时，

在上单调递增，在，上单调递减 

综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为

当，的单调递减区间为*

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为、

例2．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

【思路引导】

（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；

试题解析：（1）函数的定义域为．

由题意得，

当时， ，则在区间内单调递增；

当时，由，得或（舍去），

当时，，单调递增，

当时，，单调递减．

所以当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为．*

例3．已知函数， ，（其中， 为自然对数的底数， ……）．

（1）令，求的单调区间；

【思路引导】

（1）求导函数的导数得，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当时，导函数不变号，为单调递增；当时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增．

所以的减区间为 ，增区间为

综上可得，当时， 在上单调递增

当时， 的增区间为，减区间为．*

例4．已知函数其中实数为常数且．

（I）求函数的单调区间；

【思路引导】

（1）利用导数并结合实数的不同取值求解单调区间；

例5．已知函数．

（1）讨论的单调性；

【思路引导】

（1）求出，分类讨论，分别由可得增区间，由可得减区间