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2020届二轮复习(文)第3部分策略2巧用8招秒杀选择、填空题学案
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解法1 巧取特值 有效求参
【典例1】 已知函数f(x)＝若f(a)≥f，则a的取值范围是( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
D [(特殊值法)当a＝时，f(a)＝f＝＝log2，f＝f＝log2，所以f(a)＝f成立，排除A，C.
因为－＝＞0，而－＝＞0，＞，
所以当a＝时，f(a)＝f＝＝－log2，
f＝f＝＝log2，－log2＞log2，所以f(a)＞f成立，排除B.选D.]
对于常见的求参数范围的选择题，常常可以通过选项中的范围取特殊值验证题中条件，或者通过题中条件取特殊值检验选项，从而利用排除法求解，避免整体研究一般规律或所有情况，起到“以点透面”的作用.
【链接高考1】 (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
D [取x＝－，则f(x＋1)＝f＝1，f(2x)＝f(－1)＝2，f(x＋1)＜f(2x)，
因为－不在(－∞，－1]上，故A错误．
取x＝1，则f(x＋1)＝f(2)＝1，f(2x)＝f(2)＝1，f(x＋1)＝f(2x)，因1∈(0，＋∞)，故B错误．
取x＝－2，则f(x＋1)＝f(－1)＝2，f(2x)＝f(－4)＝16，f(x＋1)＜f(2x)，因－2∉(－1,0)，故C错误．
故选D.]
解法2 巧构函数 妙破压轴
【典例2】 已知f(x)是定义在R上的奇函数，记f(x)的导函数为f′(x)，当x≥0时，f′(x)－f(x)＞0.若∃x∈[－2，＋∞)，使得不等式f[ex(x3－3x＋3)]≤f(aex＋x)成立，则实数a的最小值为( )
A.－1 B．2－
C．1＋2e2 D．1－
D [令g(x)＝(x≥0)，则g′(x)＝＞0，
所以g(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)＝exg(x)，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在[－2，＋∞)上为增函数．
所以“∃x∈[－2，＋∞)，使得f[ex(x3－3x＋3)]≤f(aex＋x)成立”等价于“∃x∈[－2，＋∞)，使得x3－3x＋3≤a＋成立”，也就等价于“∃x∈[－2，＋∞)，使得a≥x3－3x＋3－成立”．
设h(x)＝x3－3x＋3－，x∈[－2，＋∞)，
所以h′(x)＝3x2－3＋＝(x－1).
令m(x)＝3x＋3＋，x∈[－2，＋∞)，所以m′(x)＝3－，
令m′(x)＝0，解得x＝－ln 3，
当x∈[－2，－ln 3)时，m′(x)＜0，函数m(x)单调递减，
当x∈[－ln 3，＋∞)时，m′(x)＞0，函数m(x)单调递增，
所以m(x)≥m(－ln 3)＝－3ln 3＋3＋3＝3(2－ln 3)＞0.
令h′(x)＝0，解得x＝1.
所以当x∈[－2,1)时，h′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，
所以h(x)min＝h(1)＝1－3＋3－＝1－，
所以a≥1－.
故实数a的最小值为1－.故选D.]
解决本题的关键在于构造函数：(1)根据“当x≥0时，f′(x)－f(x)＞0”构造函数g(x)＝(2)根据“∃x∈[－2，＋∞)， 使得x3－3x＋3≤a＋成立”分离参数构造h(x)＝x3－3x＋3－
【链接高考2】 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
A [构造函数y＝g(x)＝，通过研究g(x)的图象的示意图与性质得出使f(x)>0成立的x的取值范围．
设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x>0，g(x)>0时，f(x)>0,0
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.]
解法3 妙识图象 快速判断
【典例3】 如图，半径为1的圆O中，A，B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设∠BOP＝x，将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0,2π]上的图象大致为( )
A [(排除法)以角度为变量的三角函数图象是弯曲的，排除C，D；当∠BOP＝时，y＝f(x)＝2＜3，排除B.选A.]
对于以选择题出现的函数图象问题，宜用排除法处理，排除法的主要依据有函数的定义域、单调性、奇偶性、图象的变换，特殊值，图象趋势等.一般先考虑奇偶性，再考虑特殊值或者图象趋势.
【链接高考3】 (2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
B [(排除法)当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.
当x∈时，f＝f＝1＋，
f＝2.∵2<1＋，
∴f
【典例4】 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋acos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的最大值为2，且满足f(x)＝f，则φ＝( )
A. B.
C.或 D.或
D [由f(x)的最大值为2可知a＝±，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
由题意可得f′(x)＝2cos(2x＋φ)－2asin(2x＋φ)(0＜φ＜π)，
则f′＝2cos－2asin＝－2sin φ－2acos φ＝0(0＜φ＜π)，
所以tan φ＝－a(0＜φ＜π)，所以tan φ＝±(0＜φ＜π)，所以φ＝或.
故选D.]
当题中提供正弦、余弦函数的最值信息(常见的有图象、对称轴、最值等)时，可以借助导数值探求.
【链接高考4】 (2013·全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.
－ [y＝sin x－2cos x＝，
设＝cos α，＝sin α，
则y＝(sin xcos α－cos xsin α)＝sin(x－α)．
∵x∈R，∴x－α∈R，∴ymax＝.
又∵x＝θ时，f(x)取得最大值，
∴f(θ)＝sin θ－2cos θ＝.
又sin2θ＋cos2θ＝1，
∴即cos θ＝－.]
解法5 巧妙补形 妙解立几
【典例5】 在三棱锥PABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A．10π B．18π
C．20π D．9π
C [(补形法)由题意知，该三棱锥为正六棱柱内的一个三棱锥(如图所示的三棱锥PABC)且有PA＝AB＝AC＝2，所以该三棱锥的外接球也是该正六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R为该正六棱柱的体对角线长，即2R＝＝2⇒R＝，所以该球的表面积为4πR2＝20π.故选C.]
求解本题的关键是根据几何体的几何特征(PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°)构造恰当且特殊的几何体.
【链接高考5】 (2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B. C. D.
D [(割补法)由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
V1＝××1×1×1＝，
剩余部分的体积V2＝13－＝.
所以＝＝，故选D.]
解法6 向量坐标化 几何代数化
【典例6】 已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是边BC，AC的中点，点P是线段AC上的动点，则·的取值范围是( )
A．[0,2] B．[0,1]
C．[1,2] D．[0，]
C [(坐标法)由题意知，等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是边BC，AC的中点，点P是线段AC上的动点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1,0，)B(1,0)，C(0，)，D，E，＝(－1,0)，
设P(x，＋x)，x∈[－1,0]，
则＝(x－1，＋x)，则·＝1－x∈[1,2]．故选C.]
根据题目建立平面直角坐标系，将问题代数化，是解决向量问题的重要思路，对于不容易建立坐标系的小题，可考虑将图形特殊化求解.
【链接高考6】 (2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
B [方法1：(解析法)
建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．
图①
设P点的坐标为(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，
∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.
当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.
故选B.
方法2：(几何法)
图②
如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.
要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，问题转化为求||·||的最大值．
又||＋||＝||＝2×＝，
∴||||≤2＝2＝，
∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.
故选B.]
解法7 以“形”助“数” 以“数”解“形”
【典例7】 已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则的取值范围是( )
A．(0,12) B．(0,16)
C．(9,21) D．(15,25)
A [作出函数f(x)＝的图象，如图所示，
存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，
且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，可得－log2x1＝log2x2，即有x1x2＝1，
存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，
所以由图象易知＜x1＜1,1＜x2＜2,2＜x3＜4,8＜x4＜10，当0＜t＜1时，直线y＝t与函数f(x)的图象有4个交点，直线y＝t越往上平移，的值越小，直线y＝t越往下平移，的值越大．
因为当t＝0时，＝＝12，
当t＝1时，＝＝0，
所以的取值范围是(0,12)，故选A.]
根据题目信息得出几何模型，借助几何模型(如常见的函数图象、圆锥曲线、立体图形等)解决问题，形象直观，能起到事半功倍的效果！
【链接高考7】 (2013·全国卷Ⅰ)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则( )
A．{Sn}为递减数列
B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
B [先确定三角形的一边长不变及周长不变，利用另两边最接近的时候面积最大等知识求解．
在△A1B1C1中，b1＞c1，b1＋c1＝2a1，∴b1＞a1＞c1.
在△A2B2C2中，a2＝a1，b2＝，c2＝，b2＋c2＝2a1，∴c1＜b2＜a1＜c2＜b1.
在△A3B3C3中，a3＝a2＝a1，b3＝＝，c3＝＝，b3＋c3＝2a1，∴a1＜b3＜c2，b2＜c3＜a1，∴c1＜b2＜c3＜a1＜b3＜c2＜b1.由归纳知，n越大，两边cn，bn越靠近a1且cn＋bn＝2a1，此时面积Sn越来越大，当且仅当cn＝bn＝a1时，△AnBnCn面积最大．]
解法8 借用估算 快找“唯一”
【典例8】 (2019·全国卷Ⅰ)
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cm B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
B [设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得＞≈0.618，解得m>169.890.
由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得＞≈0.618，得n<42.071.
所以头顶到肚脐的长度小于26＋42.071＝68.071.
所以肚脐到足底的长度小于≈≈110.147.
所以此人身高m<68.071＋110.147＝178.218.
综上，此人身高m满足169.890
故选B.]
若有些问题不易(有时也没有必要)进行精确的运算和判断，则可以进行估算.估算是一种数学意识，它通过合理的观察比较、猜想推理或验证，做出正确的选择.当选项差距较大且没有合适的解题思路时，我们可以通过适当的放大或者缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，然后选取与估算值最接近的选项.
【链接高考8】 (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B.
C．6π D.
B [先计算球与直三棱柱三个侧面相切时球的半径，再计算球与直三棱柱两底面相切时球的半径，半径较小的球即为所求．
设球的半径为R，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有(6＋8＋10)×R＝×6×8，此时R＝2；
当球与直三棱柱两底面相切时，有2R＝3，此时R＝.
所以在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为，故最大体积V＝π3＝.]
解法1 巧取特值 有效求参
【典例1】 已知函数f(x)＝若f(a)≥f，则a的取值范围是( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
D [(特殊值法)当a＝时，f(a)＝f＝＝log2，f＝f＝log2，所以f(a)＝f成立，排除A，C.
因为－＝＞0，而－＝＞0，＞，
所以当a＝时，f(a)＝f＝＝－log2，
f＝f＝＝log2，－log2＞log2，所以f(a)＞f成立，排除B.选D.]
对于常见的求参数范围的选择题，常常可以通过选项中的范围取特殊值验证题中条件，或者通过题中条件取特殊值检验选项，从而利用排除法求解，避免整体研究一般规律或所有情况，起到“以点透面”的作用.
【链接高考1】 (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
D [取x＝－，则f(x＋1)＝f＝1，f(2x)＝f(－1)＝2，f(x＋1)＜f(2x)，
因为－不在(－∞，－1]上，故A错误．
取x＝1，则f(x＋1)＝f(2)＝1，f(2x)＝f(2)＝1，f(x＋1)＝f(2x)，因1∈(0，＋∞)，故B错误．
取x＝－2，则f(x＋1)＝f(－1)＝2，f(2x)＝f(－4)＝16，f(x＋1)＜f(2x)，因－2∉(－1,0)，故C错误．
故选D.]
解法2 巧构函数 妙破压轴
【典例2】 已知f(x)是定义在R上的奇函数，记f(x)的导函数为f′(x)，当x≥0时，f′(x)－f(x)＞0.若∃x∈[－2，＋∞)，使得不等式f[ex(x3－3x＋3)]≤f(aex＋x)成立，则实数a的最小值为( )
A.－1 B．2－
C．1＋2e2 D．1－
D [令g(x)＝(x≥0)，则g′(x)＝＞0，
所以g(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)＝exg(x)，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在[－2，＋∞)上为增函数．
所以“∃x∈[－2，＋∞)，使得f[ex(x3－3x＋3)]≤f(aex＋x)成立”等价于“∃x∈[－2，＋∞)，使得x3－3x＋3≤a＋成立”，也就等价于“∃x∈[－2，＋∞)，使得a≥x3－3x＋3－成立”．
设h(x)＝x3－3x＋3－，x∈[－2，＋∞)，
所以h′(x)＝3x2－3＋＝(x－1).
令m(x)＝3x＋3＋，x∈[－2，＋∞)，所以m′(x)＝3－，
令m′(x)＝0，解得x＝－ln 3，
当x∈[－2，－ln 3)时，m′(x)＜0，函数m(x)单调递减，
当x∈[－ln 3，＋∞)时，m′(x)＞0，函数m(x)单调递增，
所以m(x)≥m(－ln 3)＝－3ln 3＋3＋3＝3(2－ln 3)＞0.
令h′(x)＝0，解得x＝1.
所以当x∈[－2,1)时，h′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，
所以h(x)min＝h(1)＝1－3＋3－＝1－，
所以a≥1－.
故实数a的最小值为1－.故选D.]
解决本题的关键在于构造函数：(1)根据“当x≥0时，f′(x)－f(x)＞0”构造函数g(x)＝(2)根据“∃x∈[－2，＋∞)， 使得x3－3x＋3≤a＋成立”分离参数构造h(x)＝x3－3x＋3－
【链接高考2】 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
A [构造函数y＝g(x)＝，通过研究g(x)的图象的示意图与性质得出使f(x)>0成立的x的取值范围．
设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x>0，g(x)>0时，f(x)>0,0
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.]
解法3 妙识图象 快速判断
【典例3】 如图，半径为1的圆O中，A，B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设∠BOP＝x，将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0,2π]上的图象大致为( )
A [(排除法)以角度为变量的三角函数图象是弯曲的，排除C，D；当∠BOP＝时，y＝f(x)＝2＜3，排除B.选A.]
对于以选择题出现的函数图象问题，宜用排除法处理，排除法的主要依据有函数的定义域、单调性、奇偶性、图象的变换，特殊值，图象趋势等.一般先考虑奇偶性，再考虑特殊值或者图象趋势.
【链接高考3】 (2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
B [(排除法)当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.
当x∈时，f＝f＝1＋，
f＝2.∵2<1＋，
∴f
【典例4】 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋acos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的最大值为2，且满足f(x)＝f，则φ＝( )
A. B.
C.或 D.或
D [由f(x)的最大值为2可知a＝±，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
由题意可得f′(x)＝2cos(2x＋φ)－2asin(2x＋φ)(0＜φ＜π)，
则f′＝2cos－2asin＝－2sin φ－2acos φ＝0(0＜φ＜π)，
所以tan φ＝－a(0＜φ＜π)，所以tan φ＝±(0＜φ＜π)，所以φ＝或.
故选D.]
当题中提供正弦、余弦函数的最值信息(常见的有图象、对称轴、最值等)时，可以借助导数值探求.
【链接高考4】 (2013·全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.
－ [y＝sin x－2cos x＝，
设＝cos α，＝sin α，
则y＝(sin xcos α－cos xsin α)＝sin(x－α)．
∵x∈R，∴x－α∈R，∴ymax＝.
又∵x＝θ时，f(x)取得最大值，
∴f(θ)＝sin θ－2cos θ＝.
又sin2θ＋cos2θ＝1，
∴即cos θ＝－.]
解法5 巧妙补形 妙解立几
【典例5】 在三棱锥PABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A．10π B．18π
C．20π D．9π
C [(补形法)由题意知，该三棱锥为正六棱柱内的一个三棱锥(如图所示的三棱锥PABC)且有PA＝AB＝AC＝2，所以该三棱锥的外接球也是该正六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R为该正六棱柱的体对角线长，即2R＝＝2⇒R＝，所以该球的表面积为4πR2＝20π.故选C.]
求解本题的关键是根据几何体的几何特征(PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°)构造恰当且特殊的几何体.
【链接高考5】 (2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B. C. D.
D [(割补法)由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
V1＝××1×1×1＝，
剩余部分的体积V2＝13－＝.
所以＝＝，故选D.]
解法6 向量坐标化 几何代数化
【典例6】 已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是边BC，AC的中点，点P是线段AC上的动点，则·的取值范围是( )
A．[0,2] B．[0,1]
C．[1,2] D．[0，]
C [(坐标法)由题意知，等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是边BC，AC的中点，点P是线段AC上的动点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1,0，)B(1,0)，C(0，)，D，E，＝(－1,0)，
设P(x，＋x)，x∈[－1,0]，
则＝(x－1，＋x)，则·＝1－x∈[1,2]．故选C.]
根据题目建立平面直角坐标系，将问题代数化，是解决向量问题的重要思路，对于不容易建立坐标系的小题，可考虑将图形特殊化求解.
【链接高考6】 (2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
B [方法1：(解析法)
建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．
图①
设P点的坐标为(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，
∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.
当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.
故选B.
方法2：(几何法)
图②
如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.
要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，问题转化为求||·||的最大值．
又||＋||＝||＝2×＝，
∴||||≤2＝2＝，
∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.
故选B.]
解法7 以“形”助“数” 以“数”解“形”
【典例7】 已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则的取值范围是( )
A．(0,12) B．(0,16)
C．(9,21) D．(15,25)
A [作出函数f(x)＝的图象，如图所示，
存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，
且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，可得－log2x1＝log2x2，即有x1x2＝1，
存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，
所以由图象易知＜x1＜1,1＜x2＜2,2＜x3＜4,8＜x4＜10，当0＜t＜1时，直线y＝t与函数f(x)的图象有4个交点，直线y＝t越往上平移，的值越小，直线y＝t越往下平移，的值越大．
因为当t＝0时，＝＝12，
当t＝1时，＝＝0，
所以的取值范围是(0,12)，故选A.]
根据题目信息得出几何模型，借助几何模型(如常见的函数图象、圆锥曲线、立体图形等)解决问题，形象直观，能起到事半功倍的效果！
【链接高考7】 (2013·全国卷Ⅰ)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则( )
A．{Sn}为递减数列
B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
B [先确定三角形的一边长不变及周长不变，利用另两边最接近的时候面积最大等知识求解．
在△A1B1C1中，b1＞c1，b1＋c1＝2a1，∴b1＞a1＞c1.
在△A2B2C2中，a2＝a1，b2＝，c2＝，b2＋c2＝2a1，∴c1＜b2＜a1＜c2＜b1.
在△A3B3C3中，a3＝a2＝a1，b3＝＝，c3＝＝，b3＋c3＝2a1，∴a1＜b3＜c2，b2＜c3＜a1，∴c1＜b2＜c3＜a1＜b3＜c2＜b1.由归纳知，n越大，两边cn，bn越靠近a1且cn＋bn＝2a1，此时面积Sn越来越大，当且仅当cn＝bn＝a1时，△AnBnCn面积最大．]
解法8 借用估算 快找“唯一”
【典例8】 (2019·全国卷Ⅰ)
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cm B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
B [设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得＞≈0.618，解得m>169.890.
由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得＞≈0.618，得n<42.071.
所以头顶到肚脐的长度小于26＋42.071＝68.071.
所以肚脐到足底的长度小于≈≈110.147.
所以此人身高m<68.071＋110.147＝178.218.
综上，此人身高m满足169.890
故选B.]
若有些问题不易(有时也没有必要)进行精确的运算和判断，则可以进行估算.估算是一种数学意识，它通过合理的观察比较、猜想推理或验证，做出正确的选择.当选项差距较大且没有合适的解题思路时，我们可以通过适当的放大或者缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，然后选取与估算值最接近的选项.
【链接高考8】 (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B.
C．6π D.
B [先计算球与直三棱柱三个侧面相切时球的半径，再计算球与直三棱柱两底面相切时球的半径，半径较小的球即为所求．
设球的半径为R，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有(6＋8＋10)×R＝×6×8，此时R＝2；
当球与直三棱柱两底面相切时，有2R＝3，此时R＝.
所以在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为，故最大体积V＝π3＝.]
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