2020届二轮复习含导函数的抽象函数的构造学案（全国通用）
展开培优点三 含导函数的抽象函数的构造
1．对于，可构造
例1：函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，所以，由于对任意，，
所以恒成立，所以是上的增函数，
又由于，所以，
即的解集为．故选B．
2．对于，构造；对于，构造
例2：已知函数的图象关于轴对称，且当，成立，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数关于轴对称，所以函数为奇函数．
因为，所以当时，，函数单调递减，当时，函数单调递减．
因为，，，所以，所以．故选D．
3．对于，构造；对于或，构造
例3：已知为上的可导函数，且，均有，则有（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】构造函数，则，
因为均有并且，所以，故函数在上单调递减，
所以，，即，，
也就是，．
4．与，构造
例4：已知函数对任意的满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】提示：构造函数．
一、选择题
1．若函数在上可导且满足不等式恒成立，对任意正数、，若，
则必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知∴构造函数，
则，从而在上为增函数。
∵，∴，即，故选C．
2．已知函数满足，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造新函数，则，
，对任意，有，即函数在上单调递减，
所以的解集为，即的解集为，故选D．
3．已知函数的定义域为，为的导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得，设，所以函数在上单调递增，
因为，所以当时，；当时，．
当时，，，所以．
当时，，，所以．
当时，，所以．
综上所述，故答案为C．
4．设函数是函数的导函数，已知，且，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，即函数在上单调递减，
因为，即导函数关于直线对称，
所以函数是中心对称图形，且对称中心，
由于，即函数过点，
其关于点的对称点也在函数上，
所以有，所以，
而不等式，即，即，所以，
故使得不等式成立的的取值范围是．故选B．
5．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知，为奇函数，函数对于任意的满足，
得，即，
所以在上单调递增；又因为为偶函数，
所以在上单调递减．所以，即．
故选C．
6．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，则，所以在上单独递减，
因为为奇函数，所以，∴，．
因此不等式等价于，即，故选B．
7．已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】是偶函数，则的对称轴为，
构造函数，则关于对称，
当时，由，得，
则在上单调递增，在上也单调递增，
故，∴．本题选择A选项．
8．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，
若，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】定义域为的奇函数，
设，∴为上的偶函数，∴，
∵当时，，∴当时，．
当时，，即在单调递增，在单调递减．
，，，
∵，∴．即，故选C．
9．已知定义在上的函数的导函数为，（为自然对数的底数），
且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，∴，
∵，∴时，，则，
∴，在上单调递减，∴，
即，
∵，∴，
∴，，故选C．
10．定义在上的函数的导函数为，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造函数：，，
∵对任意，都有，
∴，
∴函数在单调递减，由化为：，
∴．∴使得成立的的取值范围为．故选D．
11．已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，，所以是上的减函数．
令，则，由已知，可得，下面证明，即证明，
令，则，即在上递减，，即，
所以，若，，则．故选C．
12．定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】定义在上的奇函数满足：
，且，
又时，，即，
∴，函数在时是增函数，
又，∴是偶函数；
∴时，是减函数，结合函数的定义域为，且，
可得函数与的大致图象如图所示，
∴由图象知，函数的零点的个数为3个．故选C．
二、填空题
13．设是上的可导函数，且，，．则的值为________．
【答案】
【解析】由得，所以，即，
设函数，则此时有，故，．
14．已知，为奇函数，，则不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】∵为奇函数，∴，即，
令，，则，
故在递增，，得，
故，故不等式的解集是，故答案为．
15．已知定义在实数集的函数满足，且导函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】设，则不等式等价为，
设，则，
∵的导函数，∴，函数单调递减，
∵，∴，则此时，解得，
即的解为，所以，解得，
即不等式的解集为，故答案为．
16．已知函数是定义在上的奇函数，且．若时，，
则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】设，则，当时，由已知得，为增函数，
由为奇函数得，即，
∴当时，，
当时，，，又是奇函数，
∴当时，，时，．
∴不等式的解集为．故答案为．
