2020届二轮复习函数的基本性质学案（全国通用）

函数的基本性质（基础）

【考纲要求】

1. 会求一些简单函数的定义域和值域；

2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．

【知识网络】

【考点梳理】

1．单调性

（1）一般地，设函数的定义域为如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，若都有，那么就说函数在区间上单调递增，若都有，那么就说函数在区间上单调递减。

（2）如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有严格的单调性，区间叫做的单调区间。

（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像

定义法   

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设，且；②作差；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断的正负符号；⑤根据定义下结论。

复合函数分析法

设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：

导数证明法

设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）；反之，若在区间内为增函数（减函数），则。

图像法

一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。

2、奇偶性

(1)定义:

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.

理解：

(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.

(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:

①考察函数定义域;②考察f(-x)与f(x)的关系;③根据定义作出判断.

(Ⅲ)定义中条件的等价转化

①f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) =-1   (f(x)≠0)

②f(-x)= f(x) f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) =1    (f(x)≠0)

 (2)奇(偶)函数图像的特征

(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称; (Ⅱ)偶函数图像关于y轴对称.

【典型例题】

类型一、求（判断）函数的单调区间

例1.证明函数在区间是增函数。

解：设，

函数在区间是增函数。

举一反三：

【变式】求下列函数的单调区间：

(1)y=|x+1|；       (2)　　　　(3).

解：(1)画出函数图象，

∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；

(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；

(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).

类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)

例2. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.

解：

又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.

例3. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.

解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知

只需；

(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4

∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7

.

举一反三：

【变式】已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.

 解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.

类型三、判断函数的奇偶性

例4. 判断下列函数的奇偶性：

(1)         (2)

(3)f(x)=x2-4|x|+3     (4)f(x)=|x+3|-|x-3|   (5)

(6)      (7)

解析：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；

(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；

(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(5)

，∴f(x)为奇函数；

(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x   ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(7)，∴f(x)为奇函数.

举一反三：

【变式】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则

F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)

G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)

∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

类型四、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

例5. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.

解析：∵奇函数图象关于原点对称，  ∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)

即y=-x2-x又f(0)=0，，如图

举一反三：

【变式】定义在[－1，1]上的函数y＝f(x)是减函数，且是奇函数，若f(a2－a－1)＋f(4a－5)＞0，求实数的取值范围.

解析：

例6. （2017天津）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.

答案：

解析：因为f(x)在且在区间（-，0）上单调递增，所以f(x)在（0，+）上单调递减，且.又因为，，即.而f(x)在（0，+）上单调递减，所以，即，解得

【总结升华】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：

(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．

(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．