2020届二轮复习函数的极值和最值（理）学案（全国通用）
展开函数的极值和最值
【考纲要求】
1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.
3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值
4.会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】
【考点梳理】
要点一、函数的极值
函数的极值的定义
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作
；
（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
要点诠释：
求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点二、函数的最值
1.函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
要点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的导数；
（2）求方程在内的根；
（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
【典型例题】
类型一：利用导数解决函数的极值等问题
函数的极值和最值394579
例1.已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；
【解析】
因为处取得极值
所以
所以。
又
所以在点处的切线方程
即.
举一反三：
【变式1】设为实数，函数．
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，．
【解析】（1）由知．
令，得．于是当变化时，的变化情况如下表：
－ | 0 | + | |
单调递减 | 单调递增 |
故的单调递减区间是，单调递增区间是，
处取得极小值，极小值为
(2)证明：设，
于是，
由(1)知当时，最小值为
于是对任意，都有，所以在R内单调递增．
于是当时，对任意，都有．
而，从而对任意．
即，故．
【变式2】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。
类型二：利用导数解决函数的最值问题
函数的极值和最值394579 典型例题三】
例2.已知函数其中。
（1）若函数存在零点，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数的单调区间；并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。
【解析】（1）因为函数存在零点，则有实根，
，即
（2）当时，函数定义域为
由，则
由，则
由，则
列表如下：
+ | 0 | - | 0 | + | |
增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
所以在，上单调增，在上单调减。
又知当时，；时，；
而，所以存在最小值.
举一反三：
【变式】已知函数(),.
(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;
(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.
【解析】(1)由为公共切点可得:,
则,,
,则,,
①
又,,
,即,
代入①式可得:.
(2),
设
则,令,
解得:,;
,,
原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增
①若,即时,最大值为;
②若,即时,最大值为
③若时,即时,最大值为.
综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为.
例3（2017 东城区模拟）已知函数，．
(Ⅰ)若在处取得极值，求的值；
(Ⅱ)求在区间上的最小值；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：当时，恒有成立．
【解析】（Ⅰ）由，定义域为，得．
因为函数在处取得极值，所以，即，解得．
经检验，满足题意，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为．
当时，有，在区间上单调递增，最小值为；
当，由得，且．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在区间上单调递增，最小值为；
当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以函数在取得最小值．
综上当时，在区间上的最小值为；
当时，在区间上的最小值为．
（Ⅲ）由得．
当时，，，
欲证，只需证，
即证，即．
设，
则．
当时，，所以在区间上单调递增．
所以当时，，即，
故．
所以当时，恒成立．
举一反三：
【变式1】设函数求的最小值;
【解析】函数f（x）的定义域为（0，1）
令
当时，, ∴在区间是减函数；
当时，, ∴在区间是增函数.
∴在时取得最小值且最小值为.
【变式2】(2018 江苏高考) 已知函数.
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若b＝c-a(实数c是a与无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值.
【解析】(1)f′(x)＝3x2+2ax，令f′(x)＝0，解得．
当a＝0时，因为f′(x)＝3x2＞0，(x≠0)，所以函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增；
当a＞0时，时，f′(x)＞0，时，f′(x) ＜0，所以函数f(x)在，(0，+∞)上单调递增，在上单调递减；
当a＜0时，时，时，f′(x)＜0，
所以函数f(x)在(-∞，0)，上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，，
则函数f(x)有三个零点等价于，
从而或．
又b＝c-a，所以当a＞0时，或当a＜0时，．
设，因为函数f(x)有三个零点时，
a的取值范围恰好是，
则在(-∞，-3)上g(a)＜0，且在上g(a) ＞0均恒成立，
从而g(-3)＝c-1≤0，且，因此c＝1．
此时，，
因函数有三个零点，则有两个异于-1的不等实根，
所以，且，
解得．
综上c＝1．
类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用
例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元．设该容器的建造费用为千元．
(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的．
【解析】(1)设容器的容积为V，
由题意知，又，
故．
由于，因此．
所以建造费用，
因此，．
(2)由(1)得，．
由于，所以，
当时，．
令，则m＞0，
所以．
①当即时，
当时，；
当时，；
当时，，
所以是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当即时，当时，函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时，
当时，建造费用最小时．
