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    2020届二轮复习函数零点的性质问题学案(全国通用)
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    2020届二轮复习函数零点的性质问题学案(全国通用)

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    微专题11  函数零点的性质

    一、基础知识:

    1、函数零点,方程,图像交点的相互转化:有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化,且这三者各具特点:

    1)函数的零点:有零点存在性定理作为理论基础,可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点

    2)方程:方程的特点在于能够进行灵活的变形,从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数,为作图做好铺垫

    3)图像的交点:通过作图可直观的观察到交点的个数,并能初步判断交点所在区间。

    三者转化:函数零点方程的根方程的根函数的交点

    2、此类问题的处理步骤:

    1)作图:可将零点问题转化成方程,进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题,并作出函数图像

    2)确定变量范围:通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围

    3)观察交点的特点(比如对称性等)并选择合适的方法处理表达式的值,

    3常见处理方法:

    1代换法:将相等的函数值设为从而用可表示出,将关于的表达式转化为关于的一元表达式进而可求出范围或最值

    2利用对称性解决对称点求和:如果关于轴对称同理关于中心对称则也有将对称的点归为一组在求和时可与对称轴或对称中心找到联系

    二、典型例题:

    1:已知函数的取值范围是   

    A.             B.        C.        D.

     

    思路:先做出的图像,通过图像可知,如果范围可得从而所以所以

    答案:C

    小炼有话说:(1)此类问题如果图像易于作出可先作图以便于观察函数特点

    (2)本题有两个关键点,一个是引入辅助变量从而用表示出达到消元效果,但是要注意是有范围的通过数形结合需与有两交点);一个是通过图像判断出的范围从而去掉绝对值

    2:已知函数 若有三个不同的实数使得 的取值范围是________

    思路:的图像可作所以考虑作出的图像不妨设由图像可得 且关于轴对称所以有再观察所以从而

    答案:

    小炼有话说:本题抓住关于对称是关键从而可由对称求得使得所求式子只需考虑的范围即可

    3:定义在上的奇函数,当时,,则关于的函数的所有零点之和为(    

      A.              B.              C.             D.

    思路:为奇函数,所以考虑先做出正半轴的图像,再利用对称作出负半轴图像,当时,函数图象由两部分构成,分别作出各部分图像。的零点,即为方程的根,即图像与直线的交点。观察图像可得有5个交点:关于对称,且满足方程,解得:关于轴对称,

    答案:B

    4:已知函数的零点分别为函数的零点分别为的最小值为   

    A.                    B.              C.             D. 

    思路:从解析式中发现可看做的交点可看做的交点从而均可由进行表示所以可转化为关于的函数再求最小值即可

    解:由图像可得:

     

      

    答案:B

    5:已知函数有两个不同的零点    

    A.      B.    C.   D.

    思路:可将零点化为方程的根进而转化为的交点作出图像可得进而可将中的绝对值去掉得 ,观察选项涉及故将①可得为减函数从而

    答案:D

    6已知函数,存在,则的最大值为        

    思路:先作出的图像观察可得,所求减少变量个数利用可得从而只需求出的最小值即可所以函数单增单减。从而

    答案:

    7:已知定义在上的函数满足 则方程在区间上的所有实根之和为    

    A.               B.               C.             D. 

    思路:先做图观察实根的特点,在通过作图可发现关于中心对称可得是周期为2的周期函数,则在下一个周期关于中心对称以此类推从而做出的图像此处要注意区间端点值在何处取到),再看图像可视为将的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位,所以对称中心移至刚好与对称中心重合如图所示:可得共有3个交点其中 关于中心对称所以有所以

    答案:C

    8:函数直线与函数的图像相交于四个不同的点从小到大交点横坐标依次记为有以下四个结论

       

    若关于的方程恰有三个不同实根的取值唯一

    则其中正确的结论是(     

    A. ①②③                B. ①②④            C. ①③④          D. ②③④

    思路:本题涉及到的取值4个交点的性质,所以先作出的图像从而从图上确定存在个交点时的范围是所以正确。从图像上可看出在同一曲线 在同一曲线上所以②③在处理时将放在一组放在一组

    涉及到根的乘积,一方面为方程的两根所以由韦达定理可得为方程的两根,从而所以有正确

     中的过程可得:所以从而为增函数,所以

    正确

    可将问题转化为的交点个数问题通过作图可得的值不唯一

    综上所述:①②③正确

    答案:A

    9:已知函数的值     

    A. 恒小于2              B. 恒大于2             C. 恒等于2           D. 相关

    思路:观察到当为单调函数,且的图像相当于作时关于对称的图像再进行上下平移所以也为单调函数由此可得两段上。设 可得,考虑使用代换法从而将均用表示再判断的大小即可

    解:设不妨设

    ,则为减函数  

    ,则函数  

    的值恒大于2

    答案B

    10定义函数,则函数在区间)内的所有零点的和为                                          

    A            B            C         D

    思路:从可得函数是以区间为一段其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的2倍,同时竖直方向上缩为原来的从而先作出时的图像再依以上规律作出的图像的零点无法直接求出,所以将转化为的交点通过作图可得,其交点刚好位于每一段中的极大值点位置,可归纳出中极大值点为所以所有零点之和为

    答案:D

    小炼有话说:(1)本题考查了合理将轴划分成一个个区间其入手点在于的出现体现了横坐标之间2倍的关系,从而所划分的区间长度成等比数列。

    (2)本题有一个易错点,即在作图的过程中,没有发现恰好与相交在极大值点处这一点需要通过计算得到从而归纳出规律所以处理图像交点问题时如果在某些细节很难通过作图直接确定要通过函数值的计算来确定两图像的位置

    三、近年模拟题题目精选

    12016四川高三第一次联考)已知函数,若存在,当时,,则的取值范围为(   

    A.      B.     C.      D. 

    22016,苏州高三调研)已知函数有且只有三个零点,设此三个零点中的最大值为,则_________

    3、已知函数的零点分别为的大小关系是_______

    4已知函数的零点为使得则下列结论不可能成立的是     

    A.             B.             C.            D. 

    5、已知若方程有四个不同的解的取值范围是    

    A.               B.              C.             D.

    6已知函数若存在实数满足的取值范围是    

    A.            B.              C.             D.

     

     

     

     

     

     

     

    习题答案:

    1答案:C

    解析:如图可知:

                     

    2答案:

    解析:,即恰有三个公共点,通过数形结合可得:横坐标最大值为直线与曲线在相切的切点。设改点的导数为,所以,代入到所求表达式可得:

    3答案:

    解析: ,在同一坐标系下作出如图所示可得解得所以从而

     

     

    4、答案:C

    解析:可判断出为减函数,则包含两种情况一个是均小于零可知当所以的零点必在A选项可能;另一种情况为B,D选项可能为减函数即可得到不再存在零点

    5、答案:B

    解析:作出的图像可知若有四个不同的解且在这四个根中关于直线对称所以所以所以可得的范围是

    6答案B

    解析:不妨设作出的图像可知若有四个不同交点关于轴对称所以有

    因为所以求出该表达式的范围即为

     

     

     

     

     

     

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