2020届二轮复习导数起源于切线，曲切联系需熟练学案（全国通用）

【题型综述】

导数的几何意义：

函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．

【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．

（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y−y0=f ′(x0)(x−x0)；

（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：

第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))；

第二步：写出过P′(x1，f (x1))的切线方程为y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)；

第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；

第四步：将x1的值代入方程y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．

求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法

（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；

（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．

（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．

②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．

【典例指引】

例1．（2013全国新课标Ⅰ卷节选）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g (x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2．

（Ⅰ）求a，b，c，d的值．

简析：（Ⅰ）由已知得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；&

例2．设函数．

（1）当时，求函数在区间上的最小值；

（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点，

求证：．

例3．已知函数在点处的切线方程为．

⑴求函数的解析式；

⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；

⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．

则．

因为，所以切线的斜率为．

则=，

即．&

因为过点可作曲线的三条切线，

所以方程有三个不同的实数解．

所以函数有三个不同的零点．

则．令，则或．

则 ，即，解得．&