2020届二轮复习 三角恒等变换 教案（全国通用）
展开2020届二轮复习 三角恒等变换_ 教案（全国通用）类型一：正用公式例1.已知:，求的值.【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.【解析】由已知可求得.当在第一象限而在第二象限时，.当在第一象限而在第三象限时，.当在第二象限而在第二象限时，.当在第二象限而在第三象限时，.【点评】例1是对公式的正用．当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.举一反三：【变式1】已知，，则 .【答案】.【变式2】已知，则 .【答案】【变式3】已知和是方程的两个根，求的值.【答案】【解析】由韦达定理，得， ， ∴ .【高清课堂：三角恒等变换397881 例1】【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)(2)(3)(4)(5)Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下 Ⅱ.证明: 例2．已知，,，求的值.【思路点拨】注意到，将，看做一个整体来运用公式.【解析】,，，，【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有,,, 等.2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.举一反三：【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值.【答案】【解析】由且是第二象限角，得， ∵，∴.【变式2】函数的最大值为（ ）A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】∵，.所以其最大值为2，故选C. 【变式3】已知【答案】【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系） ∵，∴∴ ∴＝【变式4】已知，，，，求的值。【答案】【解析】∵ ， ∴， ∵ ， ∴。∴ 类型二：逆用公式例3.求值：（1）；（2）；（3）； （4）.【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式.【解析】（1）原式=；（2）原式； （3）原式；（4）原式.【点评】①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”。②辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定. 举一反三：【变式1】化简.【答案】【变式2】已知，那么的值为（ ）A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】∵，∴.例4. 求值：（1）；（2）【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.【解析】（1）原式=；（2）原式= 【点评】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。举一反三：【变式】求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式===（2） 类型三：变用公式例5．求值：（1）；（2）【思路点拨】通过正切公式，注意到与之间的联系.【解析】（1），原式.（2），，.【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出与三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如：，.举一反三：【变式1】求值：= ．【答案】1【变式2】在中，,，试判断的形状.【答案】等腰三角形【解析】由已知得,,即，，，，又,故,故是顶角为的等腰三角形.类型四：三角函数式的化简与求值 例6. 化简：（1）；(2）【思路点拨】（1）中函数有正弦有正切，一般将切化弦处理；（2）中有平方，而且角度之间也有关系，，所以要用二倍角公式降次.【解析】（1）原式=（2）原式=【点评】①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。②三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.举一反三：【变式1】化简：（1）；（2）； （3）【答案】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式==.【变式2】若，且，则___________.【答案】由，，得，. 例7．已知，，且，求的值.【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑正切值的计算，同时通过估算的区间求出正确的值.【解析】，而，故，又，，故，从而，而，，而，，又，【点评】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是给值求角，关键是估算的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧，，，这些都要予以注意.举一反三：【变式1】已知，为锐角，则的值是（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】A【变式2】已知，，求。【解析】∵，，解得, ，∴.
